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第1章勾股定理同步练习卷-2025-2026学年数学八年级上册北师大版（2024）
一．选择题（共8小题）
1．（2025 榆阳区校级开学）下列四组数中，不是勾股数的是（　　）
A．3，4，5 B．9，12，15 C．5，12，13 D．3，5，7
2．（2025春 柳州期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝1：3：2 B．a＝5，b＝13，c＝12
C．a：b：c＝2：2：3 D．∠A+∠B＝90°
3．（2025春 张家界期末）如图，在直角三角形ABC中，∠B＝90°，以下式子成立的是（　　）
A．a2+b2＝c2 B．a2+c2＝b2 C．b2+c2＝a2 D．（a+c）2＝b2
4．（2025春 雨花区校级期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.1米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（　　）
A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米
5．（2025春 龙马潭区期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且ab＝6，则图中大正方形的边长为（　　）
A．5 B． C．4 D．3
6．（2025春 日照期中）定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高偏度值”．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，则△ABC中AB边的“中高偏度值”为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025春 新县期末）如图，字母B所代表的正方形的边长是（　　）
A．194 B．144 C．13 D．12
8．（2025春 宁远县期末）如图，一架长2.5m的梯子AB靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端A到墙根O的距离为0.7m，如果梯子的顶端B下滑0.4m至B'，那么梯子底端将滑动（　　）
A．0.6m B．0.7m C．0.8m D．0.9m
二．填空题（共8小题）
9．（2025春 珠海期中）已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为 　 　 ．
10．（2025春 长寿区期末）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面5米的B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为12米，则这棵大树在折断前的高度为 　 　 米．
11．（2024秋 宿迁期末）如图，在“4×4”的正方形网格中，∠1+∠2的度数为 　 　 ．
12．（2024秋 中卫期末）如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为AB＝1.3米，小狗的高CD＝0.3米，小狗与小方的距离AC＝2.4米．（绳子一直是直的）牵狗绳BD的长 　 　 ．
13．（2024秋 肥城市期末）“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈＝10尺，1尺＝10寸．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？设门高x尺，根据题意，可列方程为 　 　 ．
14．（2025春 津南区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝4，在AC上截取CD＝CB．在AB上截取AP＝AD，则AP＝　 　 ．
15．（2025春 咸丰县期末）如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点A，B，C为格点，点D为AC与网格线的交点，则∠ADB﹣∠ABD＝　 　 ．
16．（2024秋 江山市期末）如图，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则BD的长是 　 　 ．
三．解答题（共6小题）
17．（2025春 兰山区期末）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，E为BC上一点．已知AB＝20，AE＝25，BC＝39，DC＝7，且AE＝DE．求证：△CDE为直角三角形．
18．（2024秋 桐柏县期末）如图，一架25m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙上．
（1）若梯子底端B距墙角7m，求梯子的顶端A距地面多高；
（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑4m至点A′，那么梯子的底端B向外移至点B′，求BB′的长．
19．（2024秋 信都区期末）在学校组织的研学活动中，需要学生自己搭建帐篷．如图是搭建帐篷的示意图．在△ABC中，支架AD从帐篷顶点A支撑在水平的支架BC上，且AD⊥BC于点D，经测量得：AB＝2m，AD＝1.2m，CD＝0.9m．按照要求，帐篷支架AB与AC所夹的角需为直角，请通过计算说明学生搭建的帐篷是否符合条件．
