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第7章证明强化训练-2025-2026学年数学八年级上册北师大版（2024）
一、单选题
1．下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，在中，，平分，，，下列四个结论中错误的是（ ）

A． B． C． D．
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．过直线外一点作直线的垂线段，叫做点到直线的距离
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
D．平行于同一条直线的两条直线平行
4．小龙、小军和小康三人在甲、乙、丙三所不同的学校读书，唱歌、阅读、绘画是三人的不同爱好． 并且知道：①小龙不在甲校读书，小军不在甲校读书，也不在丙校读书；②在甲校读书的同学爱好唱歌，爱好绘画的同学不在丙校读书． 根据以上信息，下列选项中正确的是（ ）
A．小龙在乙校读书，爱好阅读 B．小龙在丙校读书，爱好绘画
C．小军在乙校读书，爱好绘画 D．小康在甲校读书，爱好阅读
5．下列说法正确的是（ ）
A．点位于第二象限 B．同旁内角互补
C．的平方根是 D．的立方根是
6．如图所示，下列条件中能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
7．将一块含有、、的三角尺如图放置，点A、B分别在直线m、n上，下列条件中：①，②，③，④，⑤，，能判断的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．下列命题是真命题的有（　　）
①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；②两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行；③点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上的三点，，，，那么点P到直线l的距离是；④与的两边分别平行；比的3倍少，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”： ．
10．如图，，，，则的度数为 ．
11．在讨论“对顶角不相等”是不是命题的问题时，甲说：“这不是命题，因为这句话是错误的．”乙说：“这是命题，因为它作出了判断，只不过这一判断是错误的，所以它是假命题．”由此可判断 的说法是正确的．
12．命题“若，则．”的结论是 ．
13．如图，已知，与互为余角，， 度．
14．如图，已知直线，被直线所截，，点是直线右侧的任意一点（点不在直线，，上），设，．用含，的式子表示的度数是 ．
三、解答题
15．如图，在中，，过点作，且，连接，．试说明：．
16．如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
17．完成下列证明过程，并在括号内填上依据：
如图，，，求证：．
证明：已知

已知
等量代换
_____ ______（内错角相等，两直线平行）
18．如图1，在四边形中，，．
(1)试说明：；
(2)如图2，将四边形沿折叠，点C与点重合，，，求的度数．
19．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G和点D，．
(1)求证：；
(2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数．
20．空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法记述，明定陵亦有出土的文物为证．年5月日，抖空竹经中华人民共和国国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录．
【特殊与一般】小明在观察“抖空竹”时发现，可将某一时刻的情形抽象成数学问题．
如图①，已知，
（1）若，则__________°．
（2）若，则__________．（用含、的代数式表示）
【拓展与探究】小明继续思考，在平面内，已知射线、，若，点为、外一点（不同于图①），连接、．请补全图形，并探究与、之间的数量关系．
【迁移与应用】根据以上启发，请你利用平行线的性质证明“四边形内角和是”．
（要求：画出图形，写出已知、求证，并完成证明过程）
《第7章证明强化训练-2025-2026学年数学八年级上册北师大版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D C A A C A
1．D
【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：A、作，则可得，
，故该选项不符合题意；
B、作，则可得，
，故该选项不符合题意；
C、如图，过点作，
，
则可得，，，
，
故该选项不符合题意，
D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意，
故选：D．
2．C
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，解题的关键是熟练掌握相关知识．
由平行线的性质，结合角平分线的定义，可以判断选项，，根据直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，可以判断选项，即可得符合题意的选项．
【详解】解：∵，，
∴，
∴选项不符合题意，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴选项不符合题意，
由已知无法得出，
∴选项符合题意，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴选项不符合题意，
故选：．
3．D
【分析】根据平行线的判定与性质，平行公理等进行判断．
本题考查了平行线的判定与性质，平行公理等，掌握相关知识点是解题的关键．
【详解】解：A、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故A选项错误；
B、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故B选项错误；
C、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故C选项错误；
D、平行于同一条直线的两条直线平行，故D选项正确；
故选：D
4．C
【分析】本题考查逻辑推理，根据①得到小康在甲校读书，小军在乙校读书，小龙在丙校读书，根据②得到小康爱好唱歌，小军爱好绘画，小龙爱好阅读，进行判断即可．
【详解】解：因为小龙不在甲校读书，小军不在甲校读书，也不在丙校读书，
所以小康在甲校读书，小军在乙校读书，小龙在丙校读书，
因为在甲校读书的同学爱好唱歌，爱好绘画的同学不在丙校读书，
所以小康爱好唱歌，小军爱好绘画，小龙爱好阅读，
故选C．
5．A
【分析】本题考查的是平方根，立方根的含义，平行线的性质，判断点所在的象限.根据以上知识逐一分析判断即可.
【详解】解：∵，
∴点位于第二象限，A符合题意；
∵两直线平行，同旁内角互补，
∴同旁内角互补的说法错误，B不符合题意；
∵，
∴的平方根是，C不符合题意；
∵的立方根是，
∴D不符合题意.
