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第二章实数的初步认识（培优卷）
一．选择题（共10小题）
1．下列四个实数中，是无理数的是（　　）
A．0 B． C． D．
2．如果x2＝64，那么的值为（　　）
A．±4 B．±2 C．4 D．﹣2
3．下列说法正确的是（　　）
A．的算术平方根是3 B．0的算术平方根是0
C．﹣16的平方根是﹣4 D．0.1的立方根是0.001
4．宽与长之比为的长方形称为“黄金长方形”，估算的取值范围在（　　）
A．0到之间 B．到1之间 C．1到之间 D．到2之间
5．无理数a在数轴上的对应点如图所示，则a的值可能是（　　）
A． B． C． D．
6．正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1．若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2024次后，数轴上数2025所对应的点是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
7．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，实数在数轴上对应的点可能是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
9．如图，O，A，B，C四点在数轴上，其中O为原点，且AC＝2，OA＝2OB，若C点所表示的数为m，则B点所表示的数正确的是（　　）
A．﹣2（m+2） B． C． D．
10．已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共5小题）
11．的平方根是　 　 ．
12．如图，数轴上标注了四段，若，则表示a的点落在段 　 　 （填序号）．
13．如图，数轴上点A，B表示两个连续的整数，点C表示的数是，则点B表示的数是　 　 ．
14．已知1.2584，2.711，则　 　 ，　 　 ．
15．如图，面积为a（a＞1）的正方形ABCD的边AB在数轴上，点B表示的数为1．将正方形ABCD沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为A'B'CD'，点A、B、C、D的对应点分别为A'、B'、C、D'，移动后的正方形A'B'C'D'与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S．当S时，数轴上点B'表示的数是 　 　 （用含a的代数式表示）．
三．解答题（共7小题）
16．已知m+3的平方根是±2，2m+n﹣3的立方根是3．
（1）求m，n的值．
（2）求﹣3m+n的算术平方根．
17．若某正数a的两个平方根分别是2b﹣1和b+4，c是的整数部分，求﹣a﹣3b+c的立方根．
18．（1）请用“＞”、“＝”、“＜”填空：
①2+3 　 　 2；②1 　 　 2；③5+5 　 　 2．
（2）由（1）中各式猜想m+n与2（m≥0，n≥0）的大小关系，并说明理由．
（3）学以致用：某园林设计师要用篱笆围成一个矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体（墙体足够长），为了围成面积为128m2的花圃，所用的篱笆至少是多少米？
19．已知x﹣6和3x+14分别是a的两个平方根，2y+2是a的立方根．
（1）求a，x，y的值；
（2）求1﹣4x的平方根和算术平方根．
20．小明制作了一张面积为150cm2的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为216cm2．
（1）求长方形信封的长和宽；
（2）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断．
21．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”．
（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．
（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．
22．请阅读材料：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么正数就叫做a的算术平方根，记作（即x），如32＝9，3叫做9的算术平方根．
（1）计算下列各式的值：
　 　 ，　 　 ，　 　
（2）观察（1）中的结果，，之间存在怎样的关系？　 　
（3）由（2）的猜想：　 　 （a≥0，b≥0）
（4）根据（3）计算：
　 　 ，　 　 ．
第二章实数的初步认识（培优卷）答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B B A A B C D B
1．解：A、0不是无理数，不符合题意；
B、不是无理数，不符合题意；
C、是无理数，符合题意；
D、是分数，不是无理数，不符合题意．
故选：C．
2．解：由条件可知，
∴当x＝8时，，当x＝﹣8时，，