20．（2025春 汝南县期末）如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架AC＝80cm，CB＝60cm，两轮中心的距离AB＝100cm．
（1）判断支架AC，BC是否垂直；
（2）求点C到AB的距离．
21．（2025春 海伦市期末）已知，如图，AB＝3，AD＝4，BC＝13，CD＝12，且∠A＝90°．
（1）求BD的长．
（2）判断△BCD是什么三角形，并说明理由？
22．（2025春 江海区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）若点P运动到BC的中点时，t的值是 　 　 ；
（2）4秒内，若BP＝AP，求BP的长；
（3）当△ABP为直角三角形时，求t的值．
第1章勾股定理同步练习卷-2025-2026学年数学八年级上册北师大版（2024）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B B B B D C
一．选择题（共8小题）
1．（2025 榆阳区校级开学）下列四组数中，不是勾股数的是（　　）
A．3，4，5 B．9，12，15 C．5，12，13 D．3，5，7
【解答】解：A．32+42＝52，是正整数，符合勾股定理，是勾股数，不符合题意；
B．92+122＝152，是正整数，符合勾股定理，是勾股数，不符合题意；
C．52+122＝132，是正整数，符合勾股定理，是勾股数，不符合题意；
D、32+52≠72，不符合勾股定理，不是勾股数，符合题意．
故选：D．
2．（2025春 柳州期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝1：3：2 B．a＝5，b＝13，c＝12
C．a：b：c＝2：2：3 D．∠A+∠B＝90°
【解答】解：A、∠A：∠B：∠C＝1：3：2，则最大角为，即△ABC是直角三角形，不符合题意；
B、由a2+c2＝b2，符合勾股定理的逆定理，即△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、a2+b2≠c2，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，符合题意；
D、由∠A+∠B＝90°，则∠C＝90°，即△ABC是直角三角形，不符合题意．
故选：C．
3．（2025春 张家界期末）如图，在直角三角形ABC中，∠B＝90°，以下式子成立的是（　　）
A．a2+b2＝c2 B．a2+c2＝b2 C．b2+c2＝a2 D．（a+c）2＝b2
【解答】解：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
由题意可知∠B＝90°，所以b斜边，a，c直角边，
即a2+c2＝b2，
故选：B．
4．（2025春 雨花区校级期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.1米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（　　）
A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.1米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，
∴AE＝AB﹣BE＝2.1﹣1.6＝0.5（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：（米），
故选：B．
5．（2025春 龙马潭区期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且ab＝6，则图中大正方形的边长为（　　）
A．5 B． C．4 D．3
【解答】解：∵ab＝6，
∴直角三角形的面积是ab＝3，
∵小正方形的面积是1，
∴大正方形的面积＝1+4×3＝13，
∴大正方形的边长为，
故选：B．
6．（2025春 日照期中）定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高偏度值”．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，则△ABC中AB边的“中高偏度值”为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：过C作CH⊥AB于H，取AB的中点D，连接CD，过D作DE⊥CH于E，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．
∴AB5，
∴CD＝BDAB＝2.5，
∵2S△ABC＝AC BC＝AB CH，
∴CH＝2.4，
∴BH1.8，
∴DH＝BD﹣BH＝0.7，
∴，
故选：B．
7．（2025春 新县期末）如图，字母B所代表的正方形的边长是（　　）
A．194 B．144 C．13 D．12
【解答】解：∵169﹣25＝132﹣52＝144＝122，
∴字母B所代表的正方形的边长是12．
故选：D．
8．（2025春 宁远县期末）如图，一架长2.5m的梯子AB靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端A到墙根O的距离为0.7m，如果梯子的顶端B下滑0.4m至B'，那么梯子底端将滑动（　　）