故选：A
6．A
【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的判定，逐项分析判断即可得出答案．
【详解】解：A、∵，
∴，故此选项符合题意；
B、∵，
∴，故此选项不符合题意；
C、不能判定，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴，故此选项不符合题意；
故选：A．
7．C
【分析】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，可以判断是否可以得到，从而可以解答本题．
【详解】解：，，
不一定等于，
和n不一定平行，故①不符合题意；
，，
不一定等于，
和n不一定平行，故②不符合题意；
过点C作，
，
，，
，
，
，故③符合题意；
，
，
，故④符合题意；
，，，
，
，故⑤符合题意；
故选：C．
8．A
【分析】本题考查了命题“真”“假”判定，根据垂线公理判断①；根据平行线的判定和性质判断②；根据点到直线的距离的定义判断③；根据平行线的性质判断，当与的两边分别平行时，有两种可能或求出即可判断④．
【详解】解：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，原说法错误，故①是假命题；
②两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行，正确，故②是真命题；
③点为直线外一点，点、、为直线上的三点，，，，那么点到直线的距离不超过，原说法错误，故③是假命题；
④与的两边分别平行，比的3倍少，则有或，即或，解得或，所以或，故④是假命题；
∴是真命题的只有②，共1个．
故选：A．
9．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
【分析】本题考查了命题的叙述，“同角的余角相等”的条件是：两个角是同一个角的余角，结论是：这两个角相等，由此即可得出答案，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
10．/53度
【分析】本题考查了两直线平行内错角相等，直角三角形的两个锐角互余，解题关键是掌握上述知识点．
先利用两直线平行内错角相等，求得，再利用直角三角形的两个锐角互余，求解的度数．
【详解】解：∵， ，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
11．乙
【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．根据命题的定义对两种说法进行判断．
【详解】解：乙的说法正确．因为“对顶角不相等”是一个判断语句，所以它是命题，根据对顶角的性质可得到它是假命题．
故答案为：乙．
12．
【分析】本题考查了写出命题的题设与结论，根据命题是由条件和结论组成，进行作答即可．
【详解】解：∵命题“若，则．”
∴该命题的结论是，
故答案为：
13．
【分析】本题主要考查了余角的定义，平行线的性质，掌握余角的定义是解题的关键．由与互为余角，可求得，再利用平行线的性质即可求解．
【详解】解：与互为余角，，
，
，
．
故答案为：．
14．或或
【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，分三种情况，当在上方时，当在与之间时，当在下方时，然后由平行线的性质即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，当在上方时，
过作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
如图，当在与之间时，
过作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
如图，当在下方时，
过作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
故答案为：或或．
15．见解析
【分析】本题考查平行线的性质、“等边对等角”、全等三角形的判定与性质等知识，得出是解题的关键．由，，，由，得，则，而，，即可根据“”证明，则．
【详解】解：，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
16．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查角平分线定义，平行线的性质，等角对等边，等腰三角形的性质：
（1）根据角平分线及平行线推出，即可得到．
（2）根据平行线的性质求出，再利用等腰三角形的性质求出的度数．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，F是的中点，
∴．
17．对顶角相等；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；两直线平行，内错角相等
【分析】本题考查平行线的性质和判定，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．根据同旁内角互补，两直线平行可得，由两直线平行，同位角相等得到，即，再根据内错角相等，两直线平行得到，再由两直线平行，内错角相等得到结论即可．
【详解】证明：∵（已知）
（对顶角相等）
∴
∴（同旁内角互补，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
故答案为：对顶角相等；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；两直线平行，内错角相等．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行线的判定与性质、折叠性质，熟练掌握平行线的性质和折叠性质是解答的关键．
（1）根据平行线的性质得到，再等量代换得到，进而根据同旁内角互补，两直线平行可得结论；
（2）由折叠的性质，．再由平行线的性质得到，进而求得，由可求得答案．
【详解】（1）证明：因为，所以．
因为，所以．
所以．
（2）解：由折叠的性质，得，．
因为，所以．
所以．
由（1）得，
所以．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
（1）根据题意得到，再由同位角相等，两直线平行即可求解；
（2）根据，可得，从而得到，再结合角平分线的定义可得，然后根据，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵扶手与底座都平行于地面，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴．
∴．
∵，
∴．
20．（1）（2）【拓展与探究】或或 或
【迁移与应用】见解析
【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）根据题意，作，利用平行线的性质，求出和的度数，即可得到结果；
（2）根据题意，仿照（1）的解答，即可得到结果；
【拓展与探究】根据题意，画出图形，利用平行线的性质，得到或或 或；
【迁移与应用】利用上一题的结论，证得即可．
【详解】解：（1）如图①，过点，作，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：20；
（2）如图①，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
【拓展与探究】如下图，过点，作，
，
，
，
，
，
；
如下图，过点，作，
，
，
，
，
，
；
如图，，
，
；
如下图，
，
；
如下图，延长交于，
，
，
；
综上所述，或或 或；
【迁移与应用】已知：如图④，四边形，
求证：，
证明：分别过、两点，作，
由【拓展与探究】知：，，
即，
，
，
，
，
即．
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