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课时分层作业(二十五)　零点的存在性及其近似值的求法
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共101分
一、选择题
1．用二分法求函数f (x)＝－x3－3x＋5的零点取的初始区间可以是(　　)
A．(－2，0) B．(－2，1)
C．(0，1) D．(1，2)
2．若函数f (x)＝x＋(a∈R)在区间(1，2)上有零点，则a的值可能是(　　)
A．－2 B．0
C．1 D．3
3．已知f (x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出，则c的值是(　　)
A．9 B．8
C．7 D．6
4．若函数f (x)＝2ax2－x－1在(0，1)内恰有一个零点，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－1，1) D．[0，1)
5．若函数f (x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：
f (1)＝－2 f (1.5)＝0.625
f (1.25)≈－0.984 f (1.375)≈－0.260
f (1.437 5)≈0.162 f (1.406 25)≈－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度为0.04)为(　　)
A．1.5 B．1.25
C．1.375 D．1.406 25
二、填空题
6．用“二分法”求方程x3＋x－4＝0在区间(1，2)内的实根，首先取区间中点x＝1.5进行判断，那么下一个取的点是x＝ ________．
7．已知函数f (x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．
8．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．
三、解答题
9．求证：函数f (x)＝x3＋x2＋1在区间[－2，－1]上存在零点．
10．已知函数f (x)＝若方程f (x)－2x＝0恰有三个不同的实根，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－1，1) B．[－1，2)
C．[－2，2) D．[0，2]
11．已知函数f (x)＝|x－1|(x＋1)，若关于x的方程f (x)＝k有两个不同的实数解，则实数k的值为(　　)
A．－1 B．1
C．0和－1 D．0和1
12．设f (x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f (x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f (x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f (x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围是________．
13．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是________．
14．已知函数f (x)＝2x3－x2－3x＋1．
(1)求证：f (x)在区间(1，2)上存在零点；
(2)若f (x)的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算f (x)＝0的一个近似解(精确度为0.1)．
x 1 1.5 1.25 1.375 1.312 5 1.343 75
f (x)的近似值 －1 1 －0.406 25 0.183 59 －0.138 18 0.015 81
15．已知二次函数f (x)＝x2－2ax＋4，在下列条件下，求实数a的取值范围．
(1)零点均大于1；
(2)一个零点大于1，一个零点小于1；
(3)一个零点在(0，1)内，另一个零点在(6，8)内．
1/1课时分层作业(二十五)
1．D　[由函数f (x)＝－x3－3x＋5的图象连续不断，
且f (－2)＝19，f (0)＝5，f (1)＝1，f (2)＝－9，故f (1)f (2)<0，
故函数f (x)＝－x3－3x＋5的零点可以取的初始区间是(1，2)，故选D．]
2．A　[f (x)＝x＋(a∈R)的图象在(1，2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f (1)＝1－2＝－1<0，f (2)＝2－1＝1>0．故f (x)在区间(1，2)上有零点，同理，其他选项不符合．故选A．]
3．A　[f (x)＝x2＋6x＋c有零点，
但不能用二分法求出，
则x2＋6x＋c＝0有两个相等的实数根，
则Δ＝36－4c＝0，解得c＝9．]
4．B　[由题意知f (0)f (1)＜0，
即 (－1)(2a－2)＜0，∴a＞1．故选B．]
5．D　[由参考数据知，f (1.375)≈－0.260，f (1.437 5)≈0.162，即f (1.375)f (1.437 5)<0，且|1.437 5－1.375|＝0.062 5<0.08，所以方程的一个近似解可取为＝1.406 25．故选D．]
6．1.25　[设函数f (x)＝x3＋x－4，易知函数为增函数，
∵f (1)＝－2<0，f (2)＝6>0，
f (1.5)＝1.53＋1.5－4＝0.875>0，
∴下一个有根区间是(1，1.5)，
那么下一个取的点是x＝＝1.25．]
7．3　0　[因为函数f (x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，
所以f (0)＝0．
又因为f (－2)＝0，
所以f (2)＝－f (－2)＝0，
故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0．]
8．4　[将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则质量小的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．]
9．证明:　因为f (－2)＝(－2)3＋(－2)2＋1＝－3＜0，
f (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1＞0，
所以f (－2)f (－1)＜0．
又函数f (x)的图象在区间[－2，－1]上是连续不间断的，所以函数f (x)在区间[－2，－1]上存在零点．
10．B　[令g(x)＝f (x)－2x，则由题意可得函数g(x)＝恰有三个零点．如图，作出函数y＝－x＋2与y＝x2＋3x＋2的图象，结合函数y＝－x＋2与y＝x2＋3x＋2的图象可知，当－1≤a<2时，函数g(x)有三个零点，故选B．
]
11．D　[f (x)＝
关于x的方程f (x)＝k有两个不同的实数解，则y＝f (x)，y＝k的图象有两个不同的交点，在同一平面直角坐标系中作出y＝f (x)，y＝k的图象如图：
且f (0)＝1，f (1)＝0，由图象可知，
当k＝0或k＝1时，
y＝f (x)与y＝k的图象有两个不同的交点，
所以k＝0或k＝1．]
12．　[由题意可得函数y＝f (x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0，3]上有两个不同的零点，函数图象的对称轴为直线x＝，函数的最小值为－－m．
当x＝0时，y＝4－m，
当x＝3时，y＝－2－m<4－m，
所以
解得－13．2　[∵a>0，∴a2＋1>1．y＝|x2－2x|和y＝a2＋1的图象如图所示，
∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1(a>0)的图象总有2个交点．即方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)有两解．]
14．(1)证明：因为f (x)＝2x3－x2－3x＋1，
所以f (1)＝－1<0，f (2)＝7＞0，
所以f (1)f (2)＝－7<0，
且函数f (x)＝2x3－x2－3x＋1的图象在(1，2)内是连续的，
因此 x0∈(1，2)，f (x0)＝0，
所以f (x)在区间(1，2)上存在零点．
(2)由(1)知，f (x)＝2x3－x2－3x＋1在(1，2)内存在零点，由表知，f (1)＝－1，f (1.5)＝1，
所以f (1)f (1.5)<0，
所以f (x)的零点在(1，1.5)内，
因为f (1.25)＝－0.406 25，
所以f (1.25)f (1.5)<0，
所以f (x)的零点在(1.25，1.5)内，
因为f (1.375)＝0.183 59，
所以f (1.25)f (1.375)<0，
所以f (x)的零点在(1.25，1.375)内，
因为1.375－1.25＝0.125<0.2，
故f (x)＝0的一个近似解为＝1.312 5．
15．解：　(1)f (x)的零点均大于1，则由f (x)图象知，
解得2≤a<，
所以实数a的取值范围为．
(2)f (x)的一个零点大于1，一个零点小于1，
则由f (x)图象可知，f (1)<0，即5－2a<0，
解得a>，
所以实数a的取值范围为．
(3)f (x)的一个零点在(0，1)内，另一个零点在(6，8)内，则由f (x)图象可知，
解得所以实数a的取值范围为．
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