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课时分层作业(二十一)　函数的最大(小)值
一、选择题
1．函数f (x)＝＋2在[0，1]上的最小值为(　　)
A．2 　 B．
C．2 　 D．3
2．某社区超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为y＝－x2＋12x－10，那么该商品的日利润最大时，当日售价为(　　)
A．5元 　 B．6元
C．7元 　 D．26元
3．函数f (x)＝的最值情况为(　　)
A．最小值为0，最大值为1
B．最小值为1，无最大值
C．最小值为0，最大值为5
D．最小值为0，无最大值
4．(多选)若函数f (x)＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m可以取(　　)
A． 　 B．
C．3 　 D．
5．(多选)已知函数f (x)＝，则下列选项正确的是(　　)
A．若f (x)＝2，则x＝14
B．函数f (x)在定义域内是减函数
C．若x∈[2，8]，则f (x)的值域是[－1，5]
D．若x∈N，则函数f (x)有最小值也有最大值
二、填空题
6．若函数f (x)＝在[1，b](b>1)上的最小值是，则b＝________．
7．如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．那么水流喷出的高度h(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系式为h(x)＝－x2＋2x＋，x∈，则水流喷出的高度h的最大值是________m．
8．若函数f (x)满足f (x＋1)＝x(x＋3)，x∈R，则f (x)的最小值为________．
三、解答题
9．已知f (x)＝，x∈(－2，2)．
(1)求证：函数f (x)在区间(－2，2)上单调递增；
(2)求函数f (x)在区间(－2，2)上的值域．
10．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润L(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中x为销售量，单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　)
A．90万元 　 B．60万元
C．120万元 　 D．120.25万元
11．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f (x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，则f (x)的最大值为(　　)
A．4 　 B．5
C．6 　 D．10
12．(多选)下列函数中，最小值为2的是(　　)
A．y＝x2＋2x＋3
B．y＝x＋
C．y＝
D．y＝x－(x∈[－1，0))
13．已知函数f (x)＝，函数g(x)＝－(x－1)2＋a，若存在x1，x2∈[0，2]，使得f (x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围是________．
14．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：
x/元 45 50
y/件 27 12
(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f (x)(注明函数定义域)；
(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
15．已知函数f (x)对任意x，y∈R，总有f (x)＋f (y)＝f (x＋y)，且当x>0时，f (x)<0，f (1)＝－．
(1)求证：f (x)是R上的减函数；
(2)求f (x)在[－3，3]上的最大值和最小值．
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1．B　[因为f(x)＝＋2在[0，1]上单调递减，
所以f(x)min＝f(1)＝．故选B．]
2．B　[y＝－x2＋12x－10＝－(x－6)2＋26，所以当x＝6时，y取最大值26．故选B．]
3．D　[当x∈[－1，0]时，f(x)的最大值为1，最小值为0；当x∈(0，1]时，f(x)的最小值为1，无最大值．所以f(x)的最小值为0，无最大值．故选D．]
4．ABC　[f(x)＝x2－3x－4图象的对称轴为直线x＝．
当x∈[0，m]时，f(x)的值域为[－，－4]，
由于f(，所以m≥．
当y＝－4时，x＝0或x＝3，因此m≤3，
综上可得，m的取值范围是[，3]．
结合选项知，m可取，3．]
5．AD　[对于A，由f(x)＝2，可得＝2，解得x＝14，故A正确；
对于B，f(x)＝的定义域为(－∞，6)∪(6，＋∞)，
所以f(x)在(－∞，6)上单调递减，且f(x)<1，
f(x)在(6，＋∞)上单调递减，且f(x)>1，
故f(x)在(－∞，6)∪(6，＋∞)上不是单调函数，故B错误；
对于C，由B可得，当x∈[2，6)时，f(x)≤f(2)＝－1，
当x∈(6，8]时，f(x)≥f(8)＝5，所以f(x)的值域是(－∞，－1]∪[5，＋∞)，
当x＝6时，f(x)无意义，故C错误；
对于D，当x∈N且x∈[0，6)时，－7＝f(5)≤f(x)≤f(0)＝－，
当x∈N且x∈(6，＋∞)时，1所以若x∈N，函数f(x)有最小值也有最大值，故D正确．故选AD．]