A．0.6m B．0.7m C．0.8m D．0.9m
【解答】解：∵AB＝2.5m．AO＝0.7m，
∴BO2.4（m），
∵B′O＝BO﹣BB′＝2.4﹣0.4＝2（m）．
∴A′O1.5（m），
A′A＝A′O﹣AO＝1.5﹣0.7＝0.8（m）．
故梯足将滑动的距离是0.8m．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
9．（2025春 珠海期中）已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为 　4或　 ．
【解答】解：∵直角三角形的两边长分别为3和5，
∴①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则x4；
②当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x，则x．
综上所述，第三边的长为4或．
故答案为：4或．
10．（2025春 长寿区期末）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面5米的B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为12米，则这棵大树在折断前的高度为 　18　 米．
【解答】解：如图所示：
∵△ABC是直角三角形，AB＝5m，AC＝12m，
∴BC12（m），
∴大树的高度＝AB+BC＝5+13＝18（m），
故答案为：18．
11．（2024秋 宿迁期末）如图，在“4×4”的正方形网格中，∠1+∠2的度数为 　45　 ．
【解答】解：将∠2向下平移1个单位格得到AB，如图，连接AC，
∴∠2＝∠ABE，
∵AC2＝AD2+CD2＝22+12＝5，AB2＝BE2+AE2＝22+12＝5，BC2＝32+12＝10，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABE+∠1＝45°，
∴∠1+∠2＝45°，
故答案为：45°．
12．（2024秋 中卫期末）如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为AB＝1.3米，小狗的高CD＝0.3米，小狗与小方的距离AC＝2.4米．（绳子一直是直的）牵狗绳BD的长 　2.6米　 ．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
则AE＝CD＝0.3米，DE＝AC＝2.4米，
∴BE＝AB﹣AE＝1米，
∴BD2.6（米）．
所以此时牵狗绳BD的长为2.6米．
故答案为：2.6米．
13．（2024秋 肥城市期末）“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈＝10尺，1尺＝10寸．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？设门高x尺，根据题意，可列方程为 　x2+（x﹣6.8）2＝102　 ．
【解答】解：设长方形门高x尺，则宽是（x﹣6.8）尺，
根据题意得x2+（x﹣6.8）2＝102，
故答案为：x2+（x﹣6.8）2＝102．
14．（2025春 津南区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝4，在AC上截取CD＝CB．在AB上截取AP＝AD，则AP＝　22　 ．
【解答】解：根据圆的性质可知，CB＝CD，AD＝AP，
由勾股定理得：AC2，
∴AP＝AD＝AC﹣CD＝AC﹣BC＝22．
故答案为：22．
15．（2025春 咸丰县期末）如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点A，B，C为格点，点D为AC与网格线的交点，则∠ADB﹣∠ABD＝　45°　 ．
【解答】解：如图：连接AE，BE，设AE与BD交于点F，
由题意得：
AB2＝12+32＝10，
AE2＝12+22＝5，
EB2＝12+22＝5，
∴AE＝EB，BE2+AE2＝AB2，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE＝45°，
∵BD∥EC，
∴∠ADB＝∠ACE，∠AFD＝∠AEC，
∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE，
∴∠AFD＝∠ADF，
∵∠AFD是△ABF的一个外角，
∴∠AFD﹣∠ABD＝∠BAE＝45°，
∴∠ADB﹣∠ABD＝45°，
故答案为：45°．
16．（2024秋 江山市期末）如图，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则BD的长是 　　 ．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，
∴BC3，
过D作DE⊥AB于E，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，
∴CD＝ED，
在Rt△BCD与Rt△BED中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BE＝BC＝3，
∴AE＝AB﹣BE＝2，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2＝DE2+AE2，
