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河北昌黎第一中学2026届高三年级秋季学期入学收心考试
数学试卷
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在本试卷和答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
1—5 CBDCA 6—8 BAC
9. BC 10. BCD 11. ABD
12.（-3，+∞）
13.
14.e
15.【解题思路】(1)第一步：证明
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ，，， 平面 ，
所以 平面 ，（线面垂直的判定定理的应用，注意“相交”条件不能少）
因为 平面 ，所以 。 （2分）
因为点 ， 分别为 ， 的中点，所以 ，（三角形中位线定理的应用）
所以 。 （3分）
第二步：证明
因为 ，且 为 的中点，所以 ，（等腰三角形三线合一）
又点 ， 分别为 ， 的中点，所以 ，所以 。 （5分）
第三步：利用线面垂直的判定定理即可得证
因为 ，， 平面 ，所以 平面 。 （6分）
(2)第一步：建立空间直角坐标系，求出相关点及向量的坐标
由题可得 ，， 两两垂直，故以 为坐标原点，，
， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的
空间直角坐标系 ，（建立空间直角坐标系的前提
是找到两两垂直的三条相交直线）
则 ，，，，
，
所以 ，，。 （8分）
第二步：求平面 、平面 的法向量
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
取 ，得 。（方法：利用赋值法求平面的一个法向量） （9分）
由(1)可知平面 的一个法向量为 。（技巧：灵活应用(1)中结论） （10分）
第三步：利用向量的夹角公式及同角三角函数的基本关系即可得解
设二面角 的大小为 ，
则 ， （12分）
所以 ，（注意要求的是二面角的正弦值，利用同角三角函数的基本关系求解）
故二面角 的正弦值为 。 （13分）
16.【解题思路】(1)补全的列联表如下：
性别 有氧运动时长 合计
达到建议要求 未达到建议要求
男性 90 30 120
女性 70 10 80
合计 160 40 200
（2分）
零假设 ：成年人每周进行有氧运动时长是否达到建议要求与性别无关。
， （4分）
所以根据小概率值 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立， （5分）
故不能认为成年人每周进行有氧运动时长是否达到建议要求与性别有关。 （6分）
(2)由题可知抽取的 8 人中，女性有 2 人，男性有 6 人。 （9分）
的所有可能取值为 ，，，
则 ，，， （12分）
所以 的分布列为
所以 。 （15分）
17.
【解题思路】(1)第一步：利用四点共圆的性质及诱导公式得到，的余弦值之间的关系
因为，，，四点共圆，所以，
则。（诱导公式的应用） （2分）
第二步：利用余弦定理建立方程，即可得的值
连接，在中，，
在中，，（4分）
两式作差得，，解得。（技巧：含有公共边的两个三角形，通常会利用余弦定理建立关于边或角的方程求解） （5分）
(2)第一步：利用三角形的面积求的值，从而得的值
由(1)可知，所以。 （6分）
由的面积为，得，（技巧：根据已知条件，合理选用三角形的面积公式）
即，解得，
则。 （8分）
第二步：利用余弦定理、同角三角函数的基本关系求，的值
易知，所以，
连接，
在中，，
在中，，
两式作差得，，解得， （10分）
则。 （11分）
第三步：利用余弦定理求的值
在中，，则。 （13分）
第四步：利用正弦定理即可得解
由正弦定理，得。 （15分）
18.
【解题思路】(1)第一步：求导，得到
当时，，
则，所以。 （1分）
第二步：利用导数的几何意义求切线方程
又，所以曲线在点处的切线方程为，即。（点拨：导数的几何意义的应用） （3分）
(2)(i)第一步：求导，将函数的极值点问题转化为方程的根的问题
的定义域为，，
由题意得，为的两个零点，且，
即为方程的两个不同的根，
即为方程的两个不同的根.（方法：分离参数，为后续构造函数做准备） （5分）
第二步：构造函数，并将问题转化为两函数图象的交点问题
设，则直线与的图象有两个交点. （6分）
第三步：研究函数的单调性与最值，即可得解
， （7分）
因为，所以，
所以当时，，单调递增，当时，，
单调递减，所以. （8分）
易知当时，，当时，，
故要使直线与的图象有两个交点，则，
即实数的取值范围为. （10分）
（ii）第一步：利用（i）得到， （11分）
由（i）知，.
第二步：构造函数，研究当时，之间的大小关系
设，
则， （12分）
令，（当导函数正负不好判断时，需要再次构造函数）
则当时，，
所以在上单调递减，则当时，，
所以当时，，
所以在上单调递减，故当时，，则当时，. （14分）
第三步：利用函数的单调性去掉“”，即可得证
所以，即，（方法：结合将单变量不等式转化为双变量不等式） （15分）
由（i）可知在上单调递减，所以，（技巧：利用的单调性去掉函数符号“”，将函数不等式转化为代数不等式）
则，所以，即，得证. （17分）
19.
