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2025-2026学年河北省承德市双滦实验中学高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面向量 = (1,2)， = ( , 1).若( ) ⊥ ( + )，则 =( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. ±2
2.如图，在长方体 1 1 1 1中， = = 2， 1 = 3，则四棱锥
1 的体积为( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 10
3.记锐角△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 = ( + )，且 = 6, = 3，
则 =( )
A. 12 B.

6 C.

4 D.

3
4.将函数 ( ) = 的图象向左平移 (0 < < )个单位长度后得到函数 ( )的图象，若 ( )为奇
函数，则实数 的值为( )
A. 3 4 B. 2 C. 4 D. 6
5.sin(65° )cos( 20°) + cos(65° )cos(110° )的值为( )
A. 2 B. 22 C.
1 D. 32 2
6.如图，在△ 中， = 2 3 ,
= 1 3
，且 与 交于点 ，设 = + ，则 2 =( )
A. 0
B. 37
C. 67
D. 1
7.镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，顶端塔刹为一青铜铸葫芦，葫芦表面刻有“风调雨顺、
国泰民安”八个字，是全国重点文物保护单位、国家 3 级旅游景区，小胡同学想知道镇国寺塔的高度 ，
他在塔的正北方向找到一座建筑物 ，高为 7.5 ，在地面上点 处( , , 在同一水平面上且三点共线)测得
建筑物顶部 ，镇国寺塔顶部 的仰角分别为 15°和 60°，在 处测得镇国寺塔顶部 的仰角为 30°，则镇国
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寺塔的高度约为( )(参考数据： 3 ≈ 1.73)
A. 31.42 B. 33.26 C. 35.48 D. 37.52
8.如图，在立体图形 中，若 = ， = ， 是 的中点，则
下列命题中一定正确的是( )
A.平面 ⊥平面
B.平面 ⊥平面
C.平面 ⊥平面
D.平面 ⊥平面
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A.若向量 ， 共线，则 ， ， ， 必在同一条直线上
B.若 ， ， 为平面内任意三点，则 + + = 0
C.若点 为△ 的重心，则 + + = 0
D.若向量 ， 满足| | > | |，且 ， 方向相同，则 >
10.在直角梯形 中， ⊥ ， / / ， = 5， = 3， = 1，以 所在的直线为轴，其余
三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则( )
A.该几何体为圆台 B.该几何体的母线长为 5
C.该几何体的体积为 93 D.该几何体的表面积为 56
11 .已知函数 ( ) = sin( + 3 )( > 0)的最小正周期为 ，则( )
A. = 2 B. ( + 12 ) =
C. ( )在[0, 3 ]上单调递减 D. ( )的图象关于直线 =
7
12对称
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知向量 = ( 1,0)，向量 = (1,2)，则 在 上的投影向量是______(注：本题答案用坐标表示)．
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13 , ∈ ( , ) = 13.已知 2 ， 13 ，cos( + ) =
5 13
26 ，则 = ______．
14.如图，圆锥 的底面半径为 3，高为 3 3，过 靠近 的三等分点 ′作平行
于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的序号有______．

①圆锥母线与底面所成的角为3
②圆锥 的侧面积为 27
③挖去圆柱的体积为 2 3
④剩下几何体的表面积为(27 + 4 3)
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， = 2 2， = 2 3，且 ⊥底面 ， ， ，
分别为棱 ， ， 的中点．
(Ⅰ)求证：平面 ⊥平面 ；
(Ⅱ)求二面角 的大小．
16.(本小题 15 分)
已知△ 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足 = ( + )， 是 的
中点， = 1， = 2．
(1)求 ；
(2)求△ 的面积；
(3)求线段 的长度．
17.(本小题 15 分)
已知向量 = ( 3,1)， = (1, 2)， = + ，其中 ∈ ．
(Ⅰ)求 · 及向量 ， 夹角的余弦值；
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(Ⅱ)若向量 与向量 2 垂直，求实数 的值；
(Ⅲ)若向量 = (1, 1)，且向量 与向量 + 平行，求实数 的值．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 ( + 6 )( > 0)．
(1)若 ( ) 的最小正周期为2．
( )求 ( )的单调递增区间和 ( )图象的对称中心；
( )若 ∈ ( , 5 3 6 )，且 (

