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第一章一元二次方程单元测试（培优卷）
一．选择题（共10小题）
1．将一元二次方程2x2＝x+8化为一般形式后，且二次项系数为“1”时，常数项为（　　）
A．8 B．4 C．﹣8 D．﹣4
2．若ab≠1，且有5a2+2024a+9＝0及9b2+2024b+5＝0，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
4．若关于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0有两个实数根x1，x2，且，则a的值为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
5．如图，边长为10cm的正方形纸片ABCD，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形．再沿着虚线折起，可以得到一个长方形盒子，点A，B，C，D正好重合于上底面一点，且此长方体盒子的表面积为36cm2，其中AE＝BF．若设AE的长为x cm，则下列方程正确的是（　　）
A．（10﹣2x）2＝100﹣36 B．
C．（10﹣2x）x 4+2x2＝36 D．100﹣2x2＝36×2
6．如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，则劳动基地中的道路宽为（　　）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
7．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个不相等的实数根分别为α，β，关于x的一元二次方程x2+cx+b＝0的两个实数根分别为α+1，β+1，则下列方程中，其两实数根分别为α﹣1，β﹣1的是（　　）
A．x2﹣x﹣3＝0 B．x2+2x﹣3＝0 C．x2+x﹣3＝0 D．x2+x﹣2＝0
8．如图，某养鸡户用一段14m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长7.5m）的矩形鸡舍ABCD，其面积为28m2．在鸡舍的AB边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则BC的长为（　　）
A．3.5m或4m B．7m或8m C．4m D．7m
9．若点（m，n）在第四象限，则关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．无法判定
10．对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，有以下四种表述：
①当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根；
②当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根；
③当a＞0，a+b+c＜0时，方程一定没有实数根；
④当a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根．
其中表述正确的序号是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
二．填空题（共5小题）
11．如果关于x的方程x2﹣x+m＝0有实数根，那么m的取值范围是　 　 ．
12．已知x1，x2分别是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根，则x1+x2﹣x1x2的值为　 　 ．
13．某药品原价60元/盒，降价两次后，现在售价48.6元/盒，则该药品平均降价率是 　 　 ．
14．写出一个以为根的一元二次方程：　 　 ．
15．若x2+x+m＝（x﹣3）（x+n）对x恒成立，则方程x2+nx+m＝0的两根之积为　 　 ．
三．解答题（共7小题）
16．用适当的方法解下列方程：
（1）（2x﹣1）2＝（2﹣x）2；
（2）4x2+11x﹣3＝0；
（3）2x2﹣8x+3＝0；
（4）（x﹣4）2+（4x﹣3）2＝（3x+1）2．
17．某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价0.5元，日销售量将减少10千克．如果该水果批发商要保证每天盈利6000元．同时又让顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
18．已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m＝0．
（1）若该方程的一个根为x＝1，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，该方程总有实数根．
19．网络直播为农产品销售提供了重要渠道，无核柑橘是我省西南山区特产，许多果农们采取直播的方式实现了销售转型，如果按照每箱70元售价进行销售时，平均一天可以卖出100箱，刨去种植和人工成本，每一箱可以赚26元，另外打包用的纸箱子是2元/个，每天的直播推广费用为300元，通过直播大数据分析发现，当每箱柑橘的售价降低1元时，就会多售出10箱，为了推广自己的柑橘，果农们决定降低售价．
