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山东省泰安市2025年中考数学真题
1．（2025·泰安）如图，数轴上表示的点是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·泰安）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·泰安）我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·泰安）好客山东以其宽厚仁德的人文情怀、风景秀丽的河海山川吸引了来自世界各地的朋友，据统计，山东省2024年全年接待游客超9亿人次.数据“9亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B．0.9×108 C．9×108 D．0.9×109
5．（2025·泰安）已知a≠0，则下列运算正确的是（　　）
A．-2a+3a=5 B． C． D．
6．（2025·泰安）某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·泰安）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手.问哪吒、夜叉各有多少 设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·泰安） 在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征.下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．π B．2π C．3π D．4π
9．（2025·泰安）如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形OABC是面积为4的正方形.若函数 的图象经过点 B，则满足y≥2的x的取值范围为（　　）
A．010．（2025·泰安） 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y(厘米/天)和光照强度x(勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围(200≤x<1000)内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围(x≥1000)内，y与x近似成二次函数关系.其部分图象如图所示.根据图象，下列结论正确的是（　　）
A．当x≥1000时， y随x的增大而减小
B．当x=2000时， y有最大值
C．当y≥0.6时， x≥1000
D．当y=0.4时， x=600(
11．（2025·泰安）写出使分式有意义的的一个值　 　．
12．（2025·泰安）在平面直角坐标系中，将点 P(3，4)向下平移2个单位长度，得到的对应点P'的坐标是　 　.
13．（2025·泰安）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　 　．
14．（2025·泰安）取直线y=-x上一点 A(x1， y1)， ①过点 A1作x轴的垂线， 交 于点 A(x2，y2)； ②过点 A2作y轴的垂线， 交y=-x 于点 A3(x3， y3)；
如此循环进行下去.
按照上面的操作，若点 A1的坐标为(1，-1)，则点 A2025的坐标是　 　.
15．（2025·泰安）如图， 在 Rt△ABC 中， ∠ABC=90°， AB=6， BC=8.点P 为边 AC上异于 A的一点，以PA，PB 为邻边作 PAOB，则线段PQ的最小值是　 　.
16．（2025·泰安）
（1）计算：
（2）先化简，再求值： 其中x=2.
17．（2025·泰安）在Rt△ABC 中， ∠ABC=90°， ∠ACB=30°∠BAC的平分线AD 交BC于点 D.如图1.
（1）求∠ADC的度数；
（2）已知AB=3，分别以C，D 为圆心，以大于 CD 的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN 交 BC于点E，交AD的延长线于点 F.如图2，求DF的长.
18．（2025·泰安）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型．
已知本次注水前蓄水池的水位高度为米，注水时水位高度每小时上升米．
（1）请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度米与注水时间小时之间的关系式；
（2）已知蓄水池的底面积为万平方米，每立方米的水可供发电千瓦时，求注水多长时间可供发电万千瓦时？
19．（2025·泰安）在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的pH值进行了
检测，并对一天(24小时)内每小时的pH 值进行了整理、描述及分析.
【收集数据】
甲基地水体的pH值数据：
7.27， 7.28， 7.34， 7.35， 7.36， 7.51， 7.53， 7.67， 7.67， 7.67， 7.67， 7.81， 7.81，7.88， 7.91， 8.01， 8.02， 8.03， 8.07， 8.16， 8.17， 8.23， 8.26， 8.26.
乙基地水体的pH值数据：
7.11， 7.12， 7.14， 7.25， 7.36， 7.52， 7.63， 7.67， 7.69， 7.75， 7.77， 7.77， 7.81，7.84， 7.89， 8.01， 8.12， 8.13， 8.14， 8.16， 8.17， 8.18， 8.20， 8.21.
【整理数据】
　 7.00≤x<7.30 7.30≤x<7.60 7.60≤x<7.90 7.90≤x 8.20 8.20≤x≤8.50
甲 2 5 7 7 3
乙 4 2 9 a 2
【描述数据】
乙基地水体pH值数据的频数分布直方图
【分析数据】
　 平均数 众数 中位数 方差一
甲 7.79 b 7.81 0.10
乙 7.78 7.77 c 0.13
根据以上信息解决下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）填空：
（3）请判断甲、乙哪个基地水体的pH值更稳定，并说明理由；
（4）已知两基地对水体pH值的日变化量(pH值最大值与最小值的差)要求为0.5~1，分别判断并说明该日两基地的pH值是否符合要求.
20．（2025·泰安）如图， 在△OAB中， 点A在⊙O上， 边OB交⊙O于点C， AD⊥OB 于点D. AC是∠BAD 的平分线.
（1）求证： AB为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2， ∠AOB=45°， 求CB 的长.
21．（2025·泰安）【问题情境】
2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章.某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1.
【问题提出】
部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到l的长度的方案，以检测该部件中l的长度是否符合要求.
