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章末综合测评(五)　三角函数
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．－1 000°的终边在(　　)
A．第一象限 　 B．第二象限
C．第三象限 　 D．第四象限
2．扇形的圆心角为0.5弧度，周长为15，则它的面积为(　　)
A．5 　 B．6
C．8 　 D．9
3．若cos ，且α∈，则sin (π－2α)＝(　　)
A． 　 B．
C．－ 　 D．－
4．要得到函数y＝sin 的图象，只要把函数y＝sin 3x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
5．已知tan α，tan β为方程x2＋6x－2＝0的两个实数根，则＝(　　)
A．－ 　 B．
C． 　 D．
6．(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为(　　)
A．3 　 B．4
C．6 　 D．8
7．tan 200°＋tan 40°＋tan (－160°)tan 40°＝(　　)
A． 　 B．－
C．1 　 D．－1
8．已知函数f (x)＝sin (ω＞0)的最小正周期为π．则函数在的最小值是(　　)
A．－ 　 B．－
C．0 　 D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是(　　)
A．角θ终边在第二象限或第四象限的充要条件是tan θ<0
B．圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是
C．经过4小时时针转了120°
D．若角α与角β终边关于y轴对称，则α＋β＝＋2kπ，k∈Z
10．对于函数f (x)＝sin 2x和g(x)＝sin ，下列说法中正确的有(　　)
A．f (x)与g(x)有相同的零点
B．f (x)与g(x)有相同的最大值
C．f (x)与g(x)有相同的最小正周期
D．f (x)与g(x)的图象有相同的对称轴
11．质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的⊙O上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为2 rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为5 rad/s，起点为射线y＝－x(x≥0)与⊙O的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为(　　)
A．
B．
C．
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知cos (45°＋α)＝，则cos (135°－α)＝________．
13．已知函数f (x)＝sin (ω>0)在上单调递增，则ω的取值范围是________．
14．(2022·浙江高考)若3sin α－sin β＝，α＋β＝，则sin α＝________，cos 2β＝________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)已知函数f (x)＝A sin(ωx＋φ)＋B(A＞0，x∈R，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示．
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)若g(x)＝f ，求函数g(x)在区间上的值域．
16．(本小题满分15分)(2023·北京高考)设函数f (x)＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ．
(1)若f (0)＝－，求φ的值；
(2)已知f (x)在区间上单调递增，＝1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f (x)存在，求ω，φ的值．
条件①：f ＝；
条件②：f ＝－1；
条件③：f (x)在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17．(本小题满分15分)如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，角α和角β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，点A的横坐标为，点C与点B关于x轴对称．
(1)求的值；
(2)若cos ∠AOC＝－，求cos β的值．
18．(本小题满分17分)已知下列是两个等式：
①sin 60°·sin 30°＝sin245°－sin215°；
②sin5·sin 1＝sin23－sin22；
(1)请写出一个更具有一般性的关于三角的等式，使上述两个等式是它的特例；
(2)请证明你的结论．
19．(本小题满分17分)(教材P255复习参考题5T23改编)已知正方形ABCD的边长为1，点P，Q分别在边AB，AD上，设∠DCQ＝α，∠BCP＝β．
(1)若AP＝DQ，求tan(α＋β)的最大值；
(2)若△APQ的周长为2，求∠PCQ的大小．
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1．A　[－1 000°的终边与－1 000°＋360°×3＝80°相同，则终边在第一象限．故选A．]
2．D　[设半径为r，则周长15＝2r＋0.5r，则r＝6，扇形面积为×0.5r2＝×0.5×36＝9，故选D．]
3．D　[∵cos，∴sin α＝，又α∈，∴cos α＝－，则sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝－．故选D．]
4．D　[由题意知：y＝sin(3x－]，所以只需把y＝sin 3x的图象向右平移的图象，故选D．]
5．C　[因为tan α，tan β是方程x2＋6x－2＝0的两根，
由根与系数的关系知，tan α＋tan β＝－6，tan αtan β＝－2，
所以．
故选C．]
6．C　[因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π，
函数y＝2sin，
所以在x∈[0，2π]上，函数y＝2sin有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点．故选C．]
7．A　[tan 200°＝tan(180°＋20°)＝tan 20°，