6．4　[因为f(x)＝在[1，b]上单调递减，
所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝，
所以b＝4．]
7．　[由函数h(x)＝－x2＋2x＋，x∈的图象可知，函数图象的顶点就是水流喷出的最高点，此时函数取得最大值．对于函数h(x)＝－x2＋2x＋＝－(x－1)2＋，x∈，故当x＝1时，函数有最大值h(x)max＝(m)．于是水流喷出的最高高度是 m．]
8．－　[由f(x＋1)＝x(x＋3)＝(x＋1)2＋(x＋1)－2，得f(x)＝x2＋x－2＝，所以f(x)的最小值是－．]
9．解：(1)证明： x1，x2∈(－2，2)且x1f(x2)－f(x1)＝
＝，
又x1x2－4<0，x1－x2<0，(＋4)(＋4)>0，
所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
所以函数f(x)在区间(－2，2)上单调递增．
(2)由(1)知函数f(x)在区间(－2，2)上单调递增，又f(－2)＝－，f(2)＝，
所以函数f(x)在区间(－2，2)上的值域为(－．
10．C　[设该公司在甲地销售x辆，
则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为
L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30
＝－(x－，
∴当x＝9或x＝10时，L取最大值120万元．]
11．
C　[在同一平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象．
根据min{x＋2，10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图象应为图中的实线部分．
解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为(4，6)．
所以f(x)＝其最大值为交点的纵坐标，所以f(x)的最大值为6．]
12．AD　[对于A， y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，所以函数最小值为2，故A正确；
对于B，当x>0时，y＝x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝1时取得等号，
当x<0时，y＝－(－x＋，
因为－x＋＝2，
所以y＝－(－x＋≤－2，当且仅当－x＝，
即x＝－1时取得等号，所以y∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，故B错误；
对于C，y＝上单调递减，
所以当x＝9时函数有最小值为，故C错误；
对于D，y＝x－在x∈[－1，0)上单调递增，
所以当x＝－1时函数有最小值为－1－＝2，故D正确．
故选AD．]
13．[0，2]　[f(x)＝，则函数f(x)在[0，2]上单调递增，则f(0)≤f(x)≤f(2)，即0≤f(x)≤1，所以函数f(x)的值域是A＝[0，1]．又g(x)＝－(x－1)2＋a在[0，2]上的值域是B＝[a－1，a]，若存在x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＝g(x2)成立，则A∩B≠ ．若A∩B＝ ，则a<0或a－1>1，即a<0或a>2，所以实数a的取值范围是[0，2]．]
14．解：(1)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，由表格得方程组
解得
所以y＝f(x)＝－3x＋162．
又y≥0，所以30≤x≤54，
故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30，54]．
(2)由题意得，
P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)
＝－3x2＋252x－4 860
＝－3(x－42)2＋432，x∈[30，54]．
当x＝42时，最大的日销售利润P＝432(元)，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．
15．解：(1)证明：f(x)＋f(y)＝f(x＋y)中令x＝y＝0得f(0)＝0，
令y＝－x得f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，
x1，x2∈R且x1∵x>0时，f(x)<0，且x2－x1>0，
∴f(x2－x1)<0，则f(x2)－f(x1)<0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)是R上的减函数．
(2)由(1)知f(x)min＝f(3)，f(x)max＝f(－3)，且f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝－2，
∴f(－3)＝－f(3)＝2，
∴f(x)min＝－2，f(x)max＝2．
即f(x)在[－3，3]上的最大值为2，最小值为－2．
[点评]　立足减函数的定义，以x>0时，f(x)<0为切入点，充分利用f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，把x2表示成x2＝(x2－x1)＋x1求解即可．
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