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法.
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱(圆柱).
操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合.示意图如图4，⊙O分别与AC，AD 相切于点B，D.用游标卡尺测量出CC'的长度y.
【问题解决】
已知∠CAD=∠C'A'D'=60°， l的长度要求是1.9cm~2.1cm.
（1）求∠BAO 的度数；
（2）已知钢柱的底面圆半径为1cm，现测得y=7.52cm.根据以上信息，通过计算说明该部件l的长度是否符合要求.(参考数据：
（3）【结果反思】
本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗 如果能，写出一个；如果不能，说明理由.
22．（2025·泰安）已知二次函数y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)， 其中a， b为两个不相等的实数.
（1）当a=0、b=3时，求此函数图象的对称轴；
（2）当b=2a时， 若该函数在0≤x≤1时， x的增大而减小； 在3≤x≤4时， y随x的增大而增大，求a的取值范围；
（3）若点A(a， y1)， B(2+b2， y2)， C(b， y3)均在该函数的图象上， 是否存在常数m，使得 若存在，求出m的值；若不存在，说明理由
23．（2025·泰安）【图形感知】
图1 图2
图3 图4
如图1，在四边形ABCD中，已知.
（1）求 CD的长；
（2）【探究发现】
老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究.
在线段CD上取一点E，连接BE.将四边形ABED 沿BE翻折得到四边形A'BED'，其中A'，D'分别是 A，D的对应点.
其中甲、乙两位同学的折叠情况如下：
①甲：点 D'恰好落在边 BC 上，延长A'D'交 CD 于点 F，如图2.判断四边形 DBA'F的形状，并说明理由；
②乙：点A'恰好落在边 BC上，如图3.求DE的长；
（3）如图4，连接DD'交 BE 于点 P，连接CP.当点E在线段 CD上运动时，线段CP 是否存在最小值 若存在，直接写出；若不存在，说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】 解：观察数轴知，M表示的数字是-2，N表示的是原点，P表示的数字是+1，Q表示的数字是+3.
故答案为：A.
【分析】数轴上原点左边的点表示的数字是负数，原点右边的点表示的数字是正数，这个点到原点的距离即这个数的绝对值.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：
A、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、原图是轴对称图形，是中心对称图形，故B符合题意；
C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不合题意；
故答案为：B.
【分析】根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形的定义平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐一判断即可解答.
3．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：
的主视图是
故答案为：C.
【分析】根据立体图形的三视图，从正面去看得到的是主视图，解答即可.
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 9亿 =900000000= 9×108
故答案为：C.
【分析】根据科学记数法，将一个大于10数据表示成形式为ax10n的形式，其中1≤a<10，n为正整数，n比原位数少1，解答即可.
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；同类项的概念；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】
解：A、-2a+3a=a，故该选项错误，不符合题意；
B、 (-2a3)2 =4a6，故该选项正确，符合题意；
C、a2与a不是同类项，无法合并为a，故该选项错误，不符合题意；
D、 a6a2=a4，故该选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项法则可判断A，根据积的乘方运算可判断B，根据同类项概念可判断C，根据同底数幂的除法可判断D，逐一判断即可解答.
6．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表得：
　 亚醜钺 蛋壳黑陶杯 颂簋
亚醜钺
蛋壳黑陶杯
颂簋
故答案为：A.
【分析】两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据，
7．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设哪吒有x个，夜叉有y个， 所列方程组为： ，
故答案为：D.
【分析】 根据数量关系：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，列方程组即可解答.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接AB、DC相交于O
∵正方形的内切圆的半径是2，
∴AC= BC=4，OA= OB，
∴AB=，
∴OA= OB=AB=
∴图中阴影部分的面积是π-π22 = 4π .
故答案为：D.
【分析】连接AB、DC相交于O，由正方形的内切圆的半径是2，AC= BC=4， OA= OB，再运用勾股定理可得AB=2，则OA= OB=AB=，最后根据圆的面积公式求解即可解答.
9．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是面积为4的正方形，设点B的坐标为(b，b)，
∴b2=4， 解得： b=2 (已舍弃负值)，
∴点B的坐标为 (2， 2)，
∵函数y=(x > 0)的图象经过点B，
∴满足y≥2的x的取值范围为0故答案为：A.
【分析】由题意可设点B的坐标为(b，b)， 易得b=2，即点B的坐标为(2， 2)，再结合反比例函数图象，即可解答.
10．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的其他应用
【解析】【解答】
解： A、当x≥1000时，y随x的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意：
B、由函数图象可知：抛物线的对称轴为x == 2000， 即当x= 2000时， y有最大值，则B
选项正确，符合题意；
C、由函数图象可知：当y≥0.6时，1000≤x≤3000， 即C选项错误，不符合题意：
D、当y=0.4时， 由图象知，x对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据抛物线的图像可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为x= 2000，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项逐一判断即可解答.
