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课时分层作业(十二)
1．A　[∵x>0，A＝x－2，B＝－，∴A－B＝x＋，即x＝1时取等号．即A≥B．故选A．]
2．B　[根据题意有x＝－y－2，故x－－2＝0，
当且仅当－y＝，即y＝－1，x＝－1时取等号．因此，x－的最小值为0．故选B．]
3．D　[由x>1，y>0，x＋y＝3，得(x－1)·y≤＝1，当且仅当x－1＝y，即y＝1，x＝2时取等号．所以(x－1)·y的最大值是1．故选D．]
4．C　[因为x>－1，所以x＋1>0，>>0，故x－4＋－5＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝2时等号成立，故a＝2，b＝1，a＋b＝3．故选C．]
5．B　[对于A，因为x，y为非零实数，所以x2＋y2≥2xy，则x2＋y2＋2xy≥4xy，
即xy≤(2，当且仅当x＝y时取等号，故A项恒成立；
对于B，当x，y异号时，<0，故B项不恒成立；
对于C，＝2，当且仅当|x|＝，即x＝±1时取等号，故C项恒成立；
对于D，x2＋y2＝|x|2＋|y|2≥2|x|·|y|＝2|xy|，当且仅当|x|＝|y|时取等号，故D项恒成立．故选B．]
6．100　[因为4x＋y＝40，所以xy＝＝100，当且仅当4x＝y，即x＝5，y＝20时，等号成立．
所以xy的最大值为100．]
7．p>q　[∵a，b，c互不相等，
∴a2＋b2>2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac．
∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)，
即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac．
即p>q．]
8．　[当x>0时，，当且仅当x＝2时等号成立，
所以当x>0时，y＝．]
9．解：(1)因为x>－2，所以x＋2>0．
由基本不等式，得x＋＝(x＋2)＋－2
≥2－2＝6，当且仅当x＋2＝，即x＝2时，等号成立．
因此，当x＝2时，y的最小值为6．
(2)xy＝·2x·5y≤·(2＝10，
当且仅当2x＝5y，即x＝5，y＝2时，等号成立，
所以xy的最大值是10．
10．D　[法一：∵02ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D．
法二：(特殊值法)取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2，2ab＝，a＋b＝，显然最大，故选D．]
11．A　[因为a>2，所以a－2>0，
所以m＝(a－2)＋＝2，
由b≠0，得b2≠0，所以n＝2－b2<2．
综上可知m>n．故选A．]
12．A　[由题图可知，OF＝(a＋b)，OC＝(a＋b)－b＝(a－b)，
在Rt△OCF中，由勾股定理可得：
CF＝，
∵CF≥OF，∴(a＋b)(a，b>0)．故选A．]
13．　[由014．证明：因为x>0，所以x＋>0，
所以x＋．
当且仅当x＋，即x＝时，等号成立．
故不等式得证．
15．解：(1)对于三元基本不等式猜想：设a>0，b>0，c>0，，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
即横线处应填．
(2)因为a>0，b>0，c>0，
且a＋b＋c≥3>0，a2＋b2＋c2≥3>0，
所以(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9＝9abc，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
即(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9abc．
(3)因为a>0，b>0，c>0，，
所以abc≤，
又因为a＋b＋c＝1，
0<1－a<1，0<1－b<1，0<1－c<1，
所以(1－a)(1－b)(1－c)≤，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
所以(1－a)(1－b)(1－c)的最大值为．
[点评]　抓住“和定积最大，积定和最小”，类比基本不等式即可求解本类问题．
1 / 1课时分层作业(十二)　基本不等式
一、选择题
1．已知x＞0，A＝x－2，B＝－，则A与B的大小关系是(　　)
A．A≥B 　 B．A≤B
C．A＞B 　 D．A＜B
2．负实数x，y满足x＋y＝－2，则x－的最小值为(　　)
A．1 　 B．0
C．－1 　 D．－4
3．已知x＞1，y＞0，x＋y＝3，则(x－1)·y的最大值是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．1
4．已知x＞－1，当x＝a时，x－4＋取得最小值b，则a＋b＝(　　)
A．－3 　 B．2
C．3 　 D．8
5．已知x，y为非零实数，则下列不等式不恒成立的是(　　)
A．xy≤ 　 B．≥2
C．≥2 　 D．x2＋y2≥2|xy|
二、填空题
6．已知x，y为正实数，且满足4x＋y＝40，则xy的最大值是________．
7．已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．
8．当x＞0时，y＝的最小值为________．
三、解答题
9．(1)(源自苏教版教材)设y＝x＋，x∈(－2，＋∞)，求y的最小值．
(2)(源自苏教版教材)设x>0，y>0，且2x＋5y＝20，求xy的最大值．
10．若0A．a2＋b2 　 B．2
C．2ab 　 D．a＋b
11．已知m＝a－2＋(a>2)，n＝2－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是(　　)
A．m>n 　 B．mC．m＝n 　 D．不确定
12．《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　)
A． ≤(a＞0，b＞0)
B．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)
C．(a＞0，b＞0)
D．≥(a＞0，b＞0)
13．函数y＝x(0＜x＜1)的最大值为________．
14．设x>0，求证：x＋．
15．我们学习了二元基本不等式：设a>0，b>0，≥，当且仅当a＝b时，等号成立，利用基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值．
(1)对于三元基本不等式请猜想：设a>0，b>0，c>0，≥________，当且仅当a＝b＝c时，等号成立(把横线补全)．
(2)利用(1)猜想的三元基本不等式证明：
设a>0，b>0，c>0，求证：(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9abc．
(3)利用(1)猜想的三元基本不等式求最值：
设a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，求(1－a)(1－b)·(1－c)的最大值．
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