故选：B．
3．解：A、，3的算术平方根是，原说法错误，故本选项不符合题意；
B、0的算术平方根是0，原说法是正确的，故本选项符合题意；
C、负数没有平方根，原说法错误，故本选项不符合题意；
D、0.001的立方根是0.1，原说法错误，故本选项不符合题意．
故选：B．
4．解：∵23，
∴11＜2，
∴1，
故选：B．
5．解：根据数轴可得1＜a＜2，根据无理数估算的方法判定如下：
A、，符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选：A．
6．解：当正方形在转动第一周过程中，即正方形连续翻转了4次，
第一次翻转A对应1，
第二次翻转B对应2，
第三次翻转C对应3，
第四次翻转D对应4，
…，
∴四次一个循环，
∵2025÷4＝506...1，
∴2025所对应的点是A．
故答案为：A．
7．解：11，
故选：B．
8．解：∵4＜7＜9，
∴，
∴C点符合题意．
故选：C．
9．解：由点A、B、C在数轴上的位置，AC＝2，若C点所表示的数为m，
∴点A表示的数为m﹣2，
∴OA＝|m﹣2|＝2﹣m
∵OA＝2OB，
∴OBOA，
故选：D．
10．解：由题意b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，则
①ab+ac＞0，故原结论正确；
②﹣a﹣b+c＞0，故原结论错误；
③1﹣1+1＝1，故原结论错误；
④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝a﹣b+c+b﹣（﹣a+c）＝2a，故原结论错误；
⑤当b≤x≤a时，|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b，故原结论正确．
故正确结论有2个．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．解：的平方根＝9的平方根＝3或﹣3．
故答案为：3或﹣3．
12．解：∵，
∴，
∴表示a的点落在段④．
故答案为：④．
13．解：∵1993＝1000×1.993，1.2584，
∴12.584
∵﹣0.011993＝﹣0.001×19.93，2.711
∴0.2711．
故填12.584，﹣0.2711．
15．解：因为正方形面积为a，
所以边长AB，
当向右平移时，如图1，
因为重叠部分的面积为S＝AB' AD，
AB'，
所以AB'＝1，
所以平移距离BB'＝AB﹣AB'1，
所以OB'＝OB+BB'，
则B'表示的数是；
当向左平移时，如图2，
因为重叠部分的面积为S＝A'B A'D'，
A'B，
所以A'B＝1，
所以平移距离BB'＝A'B'﹣A'B1，
所以OB'＝OB﹣B'B＝1﹣（1）＝2，
则B'表示的数是2．
三．解答题（共7小题）
16．解：（1）由条件可知m+3＝4，
∴m＝1，
由条件可知2m+n﹣3＝27，
∴2×1+n﹣3＝27，
∴n＝28；
（2）﹣3m+n＝﹣3+28＝25，
∴﹣3m+n的算术平方根是5．
17．解：由条件可知2b﹣1+b+4＝0，
∴b＝﹣1，
∴a＝（2b﹣1）2＝9，
∵c是的整数部分，，
∴c＝5，
∴﹣a﹣3b+c＝﹣9﹣3×（﹣1）+5＝﹣1，
∴﹣a﹣3b+c的立方根为﹣1．
18．解：（1）①2+3＝5，，
∵，
∴；
②，，
∵，
∴；
③，
∴；
故答案为：＞，＞，＝；
（2）猜想，理由如下：
当m≥0，n≥0时，
由条件可知，
∴，
∴；
（3）设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，
∴S＝ab＝128m2，
根据（2）的结论可得：（米）．
∴篱笆至少需要32米．
19．解：（1）∵x﹣6和3x+14分别是a的两个平方根，
∴x﹣6+3x+14＝0，
解得：x＝﹣2，
∴a＝（﹣2﹣6）2＝（﹣2﹣6）2＝64，
∴，
解得：y＝1；
（2）由（1）可得：x＝﹣2，
∴1﹣4x＝1﹣4×（﹣2）＝9，
∴1﹣4x的算术平方根为：；算术平方根为：．
20．解：（1）设长方形信封的长为3x cm，宽为2x cm，
∴3x 2x＝216，
解得x＝6，
∴长为18cm，宽为12cm；
2）不能，理由如下：
∵正方形贺卡的面积为150cm2，长方形信封的宽为12cm，
以长方形信封的宽为边的正方形面积为144cm2，
∵144＜150，
∴放不进去．
21．解：（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”，理由如下：
∵12，6，4，
∴﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”；
（2）∵6，
∴分两种情况讨论：
①当12时，﹣3m＝144，
∴m＝﹣48；
②当12时，﹣12m＝144，
∴m＝﹣12（不符合题意，舍）；
综上，m的值是﹣48．
22．解：（1）2，5，10
（2）观察（1）中的结果，，之间存在： ，
（3）由（2）的猜想：（a≥0，b≥0）
（4）根据（3）计算：
4，．
故答案为：2，5，10， ，．
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