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(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2024·新高考Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5A．{－1，0} 　 B．{2，3}
C．{－3，－1，0} 　 D．{－1，0，2}
2．已知某扇形的周长为5，圆心角为3弧度，则该扇形的面积为(　　)
A． 　 B．1
C． 　 D．2
3．已知a＝log30.5，b＝log0.50.3，c＝sin ，则(　　)
A．c＞b＞a 　 B．c＞a＞b
C．b＞a＞c 　 D．b＞c＞a
4．下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是(　　)
A．y＝tan x 　 B．y＝|tan x|
C．y＝sin |x| 　 D．y＝cos
5．当x∈(0，2π)时，函数f (x)＝sin x与g(x)＝|cos x|的图象所有交点横坐标之和为(　　)
A．π 　 B．2π
C．3π 　 D．4π
6．已知函数f (x)＝在R上单调递增，则a的取值范围为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．(1，2)
7．函数f (x)＝cos 2x－2sin x的值域是(　　)
A． 　 B．[－3，1]
C． 　 D．(－3，1)
8．已知定义在R上的函数f (x)满足：f (x－1)的图象关于点(1，0)对称，f (x＋2)是偶函数，且f (x)在[0，2]上单调递增，则(　　)
A．f (10)＜f (19)＜f (13)
B．f (10)＜f (13)＜f (19)
C．f (13)＜f (10)＜f (19)
D．f (13)＜f (19)＜f (10)
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是(　　)
A．函数f (x)＝1与g(x)＝x0是同一个函数
B．“a＞b＞0”是“＜”的充分不必要条件
C．命题“ x∈R，x2－x＋＜0”的否定是真命题
D．集合{x|x＜－2，且x＞－1}没有真子集
10．已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－2或x≥1}，则(　　)
A．b＞0且c＜0
B．4a＋2b＋c＝0
C．不等式bx＋c＞0的解集为{x|x＞2}
D．不等式cx2－bx＋a＜0的解集为
11．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，将f (x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到函数g(x)的图象，则(　　)
A．ω＝2
B．φ＝
C．g(x)的最小正周期为π
D．g(x)的图象关于点对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若2a＝3b＝，则的值为________．
13．写出一个同时满足下列①②③的函数的解析式________．
①f (x)的定义域为(0，＋∞)；②f (x1x2)＝f (x1)＋f (x2)；③当x＞1时，f (x)＞0．
14．已知tan ＝2－，tan β＝1，则＝________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)已知集合A＝{x|log2(x－1)<2}，B＝{x|x2－2ax＋a2－1<0}．
(1)若a＝1，求A∪B；
(2)求实数a的取值范围，使________成立．
从①A RB，②B RA，③( RA)∩B＝ 中选择一个填入横线处求解．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
16．(本小题满分15分)已知函数f (x)＝4x＋．
(1)用定义证明：函数f (x)在(0，1]上单调递减；
(2)如果对任意x∈[1，2]，不等式(3－4log2x)(3－log2x)>klog2x恒成立，求实数k的取值范围．
17．(本小题满分15分)已知函数f (x)＝sin (ω＞0)，f (x)图象上相邻两个对称中心的距离为．
(1)求函数f (x)的解析式和单调递增区间；
(2)若将函数f (x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数h(x)＝(sin x＋cos x)·g(x)在上的最大值．
18．(本小题满分17分)(教材P227例10改编)为了便于市民运动，市政府准备对道路旁边部分区域进行改造．如图，在道路EF的一侧修建一条新步道，新步道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数y＝A sin (A＞0，ω＞0)，x∈[－4，0]时的图象，且图象的最高点为B(－1，2)，新步道的中间部分为长1千米的直线跑道CD，且CD∥EF，新步道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧．
