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第1章勾股定理强化训练-2025-2026学年数学八年级上册北师大版（2024）
一、单选题
1．下面四组数中不是勾股数的一组是（ ）
A．6，10，8 B．1.5，2，2.5 C．10，24，26 D．9，40，41
2．如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处．木杆折断之前的高度是（ ）
A．7m B．8m C．9m D．10m
3．已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．在中，，，高，则的周长为（ ）
A．42 B．52 C．42或60 D．52或70
5．如图，字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A．9 B．10 C．15 D．41
6．如图，等腰，斜边，分别以的边为直径画半圆，所得两个月形图案和的面积之和是（ ）
A． B． C． D．
7．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，梯子斜靠在墙面上，，，当梯子的顶端 A 沿方向下滑时，梯足 B 沿方向滑动，则x 与y的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
二、填空题
9．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行 千米．
10．《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为 尺．（1丈尺）
11．在中，，，则 ．
12．如图，校园内有一块长方形草坪，已知，，学校为了方便学生上学，从点A到点C修建一条笔直小路，则学生沿着走比原来少走 ．
13．如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7米．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3米，木板顶端向下滑动了0.9米，则木板的长为 米．
14．在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，，那么门的宽度即的长为 寸．
15．如图，在中，，平分交于点，、分别是、上的动点，连接、，若，，则的最小值为 ．
16．数学思想·分类讨论已知：如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为．
（1）求边的长 ．
（2）当为直角三角形时，t的值 ．
三、解答题
17．如图，的三个顶点在正方形网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为1．求边的长．
18．如图，三角形纸片中，，，为的中点，折叠三角形纸片，使点与点重合，为折痕，求的长．
19．如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4．
(1)求的长；
(2)求的值；
(3)求阴影部分的面积．
20．数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米．
(1)求旗杆的高度；
(2)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？
21．推理能力 如图，在中，．若，如图①，根据勾股定理，得；若不是直角三角形，而是如图②、图③所示的锐角三角形和钝角三角形．
(1)请你类比勾股定理，猜想与的关系：图②中，______；图③中，______．
(2)说明你在（1）中猜想结论的正确性．
(3)在图②中，若，请你求出的面积．
22．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，利用数学知识对其作了进一步的探究．如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，让小球A可以自由摆动．如图2，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，使小球从摆到位置，此时过点B作于点D．当小球摆到位置时，与互相垂直（点A，B，O，C在同一平面内），过点C作于点E，测得，．
(1)求证：；
(2)求的长．
《第1章勾股定理强化训练-2025-2026学年数学八年级上册北师大版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B A C A A A B
1．B
【分析】本题主要考查了勾股数的定义，根据勾股数的定义：满足 的三个正整数称为勾股数，分别对每一项进行分析即可．
【详解】解：A、，是勾股数，不符合题意；
B、有两个数不是整数，不是勾股数，符合题意；
C、，是勾股数，不符合题意；
D、，是勾股数，不符合题意．
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．由题意得，在直角三角形中，知道两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
【详解】解：由题意可知，两段木杆和地面构成直角三角形，则由勾股定理得：
折断的部分长为，
故木杆折断之前的高度是．
故选： B．
3．A
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，设，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，问题随之得解．
【详解】解：由折叠的性质可得，
设，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了勾股定理，解本题时注意应分两种情况进行讨论．
分两种情况：高在三角形内部和高在三角形外部，再结合勾股定理，分别进行列式计算，即可作答．
【详解】解：当高在三角形内部时，如图：
在中，
，
在中，
，
∴，
∴的周长为：；
当高在三角形外部时，如图：
在中，，
在中，，
∴．
∴的周长为：，
∴当为锐角三角形时，的周长为60；当为钝角三角形时，的周长为42．
综上所述，的周长是60或42．
故选C．
5．A
【分析】本题考查了正方形的性质与勾股定理解三角形，求解出中间直角三角形的一条直角边和斜边是解决本题的关键．
根据图示中正方形的面积分别为25和16，可求解这两个正方形的边长，再由勾股定理即可求解另外一条直角边，由此可计算字母B所代表的正方形的面积．
【详解】解：由图示可知，正方形的面积分别为25和16，
∴可知这两个正方形的边长分别为5和4，
∵中间的三角形为直角三角形，一条直角边为4，斜边为5，
∴由勾股定理可知，字母B所代表的正方形的边长为，
∴字母B所代表的正方形的面积为．
故选：A．
6．A
【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，由勾股定理可得，然后确定出，从而求解，掌握勾股定理定理的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于点,
∵等腰，斜边，
∴，
∵以等腰的边为直径画半圆，
∴ ，， ，
∴，
∴所得两个月形图案和的面积之和为，
∵的面积，
∴所得两个月形图案和的面积之和为，
故选：．