11．【答案】不唯一
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：
故答案为：1（任意一个不等于的数都可以）.
【分析】分式有意义的条件是分母不等于0.
12．【答案】(3，2)
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解： 点 P(3，4)向下平移2个单位长度得到的对应点P'的坐标是(3，2)
故答案为：(3，2).
【分析】根据点平移的规律：向下平移2个单位长度，即纵坐标减2，计算即可解答.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：方程有两个不相等的实数根
故答案为：.
【分析】一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时 ，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根.
14．【答案】(1，-1)
【知识点】点的坐标；反比例函数与一次函数的交点问题；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵点A1的坐标为(1，-1)，过点A1作x轴的垂线，交y =于点A2，∴A2的坐标为(1，1)，
再过点A2作y轴的垂线，交y=-x于点A3，∴A3的坐标为(-1，1)，
再过点A3作x轴的垂线，交y=于点A4，∴A4的坐标为(-1，-1)，
依次类推，A5的坐标为(1，-1)，所以循环周期为4，
20254= 506......1，所以点A2025的坐标是(1，-1)，
故答案为：(1，-1).
【分析】先分别找到A1，A2，A3，A4，A5的坐标，得到循环周期为4，从而可以解答.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：设PQ交AB于点E，作BD⊥AC于点D，取AD的中点F，连接EF，
∵∠ABC=90°， AB=6， BC=8，
∴AC=
∵S△ABC= 10BD=
∴BD=，
∵四边形PAQB是平行四边形，
∴EP=EQ=PQ，EA=EB，
∵E为AB的中点，F为AD的中点，
∴EF=BD=
∵
∴，
∴
∴ 线段PQ的最小值是.
故答案为：.
【分析】设PQ交AB于点E，作BD⊥AC于点D，取AD的中点F，连接EF，由∠ABC=90°， AB=6，BC=8，求得AC=10，由面积公式求得BD，由平行四边形的性质得EP=EQ=PQ，EA=EB，则EF=BD=
由EP≥EF得，即可求得线段PQ的最小值，解答即可.
16．【答案】（1）解：
=1+1
=2
（2）解：
=(x+2)(x-1)
当x=2时， 原式
【知识点】零指数幂；化简含绝对值有理数；开平方（求平方根）；分式的化简求值-直接代入；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】
(1)先分别计算绝对值、算术平方根、零指数幂，再将各部分的值计算即可解答；
（2）先对分式进行通分、化简得到再代入求值计算即可解答.
17．【答案】（1）解：∵∠ABC=90°， ∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠ADC=∠DAB+∠ABC=120°
（2）解：由作图知MN是线段CD的垂直平分线，
∵∠DAC=∠C=30°，
∴AD=CD，
∵∠ABC=90°， ∠DAB=30°，
∵∠ADB=∠FDE， ∠ABD=∠FED=90°，
∴△ADB≌△FDE，
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；余弦的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】 (1)根据已知∠ABC=90°，∠ACB=30°，可得∠BAC=60°，再由AD是角平分线，将∠BAC分为两个30°的角；在△ADC中，利用内角和定理可求∠ADC的度数，解答即可；
(2) 由尺规作图可知MN是CD的垂直平分线，故，再30°直角三角形的边角关系，可求出AD的长度，再通过全等三角形的性质得到DF=CF=，解答即可.
18．【答案】（1）解：由题意可得：蓄水池的水位高度米与注水时间小时之间的关系式
（2）解：根据题意，得，
解得．
答：注水小时可供发电万千瓦时
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）直接由题意可得蓄水池的水位高度米是注水时间小时的一次函数，由待定系数法可直接得出关系式；
（2）先由发电总量和单位每小时的发电量可得蓄水池的蓄水方量，即此时水的上升高度与底面积的积，列方程并求解即可.
19．【答案】（1）解：根据题意得a=24-4-2-9-2=7，补全频数分布直方图如图；
（2）7.67； 7.79
（3）解：∵甲的方差为0.10， 乙的方差为0.13， 0.10＜0.13，
∴甲基地水体的pH值更稳定；
（4）解：甲基地对水体pH值的日变化量： 8.26-7.27=0.99，
乙基地对水体pH值的日变化量： 8.21-7.11=1.1，
∴该日两基地的pH值甲符合要求，乙不符合要求.
【知识点】频数（率）分布直方图；统计表；收集数据的过程与方法；平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】(2)解： 甲基地水体的pH值数据中，7.67出现了4次，出现次数最多，则b=7.67；
乙基地水体的pH值数据中，由小到大排列中间两个数为7.77和7.81：
则
故答案为： 7.67； 7.79；
【分析】(1)数出 乙基地的总数居减去其他各段的数据，可得a的值，再画出图形解答即可；
（2）根据众数和中位数的定义解答即可；
（3）根据方差越小越稳定，即可解答；
（4）分别计算甲、乙两个基地对水体pH值的日变化量，再与标准比较即可解答.