(1)求ω的值和∠DOE的大小；
(2)若计划在圆弧步道所对应的扇形ODE区域内建面积尽可能大的矩形区域服务站，并要求矩形的一边MN紧靠道路EF上，一个顶点Q在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且∠POE＝θ，求矩形MNPQ面积最大时θ应取何值？并求出最大面积．
19．(本小题满分17分)已知函数f (x)在定义域内存在实数x0和非零实数D，使得f (x0＋D)＝f (x0)＋f (D)成立，则称函数f (x)为“D伴和函数”．
(1)判断是否存在实数D，使得函数f (x)＝为“D伴和函数”？若存在，请求出D的范围；若不存在，请说明理由；
(2)证明：函数f (x)＝x2＋sin x＋1在[0，＋∞)上为“π伴和函数”；
(3)若函数f (x)＝lg 在(0，＋∞)上为“1伴和函数”，求实数a的取值范围．
1 / 1模块综合测评
1．A　[因为A＝{x|－}，B＝{－3，－1，0，2，3}，且注意到1<<2，所以A∩B＝{－1，0}．故选A．]
2．C　[设扇形的半径为r，弧长为l，
则解得r＝1，l＝3，
则扇形的面积为S＝．故选C．]
3．D　[利用对数函数的性质可得a＝log30.5log0.50.5＝1，
利用诱导公式可得
c＝sin∈(0，1)，
所以b>c>a．故选D．]
4．B　[对于A，y＝tan x是奇函数不满足题意，故A错误；
对于B，若y＝f(x)＝|tan x|，首先定义域为，关于原点对称，
且f(－x)＝|tan(－x)|＝|tan x|＝f(x)，所以y＝f(x)＝|tan x|是偶函数，
又f(x＋π)＝|tan(x＋π)|＝|tan x|＝f(x)，所以y＝f(x)＝|tan x|是周期函数，故B正确；
对于C，画出函数y＝sin|x|的图象如图所示：
由此可知函数y＝sin|x|不是周期函数，故C错误；
对于D，若y＝f(x)＝cos(，则f(，所以y＝f(x)＝cos(不是偶函数，故D错误．故选B．]
5．A　[作出函数f(x)＝sin x和g(x)＝|cos x|在(0，2π)上的图象．
从图象上可得，函数f(x)＝sin x的图象和g(x)＝|cos x|的图象在(0，2π)内有两个交点．
sin x＝cos x，x∈(0，，即tan x＝1，x∈(0，，得x＝，sin x＝－cos x，x∈(，π)，tan x＝－1，x∈(，π)，得x＝，所有交点横坐标之和为＝π．故选A．]
6．A　[因为函数f(x)＝在R上单调递增，所以．
故选A．]
7．C　[f(x)＝cos 2x－2sin x＝1－2sin2x－2sin x，
令sin x＝t(t∈[－1，1])，
则g(t)＝－2t2－2t＋1＝－2(t＋，
因为t∈[－1，1]，且该二次函数g(t)的图象开口向下，
所以g(t)max＝g(－，
因为g(1)＝－3，g(－1)＝1，
所以g(t)min＝g(1)＝－3，
因此g(t)∈[－3，]，
即f(x)∈[－3，]．故选C．]
8．D　[因为f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，
所以f(x)的图象的对称中心是(0，0)，故f(－x)＝－f(x)，
因为f(x＋2)是偶函数，所以f(x)图象的对称轴是直线x＝2，即f(2＋x)＝f(2－x)，
所以f(2＋x)＝f(2－x)中，将x替换为x－2，得到f(x)＝f(4－x)，
故f(－x)＝－f(4－x)，将x替换为x－4，得到f(4－x)＝－f(8－x)，
所以f(－x)＝f(8－x)，因此f(x)的周期为8．
所以f(10)＝f(2)，f(19)＝f(3)＝f(1)，f(13)＝f(5)＝f(－1)，
因为f(x)在[0，2]上单调递增且f(x)是奇函数，
所以f(x)在[－2，2]上单调递增，所以f(－1)所以f(13)9．BCD　[对于A，两个函数的定义域不一样，故不是同一个函数，A错误；
对于B，若a>b>0，则，充分性成立，
若，如a＝－1，b＝－2，此时0>a>b，必要性不成立，
所以“a>b>0”是“”的充分不必要条件，故B正确；
对于C，命题“ x∈R，x2－x＋<0”的否定是 x∈R，x2－x＋≥0，
由二次函数的性质可得f(x)＝x2－x＋的图象开口向上，Δ＝0，所以f(x)≥0恒成立，故C正确；
对于D，集合{x|x<－2，且x>－1}是空集，而空集没有真子集，所以D正确．
故选BCD．]
10．AC　[由题意可知所以b>0且c<0，4a＋2b＋c＝4a＋2a－2a＝4a>0，故A正确，B错误；
不等式bx＋c>0 ax－2a＝a(x－2)>0 x>2，故C正确；
不等式cx2－bx＋a<0 －2ax2－ax＋a＝－a(2x－1)(x＋1)<0，
即(2x－1)(x＋1)>0，所以x>或x<－1，故D错误．
故选AC．]
11．ABC　[由题图知：A＝2，，
则ω＝2，故f(x)＝2sin(2x＋φ)，
