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2025-2026学年黑龙江省齐齐哈尔六中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.，若，则( )
A. B. C. D.
3.边长为的正方形，为中点，点在边上且，则( )
A. B. C. D.
4.，是两条不同直线，，，是三个不同的平面，下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，，则
5.，则的值为( )
A. B. C. D.
6.中，角，，所对的边为，，若，边长是复数的方程是虚数单位的解，则外接圆的面积为( )
A. B. C. D.
7.一个圆柱轴截面为正方形且它的表面积为，则圆柱外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.函数与函数的交点为，则函数的一个减区间是其中( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.平行六面体的体积为，点在线段上运动，则下列三棱锥中，体积为的是( )
A. 三棱锥 B. 三棱锥
C. 三棱锥 D. 三棱锥
10.关于复数，下列说法正确的是( )
A. 若是方程、的解，则，
B. 若，则
C. 若，则复数的模长范围为
D. ，均为复数且，则
11.中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是( )
A.
B. 若且存在且唯一，则或
C. 若，则
D. 若，则面积最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.向量，，则在上的投影向量的坐标为______．
13.，则______．
14.正四面体边长为，其内切球，则在正四面体内与球和平面，平面，平面均相切的球的表面积为______用表示
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
复数、
若，求表示点在复平面内图形的面积．
将化成，且求证：．
16.本小题分
，，．
若，求值；
若，且、、三点一线，求的值；
若，求的值．
17.本小题分
四棱锥的底面是矩形，，，为中点且．
证明：平面平面；
求四棱锥的体积；
求面与面所成的夹角的余弦值．
18.本小题分
函数．
求的值域及对称轴方程；
锐角中，角，，所对的边分别为，，且，，设面积为，周长为，求和的取值范围．
19.本小题分
图平面四边形中，，，，以为轴将折起至，如图得四棱锥，为中点，为线段上动点，．
求异面直线，所成的角的余弦值；
求面积的最小值及对应：的值；
求点到的距离的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.复数、，由，可得复数在复平面内对应的轨迹图形是圆环，如图：
其中，圆环的内圆半径为，外圆半径为，所以圆环的面积为：，
即为复数表示的点在复平面内图形的面积．
证明：由题意：，
所以
．
16.，，，
又，且，，解得；
，，
，，
又、、三点共线，，，解得；
，，
，
又，且，
，解得．
17.证明：因为，，所以，即，
又因为，且，，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
又因为，且，，平面，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面．
解：由平面，且平面，则，
所以，又因为矩形，可得，
所以，又因为，所以，
即，所以，
又因为，，所以，解得，
所以矩形面积为，又因为四棱锥高，
所以四棱锥的体积为．
以为坐标原点建立空间直角坐标系，由，，，
可得，，，则，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，所以，
又因为平面的法向量为，
所以，，
即平面与平面所成夹角的余弦值为．
18.由题意得，
根据，可知的值域为，
令，解得图象的对称轴方程为．
由题意得，可得，
结合为锐角，可得，解得，所以，
根据正弦定理，可得，
所以的面积，
因为，
所以
，
根据为锐角三角形，可知，解得，
由，可得，所以，
周长，
由于，可得，所以的周长．
19.在中，，，，
由余弦定理，得，
所以，从而，
所以，即．
连接，因为，
所以为正三角形，所以．
又因为，，
所以，即，
又因为，平面，，
所以平面，
又因为，所以，即，
所以以点为坐标原点，建系如图，
则，
，
设异面直线，所成的角为，
则．
设，
所以，
所以，
因为为中点，所以，所以，
设点到直线的距离为，
则．
二次函数，，
当时，二次函数有最小值，
最小值为．
此时到直线的距离最小，最小值为，
又因为，
所以此时面积最小，最小值为，
此时，即．
由知，，
当时，二次函数有最大值，最大值为，
所以 ，
所以点到的距离的取值范围为．
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