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高三年级摸底检测
数学
考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名 座位号 准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上 试卷上答题无效.
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知命题，则为（ ）
A B.
C. D.
2. 设且，则的最小值为（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
3. 在的展开式中，含项的系数为（ ）
A. -56 B. 56 C. -28 D. 28
4. 随机变量，若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 某市环保部门研究近十年空气质量数据，得到以下结论：
结论一：浓度与机动车保有量的样本相关系数；
结论二：绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率的样本相关系数；
结论三：工业能耗与近地面臭氧浓度的样本相关系数.
下列说法正确的是（ ）
A. 由结论一可知，机动车保有量增加是浓度升高的直接原因
B. 由结论二可知，绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率无关联
C. 结论三表明工业能耗与近地面臭氧浓度呈正相关，且线性相关性比结论一更强
D. 结论一中接近1，说明浓度与机动车保有量存在极强的线性相关关系
6. 已知数列满足，则（ ）
A. B. C. D.
7. 在直三棱柱中，.若点满足，且点在平面内，则（ ）
A. B. C. D. 1
8. 设函数，若存在唯一整数使，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 将6本不同的书分给甲 乙 丙三人，每人至少分得1本，则下列说法正确的是（ ）
A. 若甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则有60种方案
B. 若每人分得2本，则有90种方案
C. 若三人分得书本数互不相同，则有360种方案
D 共有450种分配方案
10. 已知圆和直线，则下列说法正确是（ ）
A. 当时，直线被圆截得的弦长为
B. 当时，圆上到直线的距离为1的点有3个
C. 存在实数，使得直线与圆相切
D. 若直线与圆相交，则实数的取值范围为
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若为的极小值点，则的取值范围为
B. 存在，使得在上有且仅有一个零点
C. 当时，过点存两条直线与曲线相切
D. 存在，使得
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设集合，则__________.
13. 某产品的广告投入（万元）与销售额（万元）的统计数据如下：
2 3 5 6
20 35 50 55
若关于的线性回归方程为，则__________.
14. 数列满足，则的前100项和为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的公差，前项和为，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：.
16. 一批零件共有12件，其中有3件次品，现不放回地随机抽取4件进行检验.
（1）求抽到的次品数的分布列；
（2）若已知抽到的4件中至少有1件次品，求恰好有2件次品的概率.
17. 随着手机的日益普及，学生使用手机对学校管理和学生发展带来诸多影响.某中学为探究“周末使用手机时长是否影响学业成绩”，随机调查100名学生，得到部分统计数据如下表：
学业成绩 使用手机小时 使用手机小时
良好 20
不良好 40
记事件“学业成绩良好且使用手机小时”，事件“学业成绩不良好且使用手机小时”，已知事件的频率是事件的频率的3倍.
（1）求表中的的值；
（2）记使用手机小时的学生中学业成绩良好的概率为，求的估计值；
（3）根据小概率值的独立性检验，分析周末使用手机时长与学业成绩是否有关联.
参考数据：，其中.
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7879 10.828
18. 已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论函数在上的单调性；
（3）若在内恰有两个不同的极值点，求的取值范围.
19. 已知双曲线的离心率为，且过点.抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设直线与抛物线交于两点，与双曲线的左 右两支分别交于两点.
（i）探究是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（ii）求的最小值.
高三年级摸底检测
数学答案
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. D
解析：命题“”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以所求的否定是：.
故选：D.
2. A
解析：，
当且仅当，即时取等号.
故选：A.
3. D
解析：展开式通项为，
令，得，故系数为.
故选：D.
4. C
解析：，
故方差.
故选：C.
5. D
解析：选项A:仅表明浓度与机动车保有量线性正相关，且相关性很强，但并不意味着机动车保有量增加是浓度升高的直接原因，所以选项A错误；
选项B:表示绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率线性负相关，且相关性极弱，但仍有轻微线性相关性，且还可能存在非线性相关关系，所以不能判断无关联，所以选项B错误；
选项C：线性相关强度由决定，因为，所以工业能耗与近地面臭氧浓度比结论一的线性相关性更弱，所以选项C错误；
选项D：非常接近1，表明两者存在极强的线性相关关系.所以选项D正确.
