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重庆巴蜀科学城中学校高2027届高二上入学测试
数学试题
(考试时间：120分钟总分：120分)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，
1.若直线过点(2,4)，1,4+√3)，则此直线的倾斜角是()
A,30
B.60
C.120
D.150
2.现采用随机模拟的方式估计一运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0
到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；
再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：
137960-197925271815952683829436730257,据此估计，该运动员三次投篮恰
有两次命中的概率为()
A.
B
c.i
D.
3.已知直线l:2x-a2y+a=0与直线l(a-1)x-ay+1=0互相平行，则实数a的值为（)
A.-1
B.0
c.1
D.2
4.平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布
的形态有关在下图分布形态中，α，b,c分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下
列关系正确的是()
A.aB.bCcD c5.已知直线x-3y+a=0与⊙C:x2+y2+4x=0相交于A、B两点，且∠ACB=120°，则实
数a的值为()
A.3
B10
C.11或21
D.3或13
6.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(2c-b)tanB=btan A,且
cos42C-6 o=至，则△ABC的形状为()
2
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A.等腰或直角三角形
B.等边三角形
C.直角三角形D.等腰直角三角形
7.过点P(3,4)在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条（)
A.4
B.5
C.6
D.7
8.已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为2，点E为正四棱锥P一ABCD的外接球球面上
一动点，PE=√，则动点E的轨迹长度为()
A.3元
B.6元
C.6n
2
D√6π
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图
所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确
频率
的是()
个组距
0.030
A.考生参赛成绩的平均分约为72.8分
0.020
0.015
B.考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分
0.010
0.005
C.分数在区间[60,70)内的频率为0.2
405060708090100成绩
D.用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间[70,80)应
抽取30人
10.在斜三角形（不包含直角）ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若sinA=cosB,
则()
A.△ABC为锐角三角形
B.若a=1,则b=tanB
C.2tanB+tanC的最小值为√5
D.111.已知点A,B为圆O:x2+y2=26上两动点，且AB=4W6,点P为直线1：x+y+10=0上
动点，则()
A.以AB为直径的圆与直线1相离
B.∠APB的最大值为写
C.PA.PB的最小值为8
D.PA+PB的最小值为112
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知tan45°-ax)=2,则tan2a=
试卷第2页，共4页重庆巴罚科学城中学校高2027届高二上入学测试数学一参考答案
题号1
作出正四棱锥P-ABCD外接球的轴截面（过点P、A、C)如下所示：
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
A
D
B
D
D
BC BCD
因为PE=R=V反，所以△POE为等边三角形，所以∠POE=∠EPO=
3
题号
11
答案ACD
过点E作EF LPO2交PO于点F,则EF=PEsin∠BP0=V2x5-G
22
3.B【详解】解：当a=0时，直线4：即x=0,直线：即x=1,满足m
所以点E在以F为圆心，EF=5为半径的圆上，所以动点E的轨迹长度为2x×EF=2x
.V6
21
=V6π
2
当a≠0时，直线4：2x-a2y+a=0与直线l:(a-0x-a四+1=0互相平行，
9.【详解】对于A,平均成绩为元=45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.2+95×0.1=72.5，A错误：
“品号-只解得实数a60,综上，a=0,
对于B,由频率分布直方图知，分数在[40,80)内的频率为0.7，在[40,90)内的频率为0.9，
4.A【详解】由数据分布图知，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数 为右起第二个矩形下底边的中点
因此第75百分位数位于80,90)内，第75百分位数为80+07507=825，B正确：
0.02
值，直线x=b左右两边矩形面积相等，而直线x=c左边矩形面积大于右边矩形面积，则b对于C,分数在区间[60,70)内的频率为0.02×10=0.2，C正确：对于D,区间[70,80)应抽取200×0.3=60人.
又数据分布图左拖尾，则平均数a小于中位数b,即a10.【详解】对于A由hA=cosB可得血A=sm行B:
6.【详解】由(2c-b)tanB=btan A得(2c-b)sin Bcos=bsin AcosB,
则A-分B或4+受-B=,即4=受B酸A一空+B,因为三角形0C为斜三角形，若4=受8，则4+8-受
由正弦定理得(2sinC-sinB)sin Bcos A=sin Bsin Acos B,
C=受，不符合斜三角形，所以4=受+B,即A为钝角，VABC为钝角三角形，故A钻误：
由于sinB≠0，所以2 sin Ccos A=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sinC,,sinC≠0
对于B,由正弦定理可得品白。则心B品后所以6-品合-m8,旅B正确
h
cos B
所以co4=片由于A为三角形的内角，所以A=60,
对于C,由4+B+C=,A=受+B可得C=受2B,且CeQ,,则Be0引
又cos242C-C-得os(4-C-2-号eas4cosc-sn4nC-caf4+g=月
2
则
进而可得-c0sB=-2,而B为三角形内角，故B=60,进而C=60,故三角形为等边三角形，
2m8+mc=2um8+m(任282m+28
7.智库原题【详解】当截距为0时，是直线OP,只有一条，
2tan B+I-tan'B-3 tan B+2tanB 222tan
1
当截距大于0时，设截距分别为a,,则直线方程为三+兰=1，：直线过点P(3,4),
2tan B 2
a b
÷分-10.a>06>020后0结合0可0.后1e>3b4,
当且仅当m8=ZdB时，即am8=9时，等号成立，故c正确：
3
对于D,由C可知A=+B,C=受2B,则cosA+cosB+cosC=-snB+c0sB+sin2B,
叉ab为整级。02水62≥5，由0解料6-号-4+吕
4+a二30-3为12的因数，
a-3=1,2,3,4,6,12对应a=4,5,6,7,9,15,相应b=16.10,8,7,6,5,对应的直线又有6条，综上有7条。
1=如8-asB=2sm-引由8到可得a-(产，则n(8-}受.0
【点晴】本题考查直线的截距和直线方程的截距式，涉及整除问题，关键有两点：一是要注意截距为零的情况，而
是在截距不为学时，得到。号后分高带致得到6=4十片·进面得出。一-3应当为2正因数
所以V5simB-买e(-l,0,故1e(-h,o且sm2B=2 sin BosB=1-6如B-cosB-1-13,
8.D【详解】依题意，正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为2，连接AC、BD,
所以6os4cos8+coC=1+1-子=-气兮是.当：=时，取得最大值子，
设AC∩BD=O,连接PO,则P0⊥平面ABCD,则B0=号BD=N22+2=V2,
当1=0或-l时，最小值为1，所以1<60sA+cosB+cosC名，故D正确：
所以P0=2-(2=5,所以P0=0A=OB=0C=OD=5,
11.ACD
则O为正四棱锥P-ABCD外切球的球心，且外接球的半径R=PO=√互，
【详解】对于A,设AB的中点为C,连接0C,40,则oC⊥B4C=BC-Al=2W6,
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