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模块综合测评
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　　)
A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}
C．{－2} D．{2}
C　[因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|x≥3或x≤－2}，所以M∩N＝{－2}，故选C．]
2．命题p： x∈N，x3>x2的否定 p为(　　)
A． x∈N，x3≤x2 B． x∈N，x3>x2
C． x∈N，x3D　[因为命题p： x∈N，x3>x2的否定是存在量词命题，所以 p：“ x∈N，x3≤x2”，故选D．]
3．若x＝1是函数f (x)＝＋b(a≠0)的一个零点，则函数h(x)＝ax2＋bx的零点是(　　)
A．0或1 B．－1或1
C．0或－1 D．1或2
A　[因为1是函数f (x)＝＋b(a≠0)的一个零点，所以a＋b＝0，即a＝－b≠0，
所以h(x)＝－bx(x－1)，令h(x)＝0，解得x＝0或x＝1．]
4．已知函数f (x)＝若f (f (0))＝－2，实数a＝(　　)
A．1 B．2　　　　
C．3 D．4
C　[因为f (x)＝所以f (0)＝03＋1＝1，所以f (f (0))＝f (1)＝1－a＝－2，解得a＝3．故选C．]
5．如果不等式|x－a|<1成立的充分不必要条件是A．C．a<或a> D．a≤或a≥
B　[由|x－a|<1，得a－1由题意知：即≤a≤．]
6．若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为(　　)
A．25 B．
C． D．
D　[由a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab＝a2b≤＝，当且仅当a＝，b＝时取等号．]
7．函数f (x)＝mx2＋(m－1)x＋1在区间(－∞，1]上为减函数，则m的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
C　[当m＝0时，f (x)＝1－x，满足在区间(－∞，1]上为减函数，当m≠0时，因为f (x)＝mx2＋(m－1)x＋1的图象的对称轴为直线x＝，且函数在区间(－∞，1]上为减函数，
所以解得0＜m≤．
综上，0≤m≤．
故选C．]
8．已知函数f (x)＝x(|x|＋1)，则不等式f (x2)＋f (x－2)>0的解集为(　　)
A．(－2，1)
B．(－1，2)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D　[因为f (x)＝x(|x|＋1)，
所以f (－x)＝－x(|－x|＋1)＝－x(|x|＋1)＝－f (x)，
所以f (x)为奇函数，当x≥0时，f (x)＝x2＋x，可知f (x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x)在(－∞，0)上也单调递增，即f (x)为R上的增函数，
所以f (x2)＋f (x－2)>0 f (x2)>－f (x－2) f (x2)>f (2－x)，
所以x2>2－x，
解得x<－2或x>1．]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．对于定义在R上的函数f (x)，下列说法正确的是(　　)
A．若f (x)是奇函数，则f (x－1)的图象关于点(1，0)对称
B．若对x∈R，有f (x＋1)＝f (x－1)，则f (x)的图象关于直线x＝1对称
C．若函数f (x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f (x)为偶函数
D．若f (1＋x)＋f (1－x)＝2，则f (x)的图象关于点(1，1)对称
ACD　[对于A，将f (x)的图象向右平移1个单位长度得到函数f (x－1)的图象，若f (x)为奇函数，则其图象关于点(0，0)对称，则函数f (x－1)的图象关于点(1，0)对称，A正确；
对于B，若对x∈R，有f (x＋1)＝f (x－1)，即f (x－2)＝f (x)，函数f (x)的图象不一定关于直线x＝1对称，B错误；
对于C，将f (x＋1)的图象向右平移1个单位长度得到函数f (x)的图象，若函数f (x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f (x)的图象关于直线x＝0对称，即f (x)为偶函数，C正确；
对于D，若f (1＋x)＋f (1－x)＝2，即f (1＋x)－1＝－[f (1－x)－1]，则f (x)的图象关于点(1，1)对称，D正确．]
10．若存在常数k和b，使得函数f (x)和g(x)对其公共定义域上的任意实数x都满足：f (x)≥kx＋b和g(x)≤kx＋b恒成立，则称此直线y＝kx＋b为f (x)和g(x)的“隔离直线”．已知函数f (x)＝x2(x∈R)，g(x)＝－(x>0)，若函数f (x)和g(x)之间存在“隔离直线”y＝4x－b，则实数b的取值可以是(　　)
A．－5 B．0
C．4 D．7
CD　[若函数f (x)和g(x)之间存在隔离直线y＝4x－b，
则对任意的x>0，f (x)＝x2≥4x－b，即b≥－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
而y＝－(x－2)2＋4≤4，当x＝2时等号成立，所以b≥4；
对任意的x>0，g(x)＝－≤4x－b，则b≤4x＋．
因为4x＋≥2＝8，当且仅当x＝1时，等号成立，所以b≤8，
所以4≤b≤8，所以实数b的取值可以是4或7．故选CD．]
11．对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝若f (x)＝2－x2，g(x)＝x2，下列关于函数F (x)＝min{f (x)，g(x)}的说法正确的有(　　)
A．函数F (x)是偶函数
B．函数F (x)有4个单调区间
C．函数F (x)的最大值为1，无最小值
D．方程F (x)＝0有四个不同的根
ABC　[依题意，得F (x)＝
画出F (x)的图象如图所示(图中实线部分)．
