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微专题强化练(三)　函数性质的综合应用
说明：单项选择题每题5分，填空题每题5分，本试卷共55分
一、选择题
1．已知偶函数f (x)在区间[0，＋∞)上的解析式为f (x)＝x＋1，下列大小关系正确的是(　　)
A．f (1)＞f (2)
B．f (1)＞f (－2)
C．f (－1)＞f (－2)
D．f (－1)＜f (2)
2．(多选)函数f (x)＝，下列结论正确的是(　　)
A．f (x)图象关于y轴对称
B．f (x)在[0，＋∞)上单调递减
C．f (x)的值域为
D．f (x)有最大值
3．已知f (x)是R上的奇函数，则函数y＝f (2x－1)＋1的图象恒过点(　　)
A．(0，0)　　　　 B．
C． D．(1，0)
4．已知函数y＝f (x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若不等式f (a)≥f (x)对任意的x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．[－1，1]
C．(－∞，2] D．[－2，2]
5．(多选)已知定义在R上的函数f (x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：
① x∈R，f (－x)＝f (x)；
② m，n∈(0，＋∞)，当m≠n时，都有<0；
③f (－1)＝0．
则下列选项成立的是(　　)
A．f (3)>f (－4)
B．若f (m－1)C．若<0，则x∈(－1，0)∪(1，＋∞)
D． x∈R， M∈R，使得f (x)≤M
二、填空题
6．奇函数f (x)在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值是4，最小值是－1，则2f (－6)＋f (－3)＝________．
7．已知f (x)＝是奇函数，则f (g(－3))＝________．
8．已知函数f (x)＝对于 x1，x2∈[1，＋∞)且x1≠x2，都有(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0，则实数m的取值范围为________．
三、解答题
9．已知函数f (x)的定义域是(0，＋∞)，当x＞1时，f (x)＞0，且f (xy)＝f (x)＋f (y)．
(1)求f (1)；
(2)证明：f (x)在定义域上是增函数；
(3)如果f＝－1，求满足不等式f (x)－f (x－2)≥2的x的取值范围．
1/1微专题强化练(三)
1．D　[f (x)在[0，＋∞)上为增函数，所以f (2)＞f (1)，又f (x)为偶函数，所以f (－x)＝f (x)，故f (－2)＝f (2)，f (－1)＝f (1)，所以f (2)＞f (－1)，f (－2)＞f (－1)．综上所述，D正确．]
2．AD　[对于选项A，f (x)＝，定义域为{x|x≠±3}，f (－x)＝＝＝f (x)，所以函数f (x)为偶函数，f (x)图象关于y轴对称，故A正确．
对于选项B，因为f (x)定义域为{x|x≠±3}，
所以f (x)在[0，＋∞)上单调递减错误，故B错误．
对于选项C，f (x)＝＝＝，因为x≠±3，所以|x|＋3≥3，且|x|＋3≠6，
所以f (x)的值域为，故C错误．
对于选项D，因为f (x)的值域为，所以f (x)的最大值为，故D正确．故选AD．]
3．C　[∵f (x)是R上的奇函数，∴f (0)＝0，令2x－1＝0，解得x＝，此时y＝1，故函数y＝f (2x－1)＋1的图象恒过点．]
4．B　[由题意，知f (x)在[0，＋∞)上是减函数，则不等式f (a)≥f (x)对任意的x∈[1，2]恒成立，即不等式f (|a|)≥f (|x|)对任意的x∈[1，2]恒成立，
∴|a|≤|x|对任意的x∈[1，2]恒成立，
∴|a|≤1，即－1≤a≤1，故选B．]
5．ACD　[由①知函数f (x)为偶函数，由②知函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减，则函数f (x)在(－∞，0)上单调递增．
对于A，f (3)＝f (－3)>f (－4)，故A正确．
对于B，f (m－1)2，解得m∈(3，＋∞)∪(－∞，－1)，故B错误．
对于C，若<0，由题知f (－1)＝f (1)＝0，则当x>0时，f (x)<0，解得x>1；当x<0时，f (x)>0，解得－1对于D，根据函数单调性及函数在R上的图象连续可知，函数f (x)存在最大值f (0)，则只需M≥f (0)，即可满足条件，故D正确．
故选ACD．]
6．－7　[由题意，函数f (x)在[3，6]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为4，最小值为－1，
故f (3)＝－1，f (6)＝4．
∵f (x)是奇函数，
∴2f (－6)＋f (－3)＝－2f (6)－f (3)＝－2×4＋1＝－7．]
7．－33　[因为函数f (x)是奇函数，所以f (－3)＝g(－3)＝－f (3)＝－6，所以f (g(－3))＝f (－6)＝－f (6)＝－33．]
8．　[由题意可知，f (x)在[1，＋∞)上单调递增，要使y＝－在[1，2)上单调递增，
则－m<0，即m>0．
要使y＝x2－mx在[2，＋∞)上单调递增，
则m≤2．
又×22－2m≥－m，解得m≤．
综上可知09．解：　(1)令x＝y＝1，得f (1)＝2f (1)，故f (1)＝0．
(2)证明：令y＝，得f (1)＝f (x)＋f＝0，
故f＝－f (x)．
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，
则f (x2)－f (x1)＝f (x2)＋f＝f．
由于＞1，故f＞0，从而f (x2)＞f (x1)．
∴f (x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)由于f＝－1，
而f＝－f (3)，
故f (3)＝1．
在f (xy)＝f (x)＋f (y)中，
令x＝y＝3，
得f (9)＝f (3)＋f (3)＝2．
故所给不等式可化为f (x)－f (x－2)≥f (9)，
∴f (x)≥f (9(x－2))，
由(2)得f (x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴x≥9x－18，
∴x≤．
又
∴2＜x≤．
∴x的取值范围是．
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