7．A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为 x 尺，根据勾股定理列出方程即可．
【详解】解：设折断处离地面的高度为 x 尺，根据题意可得：
故选：A．
8．B
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设，利用梯子下滑过程中的长度保持不变，建立a，x，y的等式，然后进行判断即可．
【详解】解：设，
由勾股定理得：
，
∴，
化简得：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
9．540
【分析】本题考查了勾股定理在实际问题中的运用，由勾股定理计算过了秒，飞机飞行的水平距离，再用速度路程时间解答即可．
【详解】解：飞机飞行的距离为：米，
∴飞行的速度为千米/时，
故答案为：540．
10．4.55
【分析】本题考查勾股定理的应用，设折断处离地面的高度为尺，在直角三角形中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设折断处离地面的高度为尺，
，
解得，
故答案为：．
11．34或16
【分析】本题主要考查的是利用勾股定理求边长的问题，属于基础问题．在利用勾股定理时一定要注意所求的边为直角边还是斜边．分两种情况进行计算，即为斜边和为直角边，再根据勾股定理来进行解答即可，
【详解】解：当为斜边时，
根据勾股定理可得：，
当为直角边时，
根据勾股定理可得：，
故答案为：34或16．
12．40
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确利用勾股定理求出的长是解题的关键．
利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴．
∴学生沿着走比原来少走．
故答案为：40．
13．2.5
【分析】本题考查了勾股定理的应用，能将实际问题转化为数学问题是解题的关键；
根据题意，作图，设米，米，两次利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】如图，由题知，，米，米，米，
米，
设米，米，，则米，
在直角中，，即，
在直角中，，即，
，解得，
，解得，
米，即木板的长为2.5米．
故答案为：2.5．
14．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
本题需画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：如图：
，
设，过作于，
则由题知，，，．
在中，
，即，
解得．
故门的宽度（两扇门的和）为寸．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，两点之间线段最短，垂线段最短，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
在上取点E，使得，连接，，证明，得到，因此．过点C作于点H，则，根据勾股定理求出，进而根据的面积求出，即可解答．
【详解】解：在上取点E，使得，连接，，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
过点C作于点H，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵，
即，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：
16． 2或
【分析】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．
（1）在中，利用勾股定理求解即可得；
（2）先求出，再分①当，②当两种情况，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：（1）在中，，由勾股定理得，
故答案为：；
（2）由题意知：．
①当时，如图1，
，
点P与点C重合，，
∴；
②当时，如图2，
，，．
在中，，
在中，，
∴，
解得．
综上所述，当为直角三角形时，t的值为2或，
故答案为：2或．
17．，
【分析】本题主要考查了勾股定理．利用勾股定理解答即可．
【详解】解：由勾股定理得：，
．
18．
【分析】本题考查了三角形的边长问题，掌握中点的性质、折叠的性质、勾股定理是解题的关键．根据中点的性质得，再根据折叠的性质得，求出，，根据勾股定理列方程即可求出CF的值，即可求出AF的值．
【详解】解：∵，为的中点
∴
由题意，
∴，
∴，即
解得．
∴．
19．(1)3
(2)20
(3)
【分析】（1）由折叠可知，设，则，在中，根据，求出的长即可；
（2）过点作于点，在 中，由勾股定理求出的长，即可得的长，在中，由勾股定理即可得出答案；
（3）过点作于点，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积求出结果即可．
本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键．
【详解】（1）解：由折叠可知 ，．
设，则，．
在中，，
∴，
解得，
∴．
（2）解：如图，过点作于点，则．
在中，
∵，
∴由勾股定理，得，
即，
∴．
∵，
∴，
∴．
（3）解：如图，过点作于点．
在中，，，．
由，
得，
∴．
20．(1)12米
(2)7米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．
（1）设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米，根据勾股定理列方程求解即可；
（2）先根据勾股定理求出，即可得解．
【详解】（1）解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米，
由题意知：米，，
在中，
，
，
解得：，
答：旗杆的高度12米；
（2）解：由（1）知，米，则米，
米，
米，
答：珍珍应从A处向东走7米．
21．(1)，
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查勾股定理及应用；
（1）根据题目猜想结论即可；
（2）作边上的高，垂足为，利用勾股定理解答即可；
（3）设，则，利用勾股定理求出x的值，然后求出三角形的高长，再根据三角形的面积公式计算解答即可．
【详解】（1）解：图②中，；图③中，，
故答案为：，；
（2）解：如图①，作边上的高，垂足为．
设，则在和中，由勾股定理，得，整理，得．
因为，所以．
如图②，作边上的高，垂足为．
设，则在和中，
由勾股定理，得，
整理，得．
因为，所以．
（3）解：如图①，设，则．
同（2）可得，
因为，
所以，解得，
所以，所以，
所以的面积为．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线性质，勾股定理．
（1）根据垂线性质得到，根据同角的余角相等得到，即可证明，从而得到结论；
（2）根据勾股定理求出的长，由（1）可知，利用求出结果即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：在中， ，
由（1）得，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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