tan(－160°)＝tan(－180°＋20°)＝tan 20°，
tan 60°＝tan(20°＋40°)＝，
所以tan 20°＋tan 40°＝tan 20°·tan 40°，
所以tan 200°＋tan 40°＋tan(－160°)tan 40°
＝tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°
＝tan 20°·tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝．故选A．]
8．A　[f(x)＝sin＝sin(3ωx＋π)＝－sin 3ωx，由T＝＝π，得ω＝，
即f(x)＝－sin 2x，当x∈[－]时，2x∈[－]，
sin 2x∈，所以，当x＝时，f(x)min＝－sin．故选A．]
9．AB　[设角θ终边上点的坐标为(x，y)，则tan θ＝，若角θ终边在第二象限或第四象限，则tan θ<0，若tan θ<0，则角θ终边在第二象限或第四象限，所以角θ终边在第二象限或第四象限的充要条件为tan θ<0，故A正确；
圆的一条弦等于半径，则圆心角为60°，即，故B正确；
经过4小时时针旋转了－×360°＝－120°，故C错误；
若角α和角β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，故D错误．故选AB．]
10．BC　[A选项，令f(x)＝sin 2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f(x)的零点，
令g(x)＝sin＝0，解得x＝，k∈Z，即为g(x)的零点，
显然f(x)，g(x)的零点不同，A选项错误；
B选项，显然f(x)max＝g(x)max＝1，B选项正确；
C选项，根据周期公式，f(x)，g(x)的最小正周期均为＝π，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质，f(x)的图象的对称轴满足2x＝kπ＋，k∈Z，即x＝，k∈Z，
g(x)的图象的对称轴满足2x－，k∈Z，即x＝，k∈Z，
显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误．
故选BC．]
11．ABD　[由题意，点Q的初始位置Q1的坐标为(，－，设点P的初始位置为P1，则∠Q1OP1＝，
设t时刻两点重合，则5t－2t＝＋2kπ，k∈N，
即t＝π，k∈N，
此时点Q(cos(－＋5t)，sin(－＋5t))，
即Q(cos(π)，sin(π))，k∈N，
当k＝0时，Q(cos，sin，故A正确；
当k＝1时，Q(cos，sin，
即Q(－cos，－sin，故B正确；
当k＝2时，Q(cos，sin，
即Q(－cos，sin，故D正确．
故选ABD．]
12．－　[cos(135°－α)＝cos[180°－(45°＋α)]
＝－cos(45°＋α)＝－．]
13．(0，]　[令－＋2kπ，k∈Z，
解得－，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为[－]，k∈Z，
因为f(x)在[－]上单调递增，
所以，所以0<ω≤．]
14．　　[因为α＋β＝，所以β＝－α，所以3sin α－sin β＝3sin α－sin，
所以3sin α－cos α＝，又sin2α＋cos2α＝1，
则．]
15．解：(1)根据题意知A＋B＝3，B－A＝－1，∴A＝2，B＝1，，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1，
将点＋1＝－1，
又|φ|<π，∴φ＝－，
∴f(x)＝2sin＋1．
(2)∵g(x)＝f＋2，
∵x∈，2x－，
∴g(x)＝2sin＋2∈[2－，4]．
即函数g(x)在区间上的值域为[2－，4]．
16．解：(1)因为f(x)＝sin ωxcos φ＋cos ωxsin φ，
所以f(0)＝sin(ω·0)cos φ＋cos(ω·0)sin φ
＝sin φ＝－，
因为|φ|<，所以φ＝－．
(2)因为f(x)＝sin ωxcos φ＋cos ωxsin φ，ω>0，
|φ|<，
所以f(x)＝sin(ωx＋φ)，ω>0，|φ|<，
所以f(x)的最大值为1，最小值为－1．
若选条件①：因为f(x)＝sin(ωx＋φ)的最大值为1，最小值为－1，
所以f(无解，故条件①不能使函数f(x)存在．
若选条件②：因为f(x)在区间[－]上单调递增，
且f(＝1，f(－＝－1．
所以＝π，
所以T＝2π，ω＝＝1，
所以f(x)＝sin(x＋φ)，
又因为f(－＝－1，
所以sin(－＋φ)＝－1，
所以－＋2kπ，k∈Z ，
所以φ＝－＋2kπ，k∈Z，
因为|φ|<，所以φ＝－．
所以ω＝1，φ＝－．
若选条件③：因为f(x)在[－]上单调递增，在[－，－]上单调递减，
所以f(x)在x＝－处取得最小值－1，
即f(－＝－1．
因为f(x)在区间[－]上单调递增，
且f(＝1，f(－＝－1．
所以＝π，
所以T＝2π，ω＝＝1，
所以f(x)＝sin(x＋φ)，
又因为f(－＝－1，
所以sin(－＋φ)＝－1，
所以－＋2kπ，k∈Z，
所以φ＝－＋2kπ，k∈Z．
因为|φ|<，所以φ＝－．
所以ω＝1，φ＝－．
17．解：(1)因为点A的横坐标为，且|OA|＝1，点A在第一象限，所以点A的纵坐标为，
所以cos α＝，sin α＝．
所以
＝．
(2)因为cos∠AOC＝－，由题图可知，sin∠AOC＝．
而－β＝α－∠AOC，
故β＝∠AOC－α，
所以cos β＝cos(∠AOC－α)
＝cos∠AOCcos α＋sin∠AOCsin α
＝(－．
18．解：(1)由题意可得出具有一般性的关于三角的等式为sin αsin β＝sin2．
(2)证明：因为sin2，
sin2，
故sin2
＝[cos(α－β)－cos(α＋β)]＝×2sin αsin β＝sin αsin β，
即sin αsin β＝sin2．
19．解：(1)设AP＝DQ＝λ(0＜λ＜1)，
由tan α＝λ，tan β＝1－λ，
所以tan (α＋β)＝，
又λ2－λ＋1＝，当且仅当λ＝时，取等号，
所以tan (α＋β)≤，即tan (α＋β)的最大值为．
(2)因为△APQ的周长为2，
所以AP＋PQ＋AQ＝1－tan β＋1－tan α＋＝2，
得到tan β＋tan α＝，
两边同时平方并化简得到tan α＋tan β＝1－tan αtan β，
所以tan (α＋β)＝＝1，
又0＜α＋β＜，所以α＋β＝，
所以∠PCQ＝－(α＋β)＝．
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