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山东省济南市2025届中考数学试卷
一、单选题
1．下列各数中为负数的是（　　）
A． B．0 C．2 D．
2．如图是由几个大小相同的小立方块搭成的几何体，其主视图是（　　）
A． B． C． D．
3．2025年“五一”假期，济南市图书馆推出全民阅读文化市集、集邮展销等活动，累计接待读者96110人次，数据96110用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在中，按如下步骤作图：
①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D，
②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F．
根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　）
A． B． C．5 D．
10．已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论：
①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；
②当时，y的值随x值的增大而减小；③；
④；⑤对于任意实数t，总有．
以上结论正确的有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题
11．已知一个正方形的面积为2，则其边长为 ．
12．在一个不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为 ．
13．如图，两条直线，分别经过正六边形的顶点B，C，且．当时， ．
14．A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地 ．
15．如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，，则 ．
三、解答题
16．计算：．
17．解不等式组并写出它的所有整数解．
18．已知：如图，在平行四边形中，点E，F分别在和上，且．求证：．
19．某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，倾斜角为，右边滑梯的高度为，倾斜角为，支架，都与地面垂直，，都与地面平行，两支架之间的距离为（点B，C，F，E在同一条直线上）
(1)求两滑梯的高度差；
(2)两滑梯的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，）
20．如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的长．
21．某学校为了更好地开展学生体育活动，组织八年级学生进行体育测试（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组，下面给出了部分信息：
a．抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下：
组别 成绩/分 人数（频数）
A 1
B 5
C m
D 16
E 20
b．D组的数据：60，60，61，62，62，63，63，66，67，67，70，70，71，74，75，79
请根据以上信息完成下列问题：
(1)求随机抽取的学生人数；
(2)统计表中的___________，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为___________度；
(3)抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为___________分；
(4)若该校八年级共有800名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数．
22．随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同．
(1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元．
(2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
23．一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C．
(1)求m，k的值．
(2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m．
①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标；
②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标．
24．二次函数的图象经过，两点，顶点为G．
(1)求二次函数的表达式和顶点G的坐标．
(2)如图1，将二次函数的图象沿x轴方向平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是8，求n的值．
(3)如图2，将二次函数的图象沿直线平移，点A，G的对应点分别为，，连接，，线段与交于点M．若，请直接写出点的坐标．
25．在中，，，，点O为的中点．在中，，，，连接并延长到点F，使，连接．
【初步感知】（1）如图1，当点D，E分别在，上时，请完成填空：___________；___________．
【深入探究】（2）如图2，若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转一定的角度，连接，，，．
①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．
②当四边形的面积最小时，求线段的长．
参考答案
1．D
2．B
3．C
4．B
5．A
6．D
7．C
8．A
9．D
10．A
11．
12．
13．97
14．/
15．/
16．
解：原式
．
17．，整数解为：，0，1，2，3．
解：解不等式①，得，
解不等式②，得
原不等式组的解集是
整数解为，0，1，2，3
18．见解析
【详解】证明：平行四边形中，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
．
19．(1)
(2)
（1）解：在中，
，，
∴，
∴，
答：两滑梯高度差为
（2）解：在中 ，
，，
∴，
在中，
，，
∴，
∴
答：长．
20．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
与相切；
（2）解：如图，连接交于点D，
，
，，
垂直平分，
，，，
，
，
，
，
是的直径，
， ，
．
21．(1)50人
(2)8，144
(3)70
(4)576人
（1）解：（人）
即随机抽取的学生人数为50人；
（2）解：，
扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为：，
故答案为：8，144；
（3）解：将50人成绩从低到高排序，第25和26人的平均分为中位数，
，，
第25和26人在D组，结合 D组数据可得第25和26人成绩均为70分，
抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为70分，
故答案为：70；
（4）解：（人）
即估计此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数为576人．
22．(1)甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元
(2)购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元．
（1）解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根．
此时，
答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元．
（2）解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数，
根据题意，得，
由，得随a的增大而减小，
故当时，取得最小值，且最小值为（元），
故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元．
23．(1)，
(2)①，②
（1）解：由题意可知，点在一次函数的图象上，则
，解得，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得，
则，；
（2）解：①过点A作轴交于点H，过点E作交于点M，过点D作交于点N，如图，
则，
∴，
∴，
∴，
∵点D的横坐标为4，
∴点D的纵坐标为，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，解得，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
则，
那么，点；
②一次函数的图象与y轴交于点C，
令，则，
∴，
∵，
∴，
过点C作交于点P，过点P作轴于点K，过点A作轴于点G，如图，
则，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
则，
∵点，
∴，
∵，
∴点M与点K重合，，
∴点，
设直线的解析式为，则
，解得，
∴，
设点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
则，
∵D为反比例函数图象上的一点，
∴，解得，或，
∵D的横坐标大于1，
∴，
∴，
故点．
24．(1)，顶点G的坐标为
(2)
(3)
（1）解：将，代入，
，
解得，
，
，
当时，取最小值，最小值为，
顶点G的坐标为．
（2）解：根据平移规律可得新抛物线解析式为：，
对称轴为直线，
，
，
分情况讨论：
当时，即时，如图：
直线与抛物线交点M纵坐标最大，
将，代入解析式得，
解得，与矛盾，不合题意；
当时，即时，如图：
直线与抛物线交点N纵坐标最大，
将，代入解析式得，
解得，与矛盾，不合题意；
，符合题意，
综上可知，；
（3）解：如图，作交的延长线于点N，作轴，轴，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，
直线的解析式为，
图象沿直线平移时，上下与左右平移的距离相等，
设向上，向右平移m个单位，
，，
由平移得，，
四边形是平行四边形，
线段与交于点M，
，
轴，轴，，
，，
，，
，
，
，
，
，
即，
解得，，
，
设直线的解析式为，将，代入，
可得的解析式为，
将代入，得：，
解得，（舍去），
．
25．（1）90；；（2）①（1）中的结论仍然成立，证明见解析；②
解：∵点O为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴；
∵，，，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：90；
（2）①中的结论仍然成立，证明
∵点O为的中点，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，,
∴,；
②在中，∵，，，
∴，
由①得：四边形为平行四边形，
∴四边形的面积等于，
∴当最小时，四边形的面积最小，
即当E到的距离最小时，最小，四边形的面积最小，
如图，过点E作于点M，连接，则当最小时，四边形的面积最小，
∵，，
∴，
即当点B，E，M三点共线时，取得最小值，最小值为，
此时时，最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由①得：，
∴．

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