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2025-2026学年山东省烟台二中高二（上）开学考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线 经过 ( 1,2)， ( 1,3)两点，则 的倾斜角为( )
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
2.经过点 (0, 1)作直线 ，若直线 与连接 (1, 2)， (2,1)的线段总有公共点，则斜率 的取值范围为( )
A. [ 1,1] B. ( 1,1) C. ( ∞, 1] ∪ [1, + ∞) D. ( ∞, 1) ∪ (1, + ∞)
3.已知 1, 2分别为直线 1， 2的方向向量( 1, 2不重合)， 1, 2分别为平面 ， 的法向量( , 不重合)，则下
列说法中正确的是( )
A. 1// 2 1 ⊥ 2 B. 1 ⊥ 1 1 ⊥
C. 1// 1 1// D. 1 ⊥ 2 ⊥
4.在空间直角坐标系中，向量 = (2, 1, )， = ( 4,2,4)，下列结论正确的是( )
A.若 // ，则 = 2
B.若| | = 6，则 = 5
C.若 , 为钝角，则 < 52
D.若 1在 上的投影向量为 6 ，则 = 4
5.如图，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中， 为线段 1的中点， 为线段 1的中点.直线 1到平
面 1 的距离为( )
A. 53 B.
30
5 C.
2 1
3 D. 3
6.设 ∈ ，则“ = 1”是“直线 1： + 2 = 0 与直线 2： + ( + 1) + 4 = 0 平行”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
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7.如图，在三棱柱 1 1 1中， ， 分别是 1 ， 1 1上的点，且 = 2 1 ， 1 = 2 1 .设 = ，
= ， 1 = ，若∠ = 90°，∠ 1 = ∠ 1 = 60°， = = 1 = 1，则下列结论中正确的是
( )
A. = 13 +
1 2
3 + 3
B. | | = 23
C. 1 ⊥ 1
D. cos 1, 1 =
1
6
8.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，在如图所示的
鳖臑 中， ⊥平面 ，∠ = 90°， = 2 = 2 = 2， 是
的中点， 是△ 内的动点(含边界)，且 //平面 ，则 的取值范围
是( )
A. [0,3] B. [ 1 1 11 112 , 3] C. [ 2 , 2 ] D. [3, 2 ]
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线 ：(2 3) + 3 + 3 = 0 3 的倾斜角为 4，则( )
A. = 3
B.直线 在两坐标轴上的截距相等
C. ( , 2 3)为直线 的一个方向向量
D.直线 关于 轴对称的直线 ′的方程为 + 2 = 0
10.下列命题中正确的是( )
A.若 ， ， ， 是空间任意四点，则有 + + + = 0
B.若直线 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 130°，则直线 与平面 所成的角等于 50°
C.已知{ , , }是空间的一个基底，则{ + , + , + + }也是空间的一个基底
D.已知 为坐标原点，向量 = + 2 ， = 3 + 6 3 ， = 2 + 4 2 ，则点 ， ，
不能构成三角形
11.已知正方体 1 1 1 1的棱长为 1，动点 满足 = + + 1，其中 ， ， ∈ [0,1]，
则下列说法正确的是( )
A.若 = ， = 0，则 1 ⊥平面 1
B.若 = ，则 1

与 1 1所成角的取值范围为[ 6 , 2 ]
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C.若 = = = 1 2，则二面角 的平面角为4
D.若 + + = 12，则三棱锥 1的体积为 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知直线 1：(1 ) + 2 + 2 = 0 与直线 2： + + 3 = 0 垂直，则 = ______．
13.一条光线经过点 (2,3)射到直线 + + 1 = 0 上，被反射后经过点 (1,1)，则入射光线所在直线的方程
为______．
14 .在直三棱柱 1 1 1中，∠ = 2， = 2， = 1， 1 = 2，点 是棱 的中点，点 在棱 1
上运动，则点 到直线 1 的距离的最小值为______．
四、解答题：本题共 3小题，共 47分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 15 分)
已知△ 的顶点 (5,1)，边 上的中线 所在直线的方程为 2 5 = 0，边 上的高 所在直线的
方程为 2 5 = 0.求：
(1)顶点 的坐标；
(2)直线 的方程．
16.(本小题 15 分)