（1）设降价x元，则每天可以售出　 　 箱？（用含x的代数式表示）
（2）若果农们想要每天纯利润达到2550元，那么每箱的售价应该定为多少？
20．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k）＝0
（1）说明无论k取何实数值，该方程必有两个实数根；
（2）若该方程的两根分别是x1，x2，且3x1﹣x2＝﹣2k﹣5，求k的值．
21．某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元．
（1）填表（不需化简）
入住的房间数量 房间价格 总维护费用
提价前 60 200 60×20
提价后
　 　
　 　
　 　
（2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入＝总收入﹣维护费用）
22．请阅读下列材料：
已知方程x2+x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x，
把x代入已知方程，得3＝0．
化简，得y2+2y﹣12＝0，故所求方程为y2+2y﹣12＝0，
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
（1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：　 　 ；
（2）已知方程2x2﹣7x+3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
（3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为3，﹣2，求一元二次方程ay2﹣（2a﹣b）y+a﹣b+c＝0的两根．
第一章一元二次方程单元测试（培优卷）答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A C A C C D B B
1．解：将方程转化为一般形式得：，
∴常数项为﹣4，
故选：D．
2．解：由题知，
因为9b2+2024b+5＝0，
所以b≠0，
则．
又因为5a2+2024a+9＝0，
所以a和是方程5x2+2024x+9＝0的两个根，
则，
即，
所以．
故选：A．
3．解：∵一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0，
∴Δ＝（﹣4）2+4×1×3＝28＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
4．解：根据题意得Δ＝（﹣5）2﹣4a≥0，解得a，
x1+x2＝5，x1x2＝a，
∵15，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝15，
∴25﹣2a＝15，
∴a＝5．
故选：C．
5．解：设AE的长为x cm，则EF＝AB﹣AE﹣BF＝（10﹣2x）cm，
由题意得（10﹣2x）2＝100﹣36，
故选：A．
6．解：设劳动基地中的道路宽为x米，
由题意得，（34﹣2x）（18﹣x）＝480，
整理得：x2﹣35x+66＝0，
解得：x1＝2，x2＝33（不符合题意，舍去），
即劳动基地中的道路宽为2米，
故选：C．
7．解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个不相等的实数根分别为α，β，
∴α+β＝﹣b，αβ＝c，
∵关于x的一元二次方程x2+cx+b＝0的两个实数根分别为α+1，β+1，
∴α+1+β+1＝﹣c，（α+1）（β+1）＝b，
∴﹣b+2＝﹣c，2b＝c+1，
由，解得，
∴α﹣1+β﹣1＝1﹣2＝﹣1，（α﹣1）（β﹣1）＝αβ﹣（α+β）+1＝c+b+1＝﹣3﹣1+1＝﹣3，
∴以两实数根分别为α﹣1，β﹣1的方程是x2+x﹣3＝0，
故选：C．
8．解：设BC＝x m，则ABm，
根据题意得：x 28，
整理得：x2﹣15x+56＝0，
解得：x1＝7，x2＝8，
又∵墙长7.5m，
∴x＝7，
即BC的长为7m，
故选：D．
9．解：方程x2﹣mx+n＝0的判别式Δ＝（﹣m）2﹣4n，
∵点P（m，n）在第四象限，
∴m＞0，n＜0，
∴（﹣m）2＞0，
∴Δ＝（﹣m）2﹣4n＞0，
方程mx2+x+n＝0有两个不相等的实数根．
故选：B．
10．解：①当a＝﹣1，b＝3，c＝﹣2时，满足a＜0，b+c＞0，a+c＜0，
此时Δ＝32﹣4×（﹣1）×（﹣2）＝1＞0，即方程有两个不相等的实数根，
故①错误；
②∵b+c＞0，b﹣c＜0，
∴c＞0，
∵a＜0，
∴﹣4ac＞0，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即方程有两个不相等的实数根，
故②正确；
③当a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1时，满足a＞0，a+b+c＜0，
此时Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根，
故③错误；
④∵a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0，
∴b＝﹣4a，c＝4a，
∴Δ＝（﹣4a）2﹣4×a×4a＝0，即方程有两个相等的实数根，