即DE2+22＝（4﹣DE）2，
解得：DE，
∴BD，
故答案为：．
三．解答题（共6小题）
17．（2025春 兰山区期末）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，E为BC上一点．已知AB＝20，AE＝25，BC＝39，DC＝7，且AE＝DE．求证：△CDE为直角三角形．
【解答】证明：∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理可知，，
∴EC＝BC﹣BE＝24．
∵DE＝AE，AE＝25，
∴DE＝25．
∴DC2+EC2＝72+242＝625，DE2＝252＝625．
∴DC2+EC2＝DE2．
∴△CDE为直角三角形．
18．（2024秋 桐柏县期末）如图，一架25m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙上．
（1）若梯子底端B距墙角7m，求梯子的顶端A距地面多高；
（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑4m至点A′，那么梯子的底端B向外移至点B′，求BB′的长．
【解答】解：（1）在Rt△AOB中，AB＝25m，OB＝7m，
根据勾股定得OA2＝AB2﹣OB2＝252﹣72＝576＝242，
所以OA＝24m．
所以梯子的顶端A距地面24m．
（2）A′O＝24﹣4＝20（m），
在Rt△A′OB′中，根据勾股定理得OB′2＝A′B′2﹣OA′2＝225＝152，
所以OB′＝15m，
所以BB′＝15﹣7＝8（m）．
19．（2024秋 信都区期末）在学校组织的研学活动中，需要学生自己搭建帐篷．如图是搭建帐篷的示意图．在△ABC中，支架AD从帐篷顶点A支撑在水平的支架BC上，且AD⊥BC于点D，经测量得：AB＝2m，AD＝1.2m，CD＝0.9m．按照要求，帐篷支架AB与AC所夹的角需为直角，请通过计算说明学生搭建的帐篷是否符合条件．
【解答】解：帐篷符合要求．
理由如下：
在Rt△ACD中，CD＝0.9m，AD＝1.2m，
∴AC1.5（m），
在Rt△ADB中，AB＝2m，AD＝1.2m，
∴BD1.6（m），
∴BC＝1.6+0.9＝2.5（m），
∵AB2+AC2＝22+1.52＝6.25，BC2＝2.52＝6.25，
∴AB2+AC2＝BC2．
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°．
∴帐篷符合要求．
20．（2025春 汝南县期末）如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架AC＝80cm，CB＝60cm，两轮中心的距离AB＝100cm．
（1）判断支架AC，BC是否垂直；
（2）求点C到AB的距离．
【解答】解：（1）∵AC＝80cm，CB＝60cm，AB＝100cm，
∴AC2+BC2＝802+602＝10000，AB2＝10000，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形（∠ACB＝90°），
∴AC⊥BC；
（2）连接AB，过C作CD⊥AB于D，
∵△ABC的面积，
∴80×60＝100×CD，解得：CD＝48cm，
即点C到AB的距离为48cm．
21．（2025春 海伦市期末）已知，如图，AB＝3，AD＝4，BC＝13，CD＝12，且∠A＝90°．
（1）求BD的长．
（2）判断△BCD是什么三角形，并说明理由？
【解答】解：（1）如图，在△ABD中，AB＝3，AD＝4，∠A＝90°，
∴由勾股定理得 BD5，即BD＝5；
（2）△BCD是直角三角形．理由如下：
在△BCD中，BC＝13，CD＝12，BD＝5，
∴BC2＝169，BD2+CD2＝52+122＝169，
∴BC2＝BD2+CD2，
∴△BCD是直角三角形．
22．（2025春 江海区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）若点P运动到BC的中点时，t的值是 　2　 ；
（2）4秒内，若BP＝AP，求BP的长；
（3）当△ABP为直角三角形时，求t的值．
【解答】解：（1）在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，
∴根据勾股定理可得：BC8（cm），
当点P运动到BC的中点时，BPBC＝4cm，
∴t＝4÷2＝2（s），
故答案为：2；
（2）当点P到达点C时，t＝8÷2＝4（s），
∴4秒内，点P在线段BC上，连接AP，如图1，
∵BP＝AP＝2t cm，BC＝8cm，
∴PC＝（8﹣2t）cm，
根据勾股定理可得：PC2+AC2＝AP2，即（8﹣2t）2+62＝（2t）2，
解得：t，
∴BP＝2（cm）；
（3）①当∠APB＝90° 时，点P和点C重合，t＝8÷2＝4（s）；
②当∠BAP＝90°时，点P在线段BC延长线上，如图2，
∵BP＝2t cm，BC＝8cm，
∴PC＝（2t﹣8）cm，
在Rt△ACP中，根据勾股定理可得：AP2＝AC2+PC2＝62+（2t﹣8）2，
在Rt△ABP中，根据勾股定理可得：AP2＝BP2﹣AB2＝（2t）2﹣102，
362+（2t﹣8）2＝（2t）2﹣102，
解得：t，
综上：t＝4或t．
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