又2sin(2×＋φ)＝2，
即＋2kπ，k∈Z，
故φ＝＋2kπ，k∈Z，
由|φ|<，所以φ＝，
则f(x)＝2sin(2x＋，
故g(x)＝f(x－－1，则最小正周期T＝π，
显然sin(2×≠0，
故g(x)的图象不关于点(，－1)对称．
故选ABC．]
12．2　[因为2a＝3b＝，
所以a＝log2，b＝log3，
所以＝2．]
13．f(x)＝ln x(答案不唯一)　[取f(x)＝ln x，其定义域为(0，＋∞)，
f(x1x2)＝ln(x1x2)＝ln x1＋ln x2＝f(x1)＋f(x2)，满足f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时，f(x)>0，满足所有条件．]
14．－1　[因为tan(α＋，所以tan α＝－，
＝－1．]
15．解：(1)A＝{x|log2(x－1)<2}＝{x|0B＝{x|x2－2ax＋a2－1<0}＝{x|[x－(a－1)][x－(a＋1)]<0}＝{x|a－1当a＝1时，B＝{x|0(2)由(1)知，A＝{x|1所以 RA＝{x|x≤1或x≥5}， RB＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}．
若选①，A RB，则a＋1≤1或a－1≥5，
解得a≤0或a≥6，所以a的取值范围为a≤0或a≥6．
若选②，B RA，则a＋1≤1或a－1≥5，
解得a≤0或a≥6，所以a的取值范围为a≤0或a≥6．
若选③，( RA)∩B＝ ，则
解得2≤a≤4，所以a的取值范围为2≤a≤4．
16．解：(1)证明：对任意x1，x2∈(0，1]，且x1则f(x1)－f(x2)＝(4x1＋
＝，
因为00，4x1x2－9<0，
可得f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在(0，1]上单调递减．
(2)令t＝log2x，由于x∈[1，2]，则t∈[0，1]，
由题意可得：(3－4t)(3－t)>kt对一切t∈[0，1]恒成立，
当t＝0时，则9>0，符合题意，k∈R；
当t∈(0，1]时，可得k<4t＋－15，
令h(t)＝4t＋－15，
由(1)知h(t)在(0，1]上单调递减，
当t＝1时，h(t)取到最小值h(1)＝－2，
所以k<－2．
综上所述：实数k的取值范围为(－∞，－2)．
17．解：(1)由题意知，，又ω>0，则T＝π＝，得ω＝2，
所以f(x)＝．
由－＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
(2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得y＝的图象，再将曲线向右平行移动个单位长度，得g(x)＝sin x的图象．
则h(x)＝sin x(sin x＋cos x)＝，
因为0≤x≤，则－，
所以0≤sin(2x－，
当且仅当2x－，即x＝时，h(x)在[0，．
18．解：(1)由题意可得，A＝2，＝－1－(－4)＝3，即T＝12，
又ω>0，则ω＝，
所以曲线段FBC的解析式为y＝2sin(．
当x＝0时，y＝OC＝2sin，
又因为CD＝1，则tan∠DOC＝，
可知锐角∠DOC＝，所以∠DOE＝．
(2)由(1)可知OD＝2，OP＝2，且∠POE＝θ∈(0，，
则QM＝PN＝2sin θ，ON＝2cos θ，OM＝sin θ，
可得MN＝ON－OM＝2cos θ－sin θ，
则矩形MNPQ的面积为
SMNPQ＝MN·PN＝2sin θ(2cos θ－，
又因为θ∈(0，，则2θ＋，
可知当2θ＋，即θ＝时，SMNPQ＝，
所以矩形MNPQ的最大面积为，此时θ＝．
19．解：(1)不存在，理由如下：
若f(x0＋D)＝f(x0)＋f(D)，则，
整理得＋Dx0＋D2＝0，
因为Δ＝D2－4D2＝－3D2<0，该方程无解，
所以，不存在实数D使得函数f(x)＝为“D伴和函数”．
(2)证明：由f(x0＋π)＝f(x0)＋f(π)，
得(x0＋π)2＋sin(x0＋π)＋1＝＋sin x0＋π2＋2，
整理得2πx0－2sin x0－1＝0．
设g(x)＝2πx－2sin x－1，
因为g(x)的图象在[0，＋∞)内连续不断，
且g(0)＝－1<0，g(＝π2－3>0，则g(0)·g(<0，
所以g(x)在(0，内存在零点，
所以g(x)在[0，＋∞)内存在零点，
即方程2πx－2sinx－1＝0在[0，＋∞)内存在实根，
故函数f(x)＝x2＋sin x＋1在[0，＋∞)上为“π伴和函数”．
(3)若函数f(x)在(0，＋∞)上为“1伴和函数”，
则f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)，
即lg [，
整理得，
令t＝2x0＋1>1，则x0＝，
所以．
因为t＋＋2，
当且仅当t＝，即t＝时等号成立，
所以0<，
所以<1，即3－≤a<2，
所以实数a的取值范围为[3－，2)．
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