故④错误；
综上，正确的是②，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．解：因为关于x的方程x2﹣x+m＝0有实数根，
所以Δ＝（﹣1）2﹣4m≥0，
解得m．
故答案为：m．
12．解：由条件可知，x1x2＝﹣5，
则x1+x2﹣x1x2＝3+5＝8，
故答案为：8．
13．解：设该药品平均每次降价率是x，
依题意，得：60（1﹣x）2＝48.6，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
故答案为：10%．
14．解：形如（x）（ax+b）＝0（a≠0）的一元二次方程都有一个根是2，
∴当a＝1，b＝0时，可以写出一个一元二次方程：x（x）＝0，即x2x＝0，
故答案为：x2x＝0（答案不唯一）．
15．解：∵x2+x+m＝（x﹣3）（x+n）＝x2+（﹣3+n）x﹣3n对x恒成立，
∴﹣3+n＝1，m＝﹣3n，
解得：n＝4，m＝﹣12，
代入方程x2+nx+m＝0得：x2+4x﹣12＝0，
所以方程x2+nx+m＝0的两根之积为﹣12，
故答案为：﹣12．
三．解答题（共7小题）
16．解：（1）（2x﹣1）2＝（2﹣x）2，
（2x﹣1）2﹣（2﹣x）2＝0，
（2x﹣1+2﹣x）（2x﹣1﹣2+x）＝0，
（x+1）（3x﹣3）＝0，
则x+1＝0或3x﹣3＝0，
所以x1＝﹣1，x2＝1；
（2）4x2+11x﹣3＝0，
（x+3）（4x﹣1）＝0，
则x+3＝0或4x﹣1＝0，
所以；
（3）2x2﹣8x+3＝0，
x2﹣4x，
x2﹣4x+4，
（x﹣2）2，
则x﹣2，
所以；
（4）（x﹣4）2+（4x﹣3）2＝（3x+1）2，
x2﹣8x+16+16x2﹣24x+9﹣9x2﹣6x﹣1＝0，
8x2﹣38x+24＝0，
4x2﹣19x+12＝0，
（x﹣4）（4x﹣3）＝0，
则x﹣4＝0或4x﹣3＝0，
所以．
17．解：设每千克应涨价x元，则日销售量将减少（千克），
根据题意得：，
整理得：x2﹣15x+150＝0，
解得：x1＝5，x2＝10（不符合题意，舍去），
答：每千克应涨价5元．
18．解：（1）将x＝1代入原方程可得1+（m+2）+2m＝0，
解得：m＝﹣1．
（2）由题意可知：Δ＝（m+2）2﹣4×2m＝（m﹣2）2≥0，
不论m取何实数，该方程总有两个实数根．
19．解：（1）由题意，可知：降价x元，则每天可以售出（100+10x）箱；
故答案为：（100+10x）；
（2）设降价x元，
由题意列一元二次方程得：（26﹣2﹣x）（100+10x）﹣300＝2550，
解得：x1＝5，x2＝9，
∴70﹣5＝65（元）或70﹣9＝61（元），
答：售价应该定为65元或61元．
20．解：（1）∵在方程x2﹣（2k+1）x+4（k）＝0中，Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×4（k）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，
∴无论k取何实数值，该方程必有两个实数根；
（2）∵方程x2﹣（2k+1）x+4（k）＝0的两根分别是x1，x2，
∴x1+x2＝2k+1①．
∵3x1﹣x2＝﹣2k﹣5②，
∴由①+②，得4x1＝﹣4，
∴x1＝﹣1．
将x1＝﹣1代入原方程，得1+2k+1+4k﹣2＝0，
解得：k＝0．
21．解：（1）∵增加10元，就有一个房间空闲，增加20元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为，
∴入住的房间数量＝60，房间价格是（200+x）元，总维护费用是（60）×20．
故答案为：60；200+x；（60）×20；
（2）依题意得：（200+x）（60）﹣（60）×20＝14000，
整理，得
x2﹣420x+32000＝0，
解得x1＝320，x2＝100．
当x＝320时，有游客居住的客房数量是：6028（间）．
当x＝100时，有游客居住的客房数量是：6050（间）．
所以当x＝100时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为200+100＝300（元）．
答：每间客房的定价应为300元．
22．解：（1）设所求方程的根是y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y，
把x＝﹣y代入x2+x﹣2＝0，
得y2﹣y﹣2＝0，
故答案为：y2﹣y﹣2＝0；
（2）设所求方程的根是y，则y，
所以x，
把x代入方程2x2﹣7x+3＝0，得
2（）2﹣7 3＝0，
化简，得3y2﹣7y+2＝0；
（3）一元二次方程整理后可得：a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0，
∵令y﹣1＝x，
∴y＝x+1，
则方程 a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0 的两根比 ax2+bx+c＝0（a≠0）两根大1，
所以方程 （y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0 的两根分别是4、﹣1．
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