【解题思路】(1)第一步：将的坐标代入的方程，求出的值
由椭圆系恒过点，
得，解得， （1分）
第二步：利用椭圆离心率的计算公式即可得解
所以椭圆系的离心率为。 （3分）
(2)第一步：将直线，直线的方程分别与的方程联立，求出，的坐标
由(1)可知，，，，
易知直线，直线的斜率均存在且不为，
所以直线的方程为，直线的方程为， （4分）
设，，
由，消去，整理得，
所以，，
则，所以。 （6分）
由，整理得，
所以，，则，所以。 （7分）
第二步：分情况讨论直线的斜率，得到直线过定点
当直线的斜率存在时，（提示：求直线的斜率时，首先要判断直线的斜率是否存在，若直线的斜率既可能存在，也可能不存在，一定要分情况讨论）
，
所以直线的方程为，
令，则，
所以直线恒过点。 （8分）
当直线的斜率不存在时，
，即，化简得，
所以，所以直线的方程为，直线恒过点。 （9分）
综上，直线恒过点。 （10分）
第三步：利用等比数列的定义即可得证
又直线与轴交于点，所以，即，
故数列是以为首项，为公比的等比数列。（等比数列定义的应用） （11分）
(3)第一步：设直线的方程，与的方程联立，得到根与系数的关系
由(2)知直线恒过点，
设直线的方程为，（技巧：这样设直线方程可以避免讨论直线斜率不存在的情况，减少运算量）
由，得，
则，。 （12分）
第二步：利用三角形的面积公式将的面积表示出来
则，
所以的面积。 （13分）
第三步：结合换元法及函数知识求的最大值
令，所以，（换元法的应用，注意新元的取值范围）
易知在上单调递增，所以，
所以。（利用对勾函数的单调性求最值） （15分）
第四步：利用放缩法，根据题意进行证明
易得数列是以为首项，为公比的等比数列，（点拨：由(2)知等比数列的公比为，所以数列的公比为）
所以数列的所有项之和，
（提示：数列是无穷等比递减数列，因此可以应用题干条件中的公式“”求和）
即，得证。 （17分）河北昌黎第一中学2026届高三年级秋季学期入学收心考试
数学试卷
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在本试卷和答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则
A. B. C. D.
2.已知等差数列的前项和为，且，，则
A. 60 B. 50 C. 40 D. 30
3.已知随机变量，分别服从正态分布和二项分布，且，，则
A. B. C. D.
4.已知函数是偶函数，则实数
A. B. 1 C. 2 D. 4
5.已知中，点，满足，，设，，则
A. B. C. D.
6.某单位安排甲、乙、丙、丁4人在国庆7天假期值班，要求每天只有1人值班，甲连续值班3天，乙连续值班2天，丙、丁各值班1天，则不同的值班安排方法种数为
A. 28 B. 24 C. 20 D. 16
7.已知，均为锐角，，，则
A. B. C. D.
8.冯哈伯公式用于计算正整数幂的和，平方和公式是其中一个特例。已知定义在上的函数满足，，且，则
A.-1 B. 0 C. 1 D. 2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知函数，则下列说法正确的是
A. 在上无最大值
B. 的图象的两条对称轴之间的最小距离为
C.
D. 的图象关于点对称
10.已知曲线，点，，则下列结论正确的是
A. 曲线关于直线对称
B. 曲线上存在点，使得
C. 直线与曲线只有一个交点
D. 曲线上第一象限内的点到直线与的距离之积为定值
11.在正四棱柱中，，，，分别为，的中点，点为该正四棱柱表面（底面除外）上一动点，且平面平面，则下列说法正确的是
A. 动点的轨迹长度为
B. 当点在棱上时，平面
C. 当点在棱上时，三棱锥外接球的表面积为
D. 三棱锥体积的最大值为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，若，则实数的取值范围为______。
13.已知抛物线的焦点为，，为上的两个动点，且，，当的周长最大时，抛物线的标准方程为______。
14.已知，函数，若，则的最小值为______。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
如图，在三棱锥中，平面，，，点，，，分别为，，，的中点。
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值。
16.（15分）
《中国人群身体活动指南（2021）》中建议18～64岁的成年人每周进行150～300分钟中等强度或75～150分钟高强度有氧运动，或等量的中等强度和高强度有氧活动组合。某体育局随机采访了200名18～64岁的成年人，并将其每周进行有氧运动的时长是否达到建议要求情况制作成如下图表：
（1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为成年人每周进行有氧运动时长是否达到建议要求与性别有关？
（2）从样本中每周进行有氧运动时长未达到建议要求的成年人中按性别用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记为女性的人数，求的分布列和数学期望。
附：，。
0.050 0.025 0.001
3.841 5.024 10.828
17.(15分)
如图，四边形中，，，，且，，，四点共圆。
(1) 求的值；
(2) 若点为上一点，的面积为，求的值。
18.(17分)
已知函数。
(1) 当时，求曲线在点处的切线方程。
(2) 若有两个不同的极值点。
(i) 求实数的取值范围；
(ii) 证明：。
19.(17分)
具有相同离心率的椭圆构成椭圆系，并称该离心率为椭圆系的离心率。已知椭圆系恒过点，，分别为的左、右顶点，若分别过，的直线相交于点，直线与交于另一点，直线与交于另一点，的取值组成的数列总满足条件：直线与轴交于点。
(1) 求椭圆系的离心率。
(2) 证明：数列是以为公比的等比数列。
(3) 定义：无穷等比递减数列的所有项之和，其中为的首项，为的公比，且。设为坐标原点，记的面积为，若数列的所有项之和为，证明：。

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