20．【答案】（1）证明：∵AD⊥OB，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC是∠BAD的平分线，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠BAC+∠OAC=∠DAC+∠OCA=90°，
即AB⊥OA且OA为半径，
∴AB为⊙O的切线
（2）解：∵∠AOB=45°， 又AB⊥OA，
∴△OAB等腰直角三角形，
∵⊙O的半径为2，
∴OA=2=OC，
【知识点】切线的判定；等腰直角三角形；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】 (1) 利用已知AD⊥OB于D，AC是∠BAD的平分线，可通过角度关系推导出∠OAB=90°，从而得出切线结论，解答即可；
(2) 根据半径OA=2，∠AOB=45°，结合(1)中结论可得△OAB为等腰直角三角形，计算OB长度后减去OC（半径）即可得BC长，解答即可.
21．【答案】（1）解：∵⊙O分别与AC， AD相切于点B， D，
（2）解：∵钢柱的底面圆半径为1cm，
∴BC=OB=1，
∵∠OAB=30°， ∠OBA=90°，
同理
∵1.9＜2.06＜2.1，
∴该部件l的长度符合要求；
（3）解：能，将圆柱换成正方体.如图，
设正方体的棱长为a，用游标卡尺测量出CF的长度y.
∴BC=BD=a，
∵∠CAD=60°，
【知识点】切线的性质；解直角三角形；线段的和、差、倍、分的简单计算；正切的概念
【解析】【分析】
(1)需利用圆与切线的性质及角度平分线的定义，求∠BAO的度数，解答即可；
(2) 结合正切的定义与已知数据，通过钢柱半径和测量值推导l的值，解答即可；
（3）探讨是否可用其他几何体替代圆柱，需考虑几何体的可测性及适用性，因此可设正方体的棱长为a，用游标卡尺测量出CF的长度y，通过正切的定义计算即可解答.
22．【答案】（1）解：当a=0、b=3时， 二次函数. 可化为：
∴此函数图象的对称轴为
（2）解：当b=2a时， 二次函数. 可化为：
∴抛物线对称轴为
∵3＞0，
∴抛物线开口方向向上，
∵在0≤x≤1时， y随x的增大而减小；
∴a≥1，
∵在3≤x≤4时， y随x的增大而增大；
∴a≤3，
∴1≤a≤3.
（3）解：∵若点 均在该函数的图象上，
y
y3=b(b-a)+(b-a)(b-b)+b(b-b)=b2-ab；
整理得：
∵a，b为两个不相等的实数，
∴a-b≠0，
解得： m=4.
【知识点】解一元一次方程；点的坐标；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】
(1)当a=0，b=3时，展开二次函数并化简，利用对称轴公式求解即可解答；
（2）当b=2a时，分析函数在区间0≤x≤1时和在3≤x≤4时的增减性，结合对称轴位置可确定a的范围，解答即可；
（3）通过代入点A、B、C的坐标，计算y1、y2、y3，并解方程求m的值，解答即可.
23．【答案】（1）解：∵∠BAD=∠ABC=∠BDC=90°，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴△ADB∽△DBC，
∵∠BAD=90°， AD=2， AB=4，
（2）解：①四边形DBA'F 是矩形， 理由如下，
由折叠的性质得.
∴四边形DBA'F 是矩形；
②延长AD和 相交于点Q，连接BQ，
由折叠的性质得.
∵点A'恰好落在边BC上，
∴四边形ABA'Q是矩形，
∴四边形ABA'Q是正方形，
∴点E在对角线BQ上，
∵四边形ABA'Q是正方形，
∴AQ∥CB，
∴△DQE∽△CBE，
（3）
【知识点】平行线的判定；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】
解：存在，理由如下：
由折叠的性质得∠EBD=∠EBD'， BD=BD'，∴ BE是线段DD'的垂直平分线，
∴∠BPD=90°，
∴点P在以BD为直径的⊙O上， 连接OC， OP，
∴CP≤OC-OP， 即点P在OC上时， 线段CP存在最小值，
∴线段CP的最小值为
故答案为：
【分析】
(1) 根据AA判定△ADB∽△DBC，再利用相似三角形求解CD的长度，解答即可；
(2) ① 根据折叠性质及角度关系，可判断得到四边形OBEF为矩形；② 根据折叠性质可判断得到四边形ABA'Q为矩形，四边形ABA'Q是正方形，根据AQ∥CB判定△DQE∽△CBE，再利用相似三角形求解DE的长度，解答即可；
(3) 分析CP的最小值存在性，利用动点轨迹即点P在OC上时， 线段CP存在最小值，根据勾股定理求解最小值，解答即可.