由图可知，F (x)为偶函数；F (x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(0，1)，F (x)的单调递减区间为[－1，0)，[1，＋∞)，所以函数F (x)有4个单调区间；当x＝±1时，F (x)取得最大值1，无最小值；方程F (x)＝0有三个不同的根，分别是－，0，．故选ABC．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B A，则a＝________．
－1或2　[∵B A，
∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a．
①由a2－a＋1＝3，得a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2．
当a＝－1时，A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}，满足B A；
当a＝2时，A＝{1，3，2}，B＝{1，3}，满足B A．
②由a2－a＋1＝a，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1，
当a＝1时，A＝{1，3，1}，不满足集合元素的互异性．
综上，若B A，则a＝－1或a＝2．]
13．直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围为________．
　[y＝
作出图象，如图所示．
此曲线与y轴交于点(0，a)，最小值为a－，要使y＝1与其有四个交点，只需a－＜1＜a，
∴1＜a＜．]
14．若两个正实数x，y满足＝1，且不等式＋4>m2－6m恒成立，则实数m的取值范围是________．
(－2，8)　[由于x>0，y>0，
所以(＋4＝8＋≥8＋2＝16，
当且仅当＝，即x＝64，y＝4取等号，故m2－6m<16，解得－2四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)在①A∩B＝A，②“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，③A∩B＝ 这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并求解下列问题．
问题：已知集合A＝{x|2m－1(1)当m＝－1时，求A∪B；
(2)若________，求实数m的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
[解]　(1)当m＝－1时，A＝{x|－3(2)选择①．∵A∩B＝A，∴A B，
∴解得－≤m≤，
故m的取值范围为．
选择②．由“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，可知B A，
∴或
此时m为空集，故m的取值范围为 ．
选择③．∵A∩B＝ ，
∴2m－1≥4或2m＋1≤－2，
解得m≥或m≤－，
故m的取值范围为．
16．(15分)已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2．
(1)求k的取值范围；
(2)若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．
[解]　(1)依题意，得Δ＝b2－4ac≥0，
即[－2(k－1)]2－4k2≥0，解得k≤．
(2)(法一)依题意，得
x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2．
以下分两种情况讨论：
①当x1＋x2≥0时，则有x1＋x2＝x1x2－1，
即2(k－1)＝k2－1，解得k＝1．因为k≤，
所以k＝1不合题意，舍去．
②当x1＋x2<0时，则有x1＋x2＝－(x1x2－1)，
即2(k－1)＝－(k2－1)．
解得k1＝1，k2＝－3．
因为k≤，所以k＝－3．
综合①②可知k＝－3．
(法二)依题意，可知x1＋x2＝2(k－1)．
由(1)可知k≤，所以2(k－1)<0，即x1＋x2<0．
所以－2(k－1)＝k2－1，
解得k1＝1，k2＝－3．
因为k≤，所以k＝－3．
17．(15分)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x)，满足f＝f (m)－f (n)，且当x>1时，f (x)>0．
(1)讨论函数f (x)的单调性，并说明理由；
(2)若f (2)＝1，解不等式f (x＋3)－f (3x)>3．
[解]　(1)f (x)在(0，＋∞)上单调递增，理由如下：
因为f (x)的定义域为(0，＋∞)，
不妨取任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x11．
由题意f＝f (x2)－f (x1)>0，
即f (x2)>f (x1)．
所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
(2)因为m，n≠0，令m＝，
由f＝f (m)－f (n)可得，
f (m)＝f＝f (mn)－f (n)，
即f (mn)＝f (m)＋f (n)．
由f (2)＝1，可得f (4)＝f (2)＋f (2)＝2．
令m＝4，n＝2，则f (8)＝f (4)＋f (2)＝3，
所以不等式f (x＋3)－f (3x)>3，
即f (x＋3)－f (3x)>f (8)，
即f>f (8)．
由(1)可知，f (x)在定义域内单调递增，
所以只需解得0所以不等式f (x＋3)－f (3x)>3的解集为．
18．(17分)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：万件)的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
[解]　(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，依题意，当0当x≥8时，L(x)＝5x－－3＝35－．
所以L(x)＝
(2)当0所以当x＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9(万元)．
当x≥8时，L(x)＝35－≤35－2＝35－20＝15，
当且仅当x＝，即x＝10时等号成立，L(x)取得最大值15万元．
因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．
19．(17分)已知函数y＝f (x)的定义域为D，且f (x)同时满足以下条件：
①f (x)在D上是单调递增或单调递减函数；
