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第2章实数强化训练-2025-2026学年数学八年级上册北师大版（2024）
一、单选题
1．在，3.1415926，，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若是一个数的算术平方根，则（　　）
A． B． C． D．
3．图中数字表示对应正方形的面积，则图中正方形中边长为的是（ ）
A．B． C． D．
4．下列说法不正确的是（ ）
A．实数包括有理数和无理数 B．实数和数轴上的点一一对应
C．的算术平方根是4 D．平方根和立方根相等的数是0
5．若一个数的两个平方根分别是与，则这个数为（ ）
A．3 B．4 C．9 D．
6．已知，则下列各式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．一个正方形的面积是15，估计它的周长在（ ）
A．12与13之间 B．13与14之间 C．14与15之间 D．15与16之间
8．已知实数a，b，给出以下几个判断：
①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．
其中不正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．②③④
二、填空题
9．的平方根是 ；的立方根是 ．
10．比较大小： 2．（填“>”“<”或“=”）
11．若，则的值为 ．
12．若能与最简二次根式合并，则的值为 ．
13．已知，则y的值是 ．
14．如图是一台手机支架的示意图，，可分别绕点，转动，测得，，若，，垂足为点，，则点到的距离为 ．
15．已知，且，则 ．
16．如图，这是一个数值转换器，当输入x值为256时，输出y的值是 ．
三、解答题
17．在数轴上作出到原点的距离等于的点．
18．计算：．
19．利用开方法解下列方程：
(1)；
(2)．
20．已知的立方根是，的算术平方根是4．
(1)求a，b的值．
(2)求的平方根．
21．如图，这是一个体积为的正方体铁块．
(1)求这个铁块的棱长．
(2)现在工厂要将这个铁块熔化，重新锻造成两个棱长为的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为，求长方体铁块的底面正方形的边长．
22．阅读材料，根据材料解答下列问题．
因为，所以，所以的整数部分是2，小数部分是．因为，所以的整数部分是1，小数部分是．
(1)求的整数部分和小数部分．
(2)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值．
23．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
①；
②；
③；
④；
…
(1)计算：______；______．
(2)用含正整数n的式子表示上述算式的规律：______．
(3)计算：．
《第2章实数强化训练-2025-2026学年数学八年级上册北师大版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C C C B D B
1．C
【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟记无限不循环小数为无理数是解题的关键．根据无理数的定义即可求解．
【详解】解：在，3.1415926，，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加中，
无理数有，，（相邻两个1之间0的个数逐次加，有3个．
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了算术平方根的定义.
根据算术平方根的定义即可列出不等式求出a的范围.
【详解】解：∵非负数有算术平方根，且该数的算术平方根大于或等于0，
∴
∴
故选D
3．C
【分析】本题主要考查勾股定理的应用．勾股定理指的是在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．对于以直角三角形三边为边长的正方形，两个较小正方形的面积之和等于较大正方形的面积．我们可以通过正方形面积求出边长的平方，再根据勾股定理来判断每个选项中字母所代表正方形的边长是否为12即可．
【详解】解：A、由图可知两个正方形面积分别为和，根据正方形面积等于边长的平方，设字母A所代表正方形的面积为，由勾股定理可得：
，
那么A所代表正方形的边长为，故本选项不符合题意；
B、由图可知两个正方形面积分别为和，设字母B所代表正方形的面积为．根据勾股定理得：
，
B所代表正方形的边长为，故本选项不符合题意；
C、由图可知两个正方形面积分别为和设字母C所代表正方形的面积为．由勾股定理可得：
，
因为，所以C所代表正方形的边长为，故本选项符合题意；
D、由图可知两个正方形面积分别为和，设字母D所代表正方形的面积为．根据勾股定理得：
，
D所代表正方形的边长为，故本选项不符合题意．
故选：C．
4．C
【分析】本题主要考查实数的概念、算术平方根、平方根及立方根，熟练掌握各个概念是解题的关键；因此此题可根据实数的概念、算术平方根、平方根及立方根进行排除选项．
【详解】解：A、实数包括有理数和无理数，说法正确，故不符合题意；
B、实数和数轴上的点一一对应，说法正确，故不符合题意；
C、，4的算术平方根是2，原说法错误，故符合题意；
D、平方根和立方根相等的数是0，原说法正确，故不符合题意；
故选C．
5．C
【分析】本题主要考查平方根，熟练掌握平方根的概念是解题的关键；由题意易得，然后可得a的值，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
∴这个数为；
故选C．
6．B
【分析】本题考查了与算术平方根小数点移动规律探索．熟练掌握被开方数小数点每向左或向右移动两位，算术平方根小数点每向左或向右移动一位，是解题的关键．
根据，各选项被开方数小数点移动情况计算作答，判断即得．
【详解】解：，
A、；
B、；
C. ；
D. ．
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用．先根据正方形的面积求出正方形的边长，再求出其周长，估算无理数的大小即可得出答案．
【详解】解：∵一个正方形的面积是15，
∴它的边长是，周长为，
∵，
∴．
∴估计它的周长大小在15与16之间．
