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第5章二元一次方程组强化训练-2025-2026学年数学八年级上册北师大版（2024）
一、单选题
1．下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．方程组的解为，则“”“”表示的数分别是（ ）
A．10，2 B．10，3 C．12，2 D．12，3
3．下列x、y的值是二元一次方程的解的是（ ）
A．2，1 B．3， C．2，4 D．，2
4．在解关于的二元一次方程组时，若可直接消去未知数，则和满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
5．已知一次函数的图象经过点，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
6．我们知道自行车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶6000公里报废，后轮行驶4000公里报废，如果在自行车行驶若干公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（ ）公里．
A．4250 B．4750 C．4800 D．5000
7．我校为了奖励在“红五月”活动中表现优异的班级，花了2000元钱购买甲乙两种奖品共30件，其中乙种奖品60元/件，甲种奖品80元/件，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项，如：即可表示方程，则表示的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．，（为自然数），那么 ， ．
10．直线与直线的交点在第二象限，且是正整数，则的值是 ；交点的坐标是 ．
11．设的三边分别为a，b，c，其中a，b满足，则最长边c的取值范围是 ．
12．如图，在平面直角坐标系中有一个的正方形网格，每个格点的横、纵坐标均为整数，已知点，作直线并向右平移k个单位，要使分布在平移后的直线两侧的格点数相同，则k的值是 ．
13．甲、乙、丙三人进行智力抢答活动，规定：第一个问题由乙提出，由甲、丙抢答．以后在抢答过程中若甲答对1题，就可提6个问题，乙答对1题就可提5个问题，丙答对1题就可提4个问题，供另两人抢答．抢答结束后，总共有16个问题没有任何人答对，则甲、乙、丙答对的题数分别是 ．
14．已知关于，的方程组的解满足，则的值为 ．
15．某校运动会在400米环形跑道上进行10000米比赛，甲、乙两运动员同时起跑后，乙速超过甲速，在第15分钟时甲加快速度，在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙，在第23分钟时，甲再次追上乙，而在第23分50秒时，甲到达终点，那么乙跑完全程所用的时间是 分钟．
16．用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度，分别按图①、②的方式放置．测量的数据如图，这张桌子的高度是 ．
三、解答题
17．解方程组：
18．对x，y定义一种新运算“※”，规定：，（其中x，y均为非零常数），若，，求的值．
19．甲、乙两人共同解方程组时，甲看错了方程②中的a，解得；乙看错了方程①中的b，解得，求的值．
20．先阅读材料，然后解方程组．
材料：解方程组
由①得，③
把③代入②，得，解得，
把代入③得，所以这个方程组的解为．
这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可以采用此方法解答，请用这种方法解方程组：．
21．某公司后勤部准备去超市购买牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如表：
牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元）
方案一 20 10 1100
方案二 25 20 1750
(1)求牛奶与咖啡每箱的价格分别为多少元．
(2)超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次购买共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价购买的咖啡有_____箱
22．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点在直线上，直线经过点C和点．
(1)填空： ，直线的函数表达式为 ；
(2)已知Q是直线上一动点，若，求点Q的坐标；
(3)已知在x轴上有一动点E，连接，将沿直线CE翻折后，点D的对应点D'恰好落在直线上，请求出点E的坐标．
《第5章二元一次方程组强化训练-2025-2026学年数学八年级上册北师大版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C C C C C B
1．C
【分析】本题主要考查了二元一次方程的判断，
根据定义逐项判断即可解答.
【详解】解：因为是一元一次方程，所以A不符合题意；
因为不是整式方程，所以B不符合题意；
因为是二元一次方程，所以C符合题意；
因为是二元二次方程，所以D不符合题意.
故选：C.
2．A
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．将代入方程组即可得到以“■”“”为未知数的方程组，解方程组求解即可．
【详解】解：将代入方程组得：，
解得：，．
故选：A．
3．C
【分析】本题主要考查了二元一次方程解的概念，根据使方程左右两边相等的未知数的值是二元一次方程的解，代入验证即可.
【详解】解：A.当 ，时，，故错误；
B.当 ，时， ，故错误；
C. 当 ，时，，故正确；
D. 当 ，时，，故错误；
故选：C.