1 / 1山东省泰安市2025年中考数学真题
1．（2025·泰安）如图，数轴上表示的点是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】 解：观察数轴知，M表示的数字是-2，N表示的是原点，P表示的数字是+1，Q表示的数字是+3.
故答案为：A.
【分析】数轴上原点左边的点表示的数字是负数，原点右边的点表示的数字是正数，这个点到原点的距离即这个数的绝对值.
2．（2025·泰安）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：
A、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、原图是轴对称图形，是中心对称图形，故B符合题意；
C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不合题意；
故答案为：B.
【分析】根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形的定义平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐一判断即可解答.
3．（2025·泰安）我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：
的主视图是
故答案为：C.
【分析】根据立体图形的三视图，从正面去看得到的是主视图，解答即可.
4．（2025·泰安）好客山东以其宽厚仁德的人文情怀、风景秀丽的河海山川吸引了来自世界各地的朋友，据统计，山东省2024年全年接待游客超9亿人次.数据“9亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B．0.9×108 C．9×108 D．0.9×109
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 9亿 =900000000= 9×108
故答案为：C.
【分析】根据科学记数法，将一个大于10数据表示成形式为ax10n的形式，其中1≤a<10，n为正整数，n比原位数少1，解答即可.
5．（2025·泰安）已知a≠0，则下列运算正确的是（　　）
A．-2a+3a=5 B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；同类项的概念；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】
解：A、-2a+3a=a，故该选项错误，不符合题意；
B、 (-2a3)2 =4a6，故该选项正确，符合题意；
C、a2与a不是同类项，无法合并为a，故该选项错误，不符合题意；
D、 a6a2=a4，故该选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项法则可判断A，根据积的乘方运算可判断B，根据同类项概念可判断C，根据同底数幂的除法可判断D，逐一判断即可解答.
6．（2025·泰安）某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表得：
　 亚醜钺 蛋壳黑陶杯 颂簋
亚醜钺
蛋壳黑陶杯
颂簋
故答案为：A.
【分析】两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据，
7．（2025·泰安）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手.问哪吒、夜叉各有多少 设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设哪吒有x个，夜叉有y个， 所列方程组为： ，
故答案为：D.
【分析】 根据数量关系：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，列方程组即可解答.
8．（2025·泰安） 在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征.下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．π B．2π C．3π D．4π
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接AB、DC相交于O
∵正方形的内切圆的半径是2，
∴AC= BC=4，OA= OB，
∴AB=，
∴OA= OB=AB=
∴图中阴影部分的面积是π-π22 = 4π .
故答案为：D.
【分析】连接AB、DC相交于O，由正方形的内切圆的半径是2，AC= BC=4， OA= OB，再运用勾股定理可得AB=2，则OA= OB=AB=，最后根据圆的面积公式求解即可解答.
9．（2025·泰安）如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形OABC是面积为4的正方形.若函数 的图象经过点 B，则满足y≥2的x的取值范围为（　　）
A．0【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是面积为4的正方形，设点B的坐标为(b，b)，
∴b2=4， 解得： b=2 (已舍弃负值)，
∴点B的坐标为 (2， 2)，
∵函数y=(x > 0)的图象经过点B，
∴满足y≥2的x的取值范围为0故答案为：A.
【分析】由题意可设点B的坐标为(b，b)， 易得b=2，即点B的坐标为(2， 2)，再结合反比例函数图象，即可解答.
10．（2025·泰安） 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y(厘米/天)和光照强度x(勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围(200≤x<1000)内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围(x≥1000)内，y与x近似成二次函数关系.其部分图象如图所示.根据图象，下列结论正确的是（　　）
A．当x≥1000时， y随x的增大而减小
B．当x=2000时， y有最大值
C．当y≥0.6时， x≥1000
D．当y=0.4时， x=600(
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的其他应用
【解析】【解答】
解： A、当x≥1000时，y随x的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意：
B、由函数图象可知：抛物线的对称轴为x == 2000， 即当x= 2000时， y有最大值，则B
选项正确，符合题意；
C、由函数图象可知：当y≥0.6时，1000≤x≤3000， 即C选项错误，不符合题意：
D、当y=0.4时， 由图象知，x对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据抛物线的图像可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为x= 2000，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项逐一判断即可解答.
11．（2025·泰安）写出使分式有意义的的一个值　 　．
【答案】不唯一
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：
故答案为：1（任意一个不等于的数都可以）.
【分析】分式有意义的条件是分母不等于0.
12．（2025·泰安）在平面直角坐标系中，将点 P(3，4)向下平移2个单位长度，得到的对应点P'的坐标是　 　.
【答案】(3，2)
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解： 点 P(3，4)向下平移2个单位长度得到的对应点P'的坐标是(3，2)
故答案为：(3，2).