故选：D.
6. A
解析：数列满足，则，
，
则
，
故选：A.
7. B
解析：，且点在平面内，
.
故选：B.
8. C
解析：令
因为存在唯一整数使，即，
所以的图象在的图象下方的部分有且只有一个横坐标为整数的点，如下图所示：
又因为当时，为的切线，切点为，
所以，解得,
故选：C.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. ABC
解析：对于A，甲1本 乙2本 丙3本，方案数为，故A正确；
对于B，每人2本，方案数为，故B正确；
对于C，书本数互不相同（即1，2，3），所以方案数为，故C正确；
对于D，分三类：第一类，每人2本，方案数为90种；第二类，一人1本，一人2本，一人3本，方案数为360种；
第三类，一人4本，另外两人各1本，方案数为，
故总的分配方案数为种，故D错误.
故选：ABC.
10. ACD
解析：圆的方程为，配方得圆心为，半径为.
选项A：当时，圆心到直线的距离为弦长为，故A正确；
选项B：当时，直线的方程为，圆心到直线的距离，小于半径，故直线与圆相交，
圆上的点到直线的距离范围为，即，因为，所以圆上存在到直线的距离为1的点，
与直线距离为1的直线有两条，它们与圆心的距离分别为和，均小于半径，所以每条直线都与圆有两个交点，
故圆上到直线的距离为1的点有4个，故B错误；
选项C：相切时，即或存在，故C正确；
选项D：相交时，即的取值范围为，故D正确；
故选：ACD.
11. ABD
解析：，令，解得，，
选项A：为的极小值点，，，故A正确；
选项B：，
当时，时，，则在上单调递增，此时在上没有零点；
当时，当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上取得极小值，也是最小值，
即，
在上有且仅有一个零点，，解得，故B正确；
选项C：当时，，设切点，
则切线斜率，切线方程为，
切线过点，代入切线方程即，即，解得，
有且仅有一条直线与曲线相切，故C错误；
选项D：设，，
则，
设，由于，故为单调递增的一次函数，
存在使得符合题意，故D正确；
故选：ABD.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
解析：易知
故答案为：.
13. 2
解析：由已知，
代入线性回归直线方程得，解得.
故答案为：2.
14. 2500
解析：由题设知，
当，
当时，，
当时，，，
当时，
的前100项和为，
故答案为：2500.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. （1）由已知可得；
因为，解得；
故通项公式为；
（2）由（1）可知，
；
即.
16. （1）的可能取值为，
，
，
故的分布列为：
0 1 2 3
（2）记事件“抽到的4件中至少有1件次品”，事件“恰好有2件次品”，
，
故已知抽到的4件中至少有1件次品，恰好有2件次品的概率为.
17. （1）由已知可得,
.
（2）根据表中数据可知，使用手机小时的40人中有30人学业成绩良好，
故的估计值为；
（3）零假设为：周末使用手机时长与学业成绩没有关联，
根据表中数据可得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即周末使用手机时长与学业成绩有关联，此推断犯错误的概率不超过0.001.
18. （1）当时，，，
又，，
故切线方程为.
（2），令，
，
当时，，故在上单调递增，
，
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
当时，，使得，
故当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增.
（3）在内恰有两个不同极值点，
在内恰有两个不同的实根，
故的图象与在内恰有两个不同的交点，
由（2）可知，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
故当时，，
当时，，
在处有最大值即，
又，
的取值范围为.
19. （1）由已知可得，
，
又双曲线过点，
，
，
双曲线的标准方程为.
（2）（i）由（1）可知双曲线的右焦点为，，
设，
由，得，
，
，
，
设，
由，得，
直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，
，
，
，
由，可得，，
，
，
，
，解得，
故存在满足条件，且；
（ii）设点到直线的距离为，则，
，
令，由（i）知，，
，
令，
，
故当时，，即单调递减，
当时，，即单调递增，
，
的最小值为.

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