4．C
【分析】本题考查二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法是解题的关键．根据加减消元法的原理，当两个方程相减后消去未知数，需满足的系数之差为0．
【详解】解：将方程组①和②相减，得到：，
化简后为：，
若可直接消去未知数，需使其系数为0，即：，
故选：C．
5．C
【分析】本题考查用待定系数法求函数解析式，只需把所给的点的坐标代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：一次函数的图象经过点，
∴，
∴，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
设每个新轮胎报废时的总磨损量为，一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里，根据交换前磨损总量和交换后的磨损总量相等，可列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为，
则安装在前轮的轮胎每行驶 1 公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶 1 公里的磨损量为，
设一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里，
由题意得 ，
两式相加，得，
解得，
答：轮胎最多可以行驶 4800 公里，
故选：C．
7．C
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系，列出二元一次方程组即可．
【详解】解：由题意可列出二元一次方程组为：．
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了列二元一次方程，理解题意是解题的关键．根据横着的算筹为10，竖放的算筹为1，结合未知数的系数与等式后面的数字，即可求解．
【详解】
解：依题意，表示的方程为，
故选：B．
9．
【分析】本题重点考查 二元一次方程组的求解能力 ，特别是涉及小数系数和自然数条件的处理． 利用代入消元法求解是解题的关键．化简得，代入求解即可．
【详解】化简得，
代入，得，即，
解得，代入，即，
故答案为：；．
10．
【分析】本题考查了一次函数，关键是将题目中两个一次函数解析式联立，得到，求解二元一次方程组，解得交点坐标，结合交点在第二象限，且是正整数即可得出结论．
【详解】解：由题意可知，联立两个直线方程可得，
将可得，
，
解得：，代入式得，
．
交点坐标为，
交点在第二象限，
可得，，
解得：．
是正整数，
，代入坐标可得，交点坐标为．
11．
【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据三角形三边的关系进行求解即可．
本题主要考查了非负数的性质，三角形三边的关系，解二元一次方程组，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
【详解】解：∵，且，，
∴，
解得，
∴，即，
∴，
故答案为：．
12．1
【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的平移，正确理解题意是解题的关键．
先由待定系数法求出直线的表达式，再由一次函数图象平移的规律求出直线的表达式，再求出其与轴交点即可．
【详解】
如图所示，设直线为，则
由点，可得，
又平移后的直线两侧的格点数相同，
平移后的直线过点、，
设直线的解析式为，则
由，可得，
解得，
∴直线的解析式为，
令，
则，
即直线与x轴的交点是，其与原点的距离是1．
∴k的值为1．
故答案为：1．
13．1，1，2或0，3，1
【分析】本题考查了三元一次方程的应用，根据甲答对1题，就可提6个问题，乙答对1题就可提5个问题，丙答对1题就可提4个问题，供另两人抢答．抢答结束后，总共有16个问题没有任何人答对，进行列式，再结合皆为非负整数，即可作答．
【详解】解：设甲、乙、丙答对的题数分别是，
依题意，得，
整理得，
∵皆为非负整数，
∴或，
故答案为：1，1，2或0，3，1
14．
【分析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组等知识点，掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．
根据题意求出方程组的解，再代入求解即可．
【详解】解：解方程组：可得：，
把，代入得，
．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查行程问题，设出发时甲速度为a米/分，乙速度为b米/分．第15分钟甲提高的速度为x米/分，根据题意，到第15分钟时，乙比甲多跑米，甲提速后3分钟（即第18分）追上乙，所以①，接着甲又跑了5分钟（即第23分钟），已经超过乙一圈（400米）再次追上乙，所以②，到了第23分50秒时甲跑完10000米，这10000米前（15分）是以速度a米/分跑完的，后面的分钟是以速度米/分跑完的，进而得到③，联立三个方程进行求解即可．