【分析】根据点平移的规律：向下平移2个单位长度，即纵坐标减2，计算即可解答.
13．（2025·泰安）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：方程有两个不相等的实数根
故答案为：.
【分析】一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时 ，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根.
14．（2025·泰安）取直线y=-x上一点 A(x1， y1)， ①过点 A1作x轴的垂线， 交 于点 A(x2，y2)； ②过点 A2作y轴的垂线， 交y=-x 于点 A3(x3， y3)；
如此循环进行下去.
按照上面的操作，若点 A1的坐标为(1，-1)，则点 A2025的坐标是　 　.
【答案】(1，-1)
【知识点】点的坐标；反比例函数与一次函数的交点问题；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵点A1的坐标为(1，-1)，过点A1作x轴的垂线，交y =于点A2，∴A2的坐标为(1，1)，
再过点A2作y轴的垂线，交y=-x于点A3，∴A3的坐标为(-1，1)，
再过点A3作x轴的垂线，交y=于点A4，∴A4的坐标为(-1，-1)，
依次类推，A5的坐标为(1，-1)，所以循环周期为4，
20254= 506......1，所以点A2025的坐标是(1，-1)，
故答案为：(1，-1).
【分析】先分别找到A1，A2，A3，A4，A5的坐标，得到循环周期为4，从而可以解答.
15．（2025·泰安）如图， 在 Rt△ABC 中， ∠ABC=90°， AB=6， BC=8.点P 为边 AC上异于 A的一点，以PA，PB 为邻边作 PAOB，则线段PQ的最小值是　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：设PQ交AB于点E，作BD⊥AC于点D，取AD的中点F，连接EF，
∵∠ABC=90°， AB=6， BC=8，
∴AC=
∵S△ABC= 10BD=
∴BD=，
∵四边形PAQB是平行四边形，
∴EP=EQ=PQ，EA=EB，
∵E为AB的中点，F为AD的中点，
∴EF=BD=
∵
∴，
∴
∴ 线段PQ的最小值是.
故答案为：.
【分析】设PQ交AB于点E，作BD⊥AC于点D，取AD的中点F，连接EF，由∠ABC=90°， AB=6，BC=8，求得AC=10，由面积公式求得BD，由平行四边形的性质得EP=EQ=PQ，EA=EB，则EF=BD=
由EP≥EF得，即可求得线段PQ的最小值，解答即可.
16．（2025·泰安）
（1）计算：
（2）先化简，再求值： 其中x=2.
【答案】（1）解：
=1+1
=2
（2）解：
=(x+2)(x-1)
当x=2时， 原式
【知识点】零指数幂；化简含绝对值有理数；开平方（求平方根）；分式的化简求值-直接代入；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】
(1)先分别计算绝对值、算术平方根、零指数幂，再将各部分的值计算即可解答；
（2）先对分式进行通分、化简得到再代入求值计算即可解答.
17．（2025·泰安）在Rt△ABC 中， ∠ABC=90°， ∠ACB=30°∠BAC的平分线AD 交BC于点 D.如图1.
（1）求∠ADC的度数；
（2）已知AB=3，分别以C，D 为圆心，以大于 CD 的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN 交 BC于点E，交AD的延长线于点 F.如图2，求DF的长.
【答案】（1）解：∵∠ABC=90°， ∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠ADC=∠DAB+∠ABC=120°
（2）解：由作图知MN是线段CD的垂直平分线，
∵∠DAC=∠C=30°，
∴AD=CD，
∵∠ABC=90°， ∠DAB=30°，
∵∠ADB=∠FDE， ∠ABD=∠FED=90°，
∴△ADB≌△FDE，
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；余弦的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】 (1)根据已知∠ABC=90°，∠ACB=30°，可得∠BAC=60°，再由AD是角平分线，将∠BAC分为两个30°的角；在△ADC中，利用内角和定理可求∠ADC的度数，解答即可；
(2) 由尺规作图可知MN是CD的垂直平分线，故，再30°直角三角形的边角关系，可求出AD的长度，再通过全等三角形的性质得到DF=CF=，解答即可.
18．（2025·泰安）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型．
已知本次注水前蓄水池的水位高度为米，注水时水位高度每小时上升米．
（1）请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度米与注水时间小时之间的关系式；
（2）已知蓄水池的底面积为万平方米，每立方米的水可供发电千瓦时，求注水多长时间可供发电万千瓦时？
【答案】（1）解：由题意可得：蓄水池的水位高度米与注水时间小时之间的关系式
（2）解：根据题意，得，
解得．
答：注水小时可供发电万千瓦时
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）直接由题意可得蓄水池的水位高度米是注水时间小时的一次函数，由待定系数法可直接得出关系式；
（2）先由发电总量和单位每小时的发电量可得蓄水池的蓄水方量，即此时水的上升高度与底面积的积，列方程并求解即可.
