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苏教版必修第二册《第十二章复数》 2025年单元测试卷（1）
一、单选题：本题共14小题，每小题5分，共70分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知是虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.复数满足，其中是虚数单位，则( )
A. B. C. D.
4.已知复数的实部为正数，虚部为，，则( )
A. B. C. D.
5.已知复数是关于的方程的一个根，若复数满足，复数在复平面内对应的点的集合为图形，则得周长为( )
A. B. C. D.
6.已知复数其中是虚数单位的实部与虚部相等，则实数等于( )
A. B. C. D.
7.设复数满足，在复平面内对应的点为，则( )
A. B. C. D.
8.若，则( )
A. B. C. D.
9.设复数满足为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
10.若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.已知复数，则( )
A. B. C. D.
12.如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则的值为( )
A. B. C. D.
13.的值是( )
A. B. C. D.
14.已知复数的共轭复数，则复数的虚部是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
15.设复数满足，为虚数单位，则下列命题正确的是( )
A.
B. 复数在复平面内对应的点在第四象限
C. 的共轭复数为
D. 复数在复平面内对应的点在直线上
16.已知复数，则下列说法正确的是( )
A. 若，则共轭复数 B. 若复数，则
C. 若复数为纯虚数，则 D. 若，则
17.已知为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是( )
A. 复数的虚部是 B.
C. 复数的共轭复数是 D. 复数的共轭复数对应的点位于第四象限
18.已知集合，其中为虚数单位，则下列元素属于集合的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
19.已知复数，，在复平面上对应的点分别为，，，若四边形为平行四边形为复平面的坐标原点，则复数 ______．
20.瑞士数学家欧拉于年在微分公式中，第一次用来表示的平方根，首创了用符号作为虚数的单位．若复数为虚数单位，则复数的虚部为 ， ．
21.是虚数单位，复数______．
22.设复数满足，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
23.本小题分
在复平面内，向量所对的复数，向量所对的复数，点所对应的复数，点与点关于虚轴对称．
求点、、、的坐标；
判断、、、四点是否共圆，并证明你的结论．
24.本小题分
已知，，，是复平面内的四个点，其中，，且向量，对应的复数分别为，，且．
求，；
若复数，，在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
25.本小题分
已知为三角形的一个内角，复数，且满足．
求；
设，，在复平面上对应的点分别为，，，求的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】复数，
则复数的共轭复数为，
在复平面内，复数的共轭复数对应点的坐标为，
故在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于在第四象限．
故选D．
2.【答案】
【解析】复数的共轭复数：．
它的虚部为．
故选：．
3.【答案】
【解析】，
．
故选：．
4.【答案】
【解析】复数的实部为正数，虚部为，
则，
，
则，解得，
故．
故选：．
5.【答案】
【解析】由复数是关于的方程的一个根，得是该方程的另一根，
则，解得，，，
由，得，因此图形是以点为圆心，为半径的圆，
所以得周长为．
故选：．
6.【答案】
【解析】因为复数其中是虚数单位的实部与虚部相等，所以，
则．
故选：．
7.【答案】
【解析】在复平面内对应的点为，，
，
，化简得．
故选：．
根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】
若，
则
，
则，
故选：．
9.【答案】
【解析】由，得，
，
则复数的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选：．
10.【答案】
【解析】复数，
对应点在第四象限，则，
解得：．
实数的取值范围是．
故选：．
11.【答案】
【解析】，
．
故选D．
12.【答案】
【解析】如图可得，，
所以，
所以．
故选：．
13.【答案】
【解析】
．
故选C．
14.【答案】
【解析】由，
得，
复数的虚部是．
故选：．
15.【答案】
【解析】由，得，故A 正确：
复数在复平面内对应的点的坐标为，在第三象限，故B不正确：
的共轭复数为，故C正确：
复数在复平面内对应的点不在直线上，故D不正确．
故选：．
16.【答案】
【解析】，
若，则，，故A错误；
此时，故D正确；
若复数，则，即，故B正确；
若复数为纯虚数，则，即，故C错误．
故选：．
17.【答案】
【解析】
，
对于，复数的虚部是，故A错误
对于，，故B错误；
对于，复数的共轭复数是，故C正确；
对于，，在复平面内，对应点的坐标为，位于第四象限，故D正确，
故选CD．
18.【答案】
【解析】根据题意，中，
时，；
时，；
时，；
时，，
．
选项A中，；
选项B中，；
选项C中，；
选项D中，．
故选：．
19.【答案】
【解析】设，
则，
复数，，
则，，
故，即，解得，
故．
故答案为：．
20.【答案】
【解析】，
复数的虚部为，且．
故答案为：；．
21.【答案】
【解析】．
故答案为：．
22.【答案】
【解析】在复平面内，，
则复数表示以，为端点的一条线段，
又表示在复平面内到点的距离，
则的最小值为，最大值为，
故的取值范围为．
故答案为：．
23.【解析】，，
又所对的复数，，
点所对应的复数，，
又点与点关于虚轴对称，；
Ⅱ，，，四点共圆．
证明如下：
设，点所对的复数分别为，，
则，，，，
，，，都在以原点为圆心，为半径的圆上．
24.【解析】由已知可得，，
则，，
所以，则，解得，，
所以，，
因为
在复平面内对应的点在第四象限，则，
解得，即实数的范围为
25.【解析】，且，
，
，且，
，，，
；
，，，
在复平面上对应的点分别为，
，
由余弦定理得，且，
，
．
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