【详解】解：设出发时甲速度为a米/分，乙速度为b米/分．第15分钟甲提高的速度为x米/分，
所以第15分钟后甲的速度是米/分．
由题意得，
由得，
把，代入②，得：，
解得：米/分
将代入③得：，
∴．
∴乙跑完全程所用的时间为（分）．
故答案为：25．
16．75
【分析】本题考查了方程组的应用，根据图形正确列出方程组是解题的关键．
设桌子高，长方体长，宽，列方程组得到，解得，即可得到答案．
【详解】解：设桌子高，长方体长，宽，
根据题意得，
得，
解得：，
故答案为：．
17．
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．先将，利用加减消元法求解即可．
【详解】解：
得：，
得：，
将代入②得：,
解得，
所以原方程组的解为．
18．9
【分析】本题考查了解二元一次方程组，新定义，有理数的混合运算，根据新定义，得出方程组，利用加减消元法解方程组，得出m，n的值，然后再根据新定义，可得，把m，n的值代入即可得出答案．
【详解】解：由新定义，可得方程组为：
，得，
把代入①，得，
解得：．
．
19．0
【分析】本题考查了二元一次方程组的解的概念以及代数式的求值， 二元一次方程组的解是能使方程组中每个方程都成立的未知数的值，这是解题的关键．
根据甲、乙两人看错方程的情况，分别将他们得到的解代入对应的方程，从而求出和的值，最后代入所求式子计算．
【详解】解：甲看错了方程②中的，但方程①中的是正确的，
所以将甲得到的解，
代入方程①中，可得：，
移项，得．
乙看错了方程①中的，但方程②中的是正确的，
所以将乙得到的解，代入方程②中，
可得：，解得．
所以
．
20．
【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
由第一个方程求出的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解．
【详解】解：
由①，得：．③
把③代入②，得：，解得：．
把代入③，得，解得：．
∴原方程组的解为．
21．(1)每箱牛奶价格为30元，每箱咖啡价格是50元
(2)6
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，实际问题与一元一次方程；
（1）设每箱牛奶价格为x元，每箱咖啡价格是y元，根据题意列出二元一次方程组，计算求解即可；
（2）根据题意得到打折的咖啡的价格与牛奶的原价相同，设打折的牛奶买了m箱，打折的咖啡和原价的牛奶共买了n箱，根据题意列出二元一次方程，计算求解即可．
【详解】（1）解：设每箱牛奶价格为x元，每箱咖啡价格是y元，
根据题意得：
，
解得，
答：每箱牛奶价格为30元，每箱咖啡价格是50元．
（2）解：，
∴打折的咖啡的价格与牛奶的原价相同．
设打折的牛奶买了m箱，打折的咖啡和原价的牛奶共买了n箱，
则原价的咖啡买了（箱）．
根据题意得
∴．
又∵均为非负整数，
∴，
∴ （箱），
∴此次按原价购买的咖啡有6箱．
故答案为：6．
22．(1)1；
(2)点的坐标为或
(3)点的坐标为或
【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法、全等三角形的判定与性质、翻折问题、一次函数与坐标轴的交点问题等知识，解题的关键是掌握作辅助线构造全等三角形解决问题.
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分以下两种情况讨论：①当点Q在线段的延长线上时；②当点Q在线段上时，求出两条直线的方程，联立求解即可；
（3）分两种情况，，当点E在点A的左侧时，构造，使，设直线的函数表达式为，求出直线的函数表达式为．再求出．②当点E在点A的右侧时，构造，使，设直线的函数表达式为．求出直线的函数表达式为．再算出．
【详解】（1）解：∵点在直线：上，
∴，
∴，
∴．
设直线的函数表达式为．
∵点，在直线上，
∴，
解得
∴直线的函数表达式为．
故答案为：1；．
（2）解：由直线：，可知，
如图1，分以下两种情况讨论：
①当点Q在线段的延长线上时，
∵，
∴，
∴，
∴．
②当点Q在线段上时，在y轴上取一点M，使得，则．
∵，
∴点Q在直线上．
设，则．
在中，，
∴，
解得．
∴．
由，，可得直线的函数表达式为．
联立，
解得
∴．
综上所述，点的坐标为或．
（3）解：①当点E在点A的左侧时，如图2所示．
∵，，，
∴，，，
∴，
∴为直角三角形，且．
∵将沿直线翻折得到，
∴．
以为直角边作等腰直角，交射线于点F，构造，使，
则，，
可得．
设直线的函数表达式为．
将，代入上式，
得，
解得，
∴直线的函数表达式为．
令，则，
∴．
②当点E在点A的右侧时，如图3所示．
同理可得：．
以为直角边作等腰直角，交直线于点F，构造，使，
可得．
设直线的函数表达式为．
将，代入上式，得
解得
∴直线的函数表达式为．
令，
则，
∴．
综上所述，点的坐标为或．
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