19．（2025·泰安）在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的pH值进行了
检测，并对一天(24小时)内每小时的pH 值进行了整理、描述及分析.
【收集数据】
甲基地水体的pH值数据：
7.27， 7.28， 7.34， 7.35， 7.36， 7.51， 7.53， 7.67， 7.67， 7.67， 7.67， 7.81， 7.81，7.88， 7.91， 8.01， 8.02， 8.03， 8.07， 8.16， 8.17， 8.23， 8.26， 8.26.
乙基地水体的pH值数据：
7.11， 7.12， 7.14， 7.25， 7.36， 7.52， 7.63， 7.67， 7.69， 7.75， 7.77， 7.77， 7.81，7.84， 7.89， 8.01， 8.12， 8.13， 8.14， 8.16， 8.17， 8.18， 8.20， 8.21.
【整理数据】
　 7.00≤x<7.30 7.30≤x<7.60 7.60≤x<7.90 7.90≤x 8.20 8.20≤x≤8.50
甲 2 5 7 7 3
乙 4 2 9 a 2
【描述数据】
乙基地水体pH值数据的频数分布直方图
【分析数据】
　 平均数 众数 中位数 方差一
甲 7.79 b 7.81 0.10
乙 7.78 7.77 c 0.13
根据以上信息解决下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）填空：
（3）请判断甲、乙哪个基地水体的pH值更稳定，并说明理由；
（4）已知两基地对水体pH值的日变化量(pH值最大值与最小值的差)要求为0.5~1，分别判断并说明该日两基地的pH值是否符合要求.
【答案】（1）解：根据题意得a=24-4-2-9-2=7，补全频数分布直方图如图；
（2）7.67； 7.79
（3）解：∵甲的方差为0.10， 乙的方差为0.13， 0.10＜0.13，
∴甲基地水体的pH值更稳定；
（4）解：甲基地对水体pH值的日变化量： 8.26-7.27=0.99，
乙基地对水体pH值的日变化量： 8.21-7.11=1.1，
∴该日两基地的pH值甲符合要求，乙不符合要求.
【知识点】频数（率）分布直方图；统计表；收集数据的过程与方法；平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】(2)解： 甲基地水体的pH值数据中，7.67出现了4次，出现次数最多，则b=7.67；
乙基地水体的pH值数据中，由小到大排列中间两个数为7.77和7.81：
则
故答案为： 7.67； 7.79；
【分析】(1)数出 乙基地的总数居减去其他各段的数据，可得a的值，再画出图形解答即可；
（2）根据众数和中位数的定义解答即可；
（3）根据方差越小越稳定，即可解答；
（4）分别计算甲、乙两个基地对水体pH值的日变化量，再与标准比较即可解答.
20．（2025·泰安）如图， 在△OAB中， 点A在⊙O上， 边OB交⊙O于点C， AD⊥OB 于点D. AC是∠BAD 的平分线.
（1）求证： AB为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2， ∠AOB=45°， 求CB 的长.
【答案】（1）证明：∵AD⊥OB，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC是∠BAD的平分线，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠BAC+∠OAC=∠DAC+∠OCA=90°，
即AB⊥OA且OA为半径，
∴AB为⊙O的切线
（2）解：∵∠AOB=45°， 又AB⊥OA，
∴△OAB等腰直角三角形，
∵⊙O的半径为2，
∴OA=2=OC，
【知识点】切线的判定；等腰直角三角形；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】 (1) 利用已知AD⊥OB于D，AC是∠BAD的平分线，可通过角度关系推导出∠OAB=90°，从而得出切线结论，解答即可；
(2) 根据半径OA=2，∠AOB=45°，结合(1)中结论可得△OAB为等腰直角三角形，计算OB长度后减去OC（半径）即可得BC长，解答即可.
21．（2025·泰安）【问题情境】
2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章.某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1.
【问题提出】
部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到l的长度的方案，以检测该部件中l的长度是否符合要求.
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法.
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱(圆柱).
操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合.示意图如图4，⊙O分别与AC，AD 相切于点B，D.用游标卡尺测量出CC'的长度y.
【问题解决】
已知∠CAD=∠C'A'D'=60°， l的长度要求是1.9cm~2.1cm.
（1）求∠BAO 的度数；
（2）已知钢柱的底面圆半径为1cm，现测得y=7.52cm.根据以上信息，通过计算说明该部件l的长度是否符合要求.(参考数据：
（3）【结果反思】
本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗 如果能，写出一个；如果不能，说明理由.
【答案】（1）解：∵⊙O分别与AC， AD相切于点B， D，
（2）解：∵钢柱的底面圆半径为1cm，
∴BC=OB=1，
∵∠OAB=30°， ∠OBA=90°，
同理
∵1.9＜2.06＜2.1，
∴该部件l的长度符合要求；
（3）解：能，将圆柱换成正方体.如图，
设正方体的棱长为a，用游标卡尺测量出CF的长度y.