如图 1，在△ 中，∠ = 90°， 、 两点分别在 、 上，使 = = = = 2，现将△ 沿
折起得到四棱锥 ，在图 2 中 = 29．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求平面 与平面 所成角的余弦值．
17.(本小题 17 分)
如图，在多面体 中， ⊥平面 ，四边形 为平行四边形， / / ， ⊥ ， = =
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= 12 = 2， 为 的中点．
(1)求证： ⊥ ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3) 42 在线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 的夹角的余弦值为 14 ？若存在，求 的值；若
不存在，请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 或 1
13.5 4 + 2 = 0
14.3 55
15.解：(1)根据点 在直线 ：2 5 = 0 上，设 ( , 2 5)，
可得 = 2 5 1 1的斜率 5 = = 2，
解得 = 4，所以点 的坐标为(4,3)；
(2)根据点 在直线 ： 2 5 = 0 上，设 (2 + 5, )，
可得 +1中点 的坐标为( + 5, 2 )，
由 +1在直线 上，得 2( + 5) 2 5 = 0，解得 = 3，所以 点的坐标为( 1, 3)．
+3 +1
因此，直线 的方程为3+3 = 4+1，
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即 6 5 9 = 0．
16.(1) 证明：翻折前， = = = = 2，
所以 // ，且 = 4 3， = 2 = 3，
因为∠ = 90°，所以∠ = 90°，即 ⊥ ，
翻折后， ⊥ ， ⊥ ，
在△ 中，∠ = 90°， = 2， = 3，所以 = 2 + 2 = 13，
在△ 中， = 4， = 13， = 29，所以 2 + 2 = 2，即 ⊥ ，
又 ∩ = ， 、 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
(2)解：因为 ⊥平面 ， ⊥ ，
所以 ， ， 两两垂直，
故以点 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,0,4)， (2,3,0)， (0,0,0)， (0,2,0)，
所以 = (2,3, 4)， = (0,2, 4)， = (0,0,4)， = (2,3,0)，
= 2 1 + 3 1 4 = 0设平面 的法向量为 = ( 1, 1, 1)

，则 1

，
= 2 1 4 1 = 0
取 1 = 1，可得 = ( 1,2,1)，

设平面 的法向量为

= ( , , ) = 4 2 = 02 2 2 ，则 ， = 2 2 + 3 2 = 0
取 2 = 3，可得 = (3, 2,0)，
设平面 与平面 所成角为 ，
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则 = |cos < ， > | = | | | 3 4| 7 78| | | | = 6× 13 = 78 ，
所以平面 7 78与平面 所成角的余弦值为 78 ．
17.解：(1)证明：因为 ⊥平面 ， ， 平面 ，
所以 ⊥ ， ⊥ ，
又 ⊥ ，所以 ， ， 两两垂直，
以 ， ， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则 (2,0,0)， (2,2,0)， (0,0,2)， ( 2,0,2)， (0,4,0)， ( 1,2,1)， = ( 2, 2,2), = ( 2,2,0)，
所以 = 0，所以 ⊥ ．
(2)设平面 的一个法向量 2 = ( 2, 2, 2)，
因为 = ( 2, 2,2), = (2,0,0)， = (2,0,0)，
2 ⊥ 2 = 0 2 2 2 2 + 2 2 = 0则 ，所以 ，即 ， 2 ⊥ 2 = 0 2 2 = 0
令 2 = 1，则 2 = 0， 2 = 1，
所以 2 = (0,1,1)，
又 = (2,2,0)，设直线 与平面 所成角 ，
| = 则 2| = 2 = 1．
| | | 2| 2 2× 2 2
(3)假设存在，设 = (0 ≤ ≤ 1)，则 = ( 2,2,0) = ( 2 , 2 , 0)，
所以 = + = (2 2 , 2 + 2 , 0)，
设平面 的一个法向量 1 = ( 1, 1, 1)，因为 = ( 1,2,1)，
1 ⊥ 1 = 0 1 + 2 则 ，所以 ，即 1
+ 1 = 0
⊥ = 0 (2 2 ) 1 + (2 + 2 )
，
1 1 1
= 0
令 1 = 1 + ，则 1 = 1， 1 = 3 ， 1 = 1， 1 = 3 ，
所以 1 = (1 + , 1,3 )，
由(2)问可知：平面 的一个法向量为 2 = (0,1,1)，
设平面 与平面 的夹角为 ，
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则 = |cos 1, | =
| 1 2|
2 | | | | =
2 = 42，
1 2 3 2 6 +11× 2 14
1 5
解得 = 3或 = 3 (舍)，
1 1
所以存在点 ，使得满足要求，此时 = 3 ，即 = 3．
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