②存在闭区间[a，b] D(其中a(1)判断f (x)＝－x3是不是闭函数．若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由．
(2)若f (x)＝k＋是闭函数，求实数k的取值范围．
注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出是增函数还是减函数即可．
[解]　(1)f (x)＝－x3在R上是减函数，满足①；
设存在区间[a，b]，f (x)的取值集合也是[a，b]，则解得a＝－1，b＝1，
所以存在区间[－1，1]满足②，
所以f (x)＝－x3(x∈R)是闭函数．
(2)f (x)＝k＋是[－2，＋∞)上的增函数，
由题意知，f (x)＝k＋是闭函数，存在区间[a，b]满足②，
即
即a，b是方程k＋＝x的两根，
所以a，b是方程x2－(2k＋1)x＋k2－2＝0的两根，且a≥k，b>k．
令g(x)＝x2－(2k＋1)x＋k2－2，得
解得－所以实数k的取值范围为．
1/1模块综合测评
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　　)
A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}
C．{－2} D．{2}
2．命题p： x∈N，x3>x2的否定 p为(　　)
A． x∈N，x3≤x2 B． x∈N，x3>x2
C． x∈N，x33．若x＝1是函数f (x)＝＋b(a≠0)的一个零点，则函数h(x)＝ax2＋bx的零点是(　　)
A．0或1 B．－1或1
C．0或－1 D．1或2
4．已知函数f (x)＝若f (f (0))＝－2，实数a＝(　　)
A．1 B．2　　　　
C．3 D．4
5．如果不等式|x－a|<1成立的充分不必要条件是A．C．a<或a> D．a≤或a≥
6．若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为(　　)
A．25 B．
C．
7．函数f (x)＝mx2＋(m－1)x＋1在区间(－∞，1]上为减函数，则m的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
8．已知函数f (x)＝x(|x|＋1)，则不等式f (x2)＋f (x－2)>0的解集为(　　)
A．(－2，1)
B．(－1，2)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．对于定义在R上的函数f (x)，下列说法正确的是(　　)
A．若f (x)是奇函数，则f (x－1)的图象关于点(1，0)对称
B．若对x∈R，有f (x＋1)＝f (x－1)，则f (x)的图象关于直线x＝1对称
C．若函数f (x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f (x)为偶函数
D．若f (1＋x)＋f (1－x)＝2，则f (x)的图象关于点(1，1)对称
10．若存在常数k和b，使得函数f (x)和g(x)对其公共定义域上的任意实数x都满足：f (x)≥kx＋b和g(x)≤kx＋b恒成立，则称此直线y＝kx＋b为f (x)和g(x)的“隔离直线”．已知函数f (x)＝x2(x∈R)，g(x)＝－(x>0)，若函数f (x)和g(x)之间存在“隔离直线”y＝4x－b，则实数b的取值可以是(　　)
A．－5 B．0
C．4 D．7
11．对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝若f (x)＝2－x2，g(x)＝x2，下列关于函数F (x)＝min{f (x)，g(x)}的说法正确的有(　　)
A．函数F (x)是偶函数
B．函数F (x)有4个单调区间
C．函数F (x)的最大值为1，无最小值
D．方程F (x)＝0有四个不同的根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B A，则a＝________．
13．直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围为________．
14．若两个正实数x，y满足＝1，且不等式＋4>m2－6m恒成立，则实数m的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)在①A∩B＝A，②“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，③A∩B＝ 这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并求解下列问题．
问题：已知集合A＝{x|2m－1(1)当m＝－1时，求A∪B；
(2)若________，求实数m的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
16．(15分)已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2．
(1)求k的取值范围；
(2)若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．
17．(15分)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x)，满足f＝f (m)－f (n)，且当x>1时，f (x)>0．
(1)讨论函数f (x)的单调性，并说明理由；
(2)若f (2)＝1，解不等式f (x＋3)－f (3x)>3．
18．(17分)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：万件)的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
19．(17分)已知函数y＝f (x)的定义域为D，且f (x)同时满足以下条件：
①f (x)在D上是单调递增或单调递减函数；
②存在闭区间[a，b] D(其中a(1)判断f (x)＝－x3是不是闭函数．若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由．
(2)若f (x)＝k＋是闭函数，求实数k的取值范围．
注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出是增函数还是减函数即可．
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