∴BC=BD=a，
∵∠CAD=60°，
【知识点】切线的性质；解直角三角形；线段的和、差、倍、分的简单计算；正切的概念
【解析】【分析】
(1)需利用圆与切线的性质及角度平分线的定义，求∠BAO的度数，解答即可；
(2) 结合正切的定义与已知数据，通过钢柱半径和测量值推导l的值，解答即可；
（3）探讨是否可用其他几何体替代圆柱，需考虑几何体的可测性及适用性，因此可设正方体的棱长为a，用游标卡尺测量出CF的长度y，通过正切的定义计算即可解答.
22．（2025·泰安）已知二次函数y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)， 其中a， b为两个不相等的实数.
（1）当a=0、b=3时，求此函数图象的对称轴；
（2）当b=2a时， 若该函数在0≤x≤1时， x的增大而减小； 在3≤x≤4时， y随x的增大而增大，求a的取值范围；
（3）若点A(a， y1)， B(2+b2， y2)， C(b， y3)均在该函数的图象上， 是否存在常数m，使得 若存在，求出m的值；若不存在，说明理由
【答案】（1）解：当a=0、b=3时， 二次函数. 可化为：
∴此函数图象的对称轴为
（2）解：当b=2a时， 二次函数. 可化为：
∴抛物线对称轴为
∵3＞0，
∴抛物线开口方向向上，
∵在0≤x≤1时， y随x的增大而减小；
∴a≥1，
∵在3≤x≤4时， y随x的增大而增大；
∴a≤3，
∴1≤a≤3.
（3）解：∵若点 均在该函数的图象上，
y
y3=b(b-a)+(b-a)(b-b)+b(b-b)=b2-ab；
整理得：
∵a，b为两个不相等的实数，
∴a-b≠0，
解得： m=4.
【知识点】解一元一次方程；点的坐标；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】
(1)当a=0，b=3时，展开二次函数并化简，利用对称轴公式求解即可解答；
（2）当b=2a时，分析函数在区间0≤x≤1时和在3≤x≤4时的增减性，结合对称轴位置可确定a的范围，解答即可；
（3）通过代入点A、B、C的坐标，计算y1、y2、y3，并解方程求m的值，解答即可.
23．（2025·泰安）【图形感知】
图1 图2
图3 图4
如图1，在四边形ABCD中，已知.
（1）求 CD的长；
（2）【探究发现】
老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究.
在线段CD上取一点E，连接BE.将四边形ABED 沿BE翻折得到四边形A'BED'，其中A'，D'分别是 A，D的对应点.
其中甲、乙两位同学的折叠情况如下：
①甲：点 D'恰好落在边 BC 上，延长A'D'交 CD 于点 F，如图2.判断四边形 DBA'F的形状，并说明理由；
②乙：点A'恰好落在边 BC上，如图3.求DE的长；
（3）如图4，连接DD'交 BE 于点 P，连接CP.当点E在线段 CD上运动时，线段CP 是否存在最小值 若存在，直接写出；若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：∵∠BAD=∠ABC=∠BDC=90°，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴△ADB∽△DBC，
∵∠BAD=90°， AD=2， AB=4，
（2）解：①四边形DBA'F 是矩形， 理由如下，
由折叠的性质得.
∴四边形DBA'F 是矩形；
②延长AD和 相交于点Q，连接BQ，
由折叠的性质得.
∵点A'恰好落在边BC上，
∴四边形ABA'Q是矩形，
∴四边形ABA'Q是正方形，
∴点E在对角线BQ上，
∵四边形ABA'Q是正方形，
∴AQ∥CB，
∴△DQE∽△CBE，
（3）
【知识点】平行线的判定；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】
解：存在，理由如下：
由折叠的性质得∠EBD=∠EBD'， BD=BD'，∴ BE是线段DD'的垂直平分线，
∴∠BPD=90°，
∴点P在以BD为直径的⊙O上， 连接OC， OP，
∴CP≤OC-OP， 即点P在OC上时， 线段CP存在最小值，
∴线段CP的最小值为
故答案为：
【分析】
(1) 根据AA判定△ADB∽△DBC，再利用相似三角形求解CD的长度，解答即可；
(2) ① 根据折叠性质及角度关系，可判断得到四边形OBEF为矩形；② 根据折叠性质可判断得到四边形ABA'Q为矩形，四边形ABA'Q是正方形，根据AQ∥CB判定△DQE∽△CBE，再利用相似三角形求解DE的长度，解答即可；
(3) 分析CP的最小值存在性，利用动点轨迹即点P在OC上时， 线段CP存在最小值，根据勾股定理求解最小值，解答即可.
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