4 ) =
7 2
5 ，求 的值；
(2)若 ( ) 在区间[0, 2 ]上的值域为[1,2]，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，平面 ⊥平面 ，且 ⊥ ， = = 2.四边形 满足 // ，
⊥ ， = = 1. 为侧棱 上的任意一点，且平面 与侧棱 交于点 ．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)设直线 与平面 所成的角为 ，求 的最大值；
(3)是否存在点 ，使得直线 与平面 垂直？若存在，写出证明过程并求出线段 的长；若不存在，请
说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.(1,0)
13.5 6
14.①③④
15.解：(Ⅰ)证明：∵ ⊥底面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ，
如图，连接 ，
∵底面 为正方形，
∴ ⊥ ，
∵ ， 分别为棱 ， 的中点，
∴ // ，∴ ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
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∵ 平面 ，
∴平面 ⊥平面 ．
(Ⅱ)如图，设 ∩ = ， ∩ = ，连接 ，则 为线段 的中点，
易知平面 ∩平面 = ，
由(Ⅰ)知 ⊥ ， ⊥平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ，
∴ ∠ 为二面角 的平面角，
又 ⊥底面 ， = 12 = 3，
= 1 1 2 2 ，4 = 4 × (2 2) + (2 2) = 1
∴ tan∠ = = 3，
∴ ∠ = 3．
16.(1) ∵ = ( + )
∴根据正弦定理得， 2 2 = ( + )
又∵ = 2， = 1，∴ = 7，
2+ 2 2 4+1 7 1
根据余弦定理得， = 2 = 2×2×1 = 2
又∵ ∈ (0, ) ∴ = 2 ， 3；
(2) = 1△ 2 =
1
2 × 2 × 1 ×
3 3
2 = 2 ；
(3) ∵ 是 中点，
∴ = 1 ( 2 +
)，
∴ | |2 = 1 ( 4 +
)2
= 1 (
2
+
2
4 + 2|
|| | )
= 14 (1
2 + 22 2 × 2 × 1 × 12 ) =
3
4
∴ = 32 ．
17.解：(Ⅰ)由已知可得， = 3 2 = 5，
又| | = 10，| | = 5，
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所以 cos , =
= 5 2
| || | 10× 5
= 2 ；
(Ⅱ)由已知可得，2 = 2( 3,1) (1, 2) = ( 7,4)， = + = ( 3,1) + ( , 2 ) = ( 3,
2 + 1)，
又向量 与 2 垂直，
所以 (2 ) = 0，
即 7( 3) + 4( 2 + 1) = 15 + 25 = 0，
解得 = 53；
(Ⅲ)由已知可得， + = (1, 2) + (1, 1) = ( + 1, 2 1)，
又 与向量 + 平行， = ( 3, 2 + 1)，
所以( 3)( 2 1) ( 2 + 1)( + 1) = 0，
解得 = 13．
18.(1)若 ( ) 2 的最小正周期 = = 2，则 = 4，可得 ( ) = 2 (4 +

6 )，
( ) 令 2 + 2 ≤ 4 + 6 ≤ 2 + 2 ， ∈ ，
( ) 解得 的单调递增区间为[ 6 + 2 , 12 + 2 ]( ∈ )；
令 4 + 6 = ， ∈ ，解得 =
+ 24 4， ∈ ，
( ) 所以 图象的对称中心为( 24 + 4 , 0)( ∈ )．
( ) 7 2 7 2根据 ( 4 ) = 2 ( + 6 ) = 5 ，可得 sin( + 6 ) = 10 ，
+ 因为 6 ∈ ( 2 , )

，所以 cos( + ) = 1 sin26 ( +
2
6 ) = 10，
可得 = cos[( + ) 6 6 ] = cos( +
)cos 6 6 + sin( +

6 )sin

6
= 2 × 3 + 7 2 × 1 = 7 2 610 2 10 2 20 ；
(2) ∈ [0, ] + ∈ [ , 当 2 时， 6 6 2 + 6 ]，

因为 ( )在区间 ∈ [0, 2 ]上的值域为[1,2]，
≤ + ≤ 5 2 4所以2 2 6 6，解得3 ≤ ≤ 3，可得实数 的取值范围是[
2
3 ,
4
3 ]．
19.(1)证明：因为 // ， 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
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又因为 平面 ，平面 ∩平面 = ，所以 // ．
因为 // ，所以 // ．
因为平面 ⊥平面 ，且 ⊥ ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又因为 平面 ，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ；
(2)由(1)知 ⊥平面 ，
所以∠ 即直线 与平面 所成的角为 ，
且 = 2 ，设 = ，则 = 6 8 + 4，
则 = = 1 ，
6 2 8 +4 4(1)2 81 +6
则当 = 1 时， 2取到最大值 2 ．
(3)存在点 ，使得直线 与平面 垂直．
在平面 中，过点 作 ⊥ ，垂足为 ，
因为由已知 ⊥ ， // ， = = 1， = 2．
所以 2 + 2 = 2 = 2， = = 2， 2 + 2 = 2，得 ⊥ ，
又因为 ⊥平面 ，所以 ⊥ ，且 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，所以 ⊥ ．
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又因为 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
在△ 中， = 2, = 2, ∠ = 90°，
所以 = 2 + 2 = 6, = = 2 , = 2 2 = 2 6 3 3 ．
所以 2 6上存在点 使得直线 与平面 垂直，此时线段 的长为 3 ．
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