故选：D．
8．B
【分析】本题考查了算术平方根、立方根等相关知识，属于基本题型，熟练掌握基础知识是解题关键．
根据算术平方根和立方根的意义逐项进行判断，进而可得答案．
【详解】解：因为，所以只有当，时，才满足，所以①不正确；
因为实数的立方根的符号与被开方数相同，所以当时，，所以②正确；
因为，所以a，b中必有一个数是非正数，而负数没有平方根，所以③不正确；
因为实数的立方根的符号与被开方数相同，所以当时，，所以④正确．
故选B
9．
【分析】本题考查的是立方根、平方根及算术平方根，熟知以上知识是解题的关键．先利用算术平方根求出，再求平方根；利用立方根的定义求解的立方根即可．
【详解】解：，
∴的平方根是；
∵
∴的立方根是．
故答案为：，．
10．
【分析】本题主要考查了实数大小的比较，对于含有算术平方根的两个实数大小的比较，先比较两个被开方数的大小，则被开方数大的其算术平方根也大；或者先比较这两个数的平方，则平方大的这个数也大．
【详解】解：∵，
∴，即，
故答案为：．
11．3
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件求出x的值，即可得出y的值，再计算即可．
【详解】解：根据题意得，
解得，
∴，
∴，
故答案为：3．
12．
【分析】本题考查了同类二次根式，根据最简二次根式以及同类二次根式的定义，即可求出答案，熟练掌握同类二次根式是解题的关键．
【详解】解：由，
∵能与最简二次根式合并，
∴，解得：，
故答案为：．
13．4
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值等知识点，求得x、y的值成为解题的关键．
先根据二次根式有意义的条件确定x的值，然后确定y的值即可．
【详解】解：∵，
∴，解得：，
∴．
故答案为：4．
14．
【分析】本题考查了勾股定理，先由得，结合勾股定理得，又因为得，则，整理得，代入数值计算，即可作答．
【详解】解：连接，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴点D到的距离为
故答案为：
15．
【分析】本题主要考查立方根中小数点的移动数位与被开方数之间的关系．注意掌握开立方时，被开方数的小数点每移动3位，则开方的结果小数点移动一位．由题意，当被开方数的小数点每移动6位，则开立方的结果小数点向相同方向移动2位，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查算术平方根及无理数，熟练掌握算术平方根及无理数的概念是解题的关键；此题可根据数值转换器进行代值求解即可．
【详解】解：由题意得：，，，2的算术平方根为；所以y的值为；
故答案为．
17．见解析
【分析】本题考查利用勾股定理在数轴上作无理数，先作如图以原点为顶点的正方形，由勾股定理得，再以为圆心，长为半径作弧，交数轴于点，，即可得．
【详解】解：如图，点，即为所求作，
理由：先作如图以原点为顶点的正方形，
由勾股定理得，
再以为圆心，长为半径作弧，交数轴于点，，
则．
18．
【分析】本题主要考查了实数的混合运算、立方根、绝对值、算术平方根等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．
先运用立方根、绝对值、算术平方根的性质进行化简，然后再计算即可．
【详解】解：
．
19．(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了运用平方根、立方根解方程，掌握平方根、立方根的意义成为解题的关键．（1）先求得，再运用平方根解方程即可；
（2）先求得，再运用立方根解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
所以，．
（2）解：，
，
，
．
故答案为：．
20．(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了立方根与平方根、算术平方根，熟练掌握立方根与平方根的性质是解题关键．
（1）先根据立方根和算术平方根可得，，再解方程即可得；
（2）先根据（1）的结果求出的值，再根据平方根的性质求解即可得．
【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根是4，
∴，，
∴，
将代入得：，
∴．
（2）解：由（1）已得：，，
∴，
∵，
∴的平方根为．
21．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了立方根与算术平方根的应用，熟练掌握立方根与算术平方根的性质是解题关键．
（1）根据正方体的体积公式可得这个铁块的棱长为，计算立方根即可得；
（2）设长方体铁块的底面正方形的边长为，根据熔化前后的体积不变建立方程，再利用平方根解方程即可得．
【详解】（1）解：∵这个正方体铁块的体积为，
∴这个铁块的棱长为，
答：这个铁块的棱长为．
（2）解：设长方体铁块的底面正方形的边长为，
由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
答：长方体铁块的底面正方形的边长为．
22．(1)整数部分是4，小数部分是
(2)
【分析】本题主要考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．
（1）根据可得，由此即可得；
（2）根据可得，则可得，从而可得的值，代入计算即可得．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴的整数部分是4，小数部分是．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的整数部分，是的小数部分，
∴，，
∴
．
23．(1)8；12
(2)
(3)
【分析】本题主要考查算术平方根、完全平方公式及规律问题，解题的关键是找到题中的一般规律；
（1）由题意可直接进行求解；
（2）根据题意及完全平方公式可找出规律；
（3）由（2）中的规律可进行求解．
【详解】（1）解：；
故答案为8；12；
（2）解：∵①；
②；
③；
④；
……
∴；
故答案为；
（3）解：由（2）可得：
原式．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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