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课时分层作业(二十二)
1．C　[对于A，因为f(x)＝x2＋5的定义域为R，且f(－x)＝(－x)2＋5＝x2＋5＝f(x)，
所以f(x)＝x2＋5为偶函数；
对于B，因为f(x)＝x3－1的定义域为R，且f(－x)＝(－x)3－1＝－x3－1≠－f(x)，
所以f(x)＝x3－1不是奇函数；
对于C，因为f(x)＝x3＋的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝(－x)3＋＝－f(x)，所以f(x)＝x3＋为奇函数；
对于D，因为f(x)＝x4＋2x2的定义域为R，且f(－x)＝(－x)4＋2(－x)2＝x4＋2x2＝f(x)，所以f(x)＝x4＋2x2为偶函数．故选C．]
2．A　[因为函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则有f(0)＝0，
又f(－1)＝－f(1)，所以f(－1)＋f(1)＝0，则f(－1)＋f(0)＋f(1)＝0．故选A．]
3．A　[因为f(x)是R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，且当x>0时，函数的解析式为f(x)＝－1，
所以f(－1)＝－f(1)＝－＝－1．故选A．]
4．A　[根据题意，函数f(x)＝|x＋1|－|x－1|，其定义域为R，有f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，则f(x)为奇函数，其图象关于原点对称．故选A．]
5．A　[f(x)＝的定义域为{x|x≠±1}，且f(－x)＝＝－f(x)，故f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除CD，且当x>1时，f(x)>0，当06．－1　[令g(x)＝f(x)－1＝ax3＋，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域关于原点对称，则g(－x)＝a(－x)3＋＝－g(x)，则g(x)为奇函数，
∴g(－2)＝－g(2)＝－[f(2)－1]＝－2，
∴f(－2)－1＝－2，∴f(－2)＝－1．]
7．1　[f(x)＝x2－2x＋3，
f(x＋a)＝(x＋a)2－2(x＋a)＋3＝x2＋(2a－2)x＋a2－2a＋3，
因为f(x＋a)为偶函数，
所以f(x＋a)的图象关于y轴对称，
故2a－2＝0，解得a＝1．]
8．0　[由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0．]
9．解：(1)f(x)＝x4－3x2的定义域是R，关于原点对称．
又f(－x)＝(－x)4－3(－x)2＝x4－3x2＝f(x)，
∴f(x)＝x4－3x2是偶函数．
(2)由
得－1≤x<0或0∴f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称，
∴f(x)＝．
又f(－x)＝＝－f(x)，故f(x)为奇函数．
10．B　[因为f(－1)＝－f(1)，g(－1)＝g(1)，代入条件等式再相加，得g(1)＝3．
故选B．]
11．CD　[∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)；
∵g(x)是偶函数，∴g(－x)＝g(x)；
对于A，∵f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－[f(x)＋g(x)]，
∴f(x)＋g(x)不是奇函数，A错误；
对于B，
∵f(－x)－g(－x)＝－f(x)－g(x)≠－[f(x)－g(x)]，
∴f(x)－g(x)不是奇函数，B错误；
对于C，∵f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)，
∴f(x)g(x)是奇函数，C正确；
对于D，∵，∴是奇函数，D正确．
故选CD．]
12．{x|－5≤x<－2或2因为当x∈[0，5]时，f(x)<0的解集为{x|2所以当x∈[－5，0]时，f(x)<0的解集为{x|－5≤x<－2}．
所以f(x)<0的解集是{x|－5≤x<－2或213．　[根据题意，f(x)＝，
而h(x)＝是奇函数，∴f(a)＝1＋h(a)，
故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)
＝2－f(a)＝2－．]
14．解：(1)∵f(x)＝，∴f(x)的定义域为R．
又对任意x∈R，都有f(－x)＝＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故f(x)的图象关于y轴对称，其图象如图所示，
(2)证明：∵g(x)＝f((x≠0)，
∴f(x)＋g(x)＝＝1，
即f(x)＋g(x)＝1(x≠0)．
15．解：(1)证明：由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，
所以f(0)＝0．
所以f(x)＋f(－x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，
故f(x)是奇函数．
(2)由(1)知f(x)为奇函数．
所以f(－3)＝－f(3)＝a，
所以f(3)＝－a．
又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，
所以f(12)＝－4a．
[点评]　证明抽象函数的奇偶性，关键是建立f(x)与f(－x)间的正负关系，求证时要先依据题设条件“f(x＋y)＝f(x)＋f(y)”对变量x，y赋值．
1 / 1课时分层作业(二十二)　奇偶性的概念
一、选择题
1．下列函数是奇函数的是(　　)
A．f (x)＝x2＋5 　 B．f (x)＝x3－1
C．f (x)＝x3＋ 　 D．f (x)＝x4＋2x2
2．若函数y＝f (x)是定义在R上的奇函数，则f (－1)＋f (0)＋f (1)＝(　　)
A．0 　 B．1
C．－2 　 D．－3
3．函数f (x)是R上的奇函数，且当x＞0时，函数的解析式为f (x)＝－1，则f (－1)＝(　　)
A．－1 　 B．1
C．－3 　 D．3
4．函数f (x)＝|x＋1|－|x－1|的图象关于(　　)
A．原点对称 　 B．x轴对称
C．y轴对称 　 D．点(1，0)对称
5．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常根据函数的解析式来思考函数的图象特征，则函数f (x)＝的大致图象是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
二、填空题
6．已知函数f (x)＝ax3＋＋1，若f (2)＝3，则f (－2)＝________．
7．设a为常数，函数f (x)＝x2－2x＋3，若f (x＋a)为偶函数，则a＝________．
8．已知函数y＝f (x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f (x)＝0的所有实根之和是________．
三、解答题
9．判断下列函数的奇偶性．
(1)f (x)＝x4－3x2；
(2)f (x)＝．
10．已知f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f (－1)＋g(1)＝2，f (1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于(　　)
A．4 　 B．3
C．2 　 D．1
11．(多选)已知f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，且g(x)≠0，则(　　)
A．f (x)＋g(x)是奇函数
B．f (x)－g(x)是奇函数
C．f (x)g(x)是奇函数
D．是奇函数
12．设偶函数f (x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f (x)的图象如图所示，则不等式f (x)<0的解集是________．
13．已知函数f (x)＝，若f (a)＝，则f (－a)＝________．
14．已知函数f (x)＝，令g(x)＝f ．
(1)已知f (x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，请据此在该坐标系中补全函数f (x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据；
(2)求证：f (x)＋g(x)＝1(x≠0)．
15．已知函数f (x)对一切实数x，y都有f (x＋y)＝f (x)＋f (y)，
(1)求证：f (x)是奇函数；
(2)若f (－3)＝a，试用a表示f (12)．
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