资源简介

2025-2026学年浙江省宁波市北仑中学 1-17班高二（上）月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 , , 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是( )
A. , 2 , B. 2 , 2 , + 2
C. 3 , , + 2 D. , + ,
2 .已知复数 3 = 3 4 ，则| | =( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

3.已知样本数据 1， 2， ， 的平均数为 ，方差为 2( 2 ≠ 0)，若样本数据 1 + 1， 2 + 1， ， + 1( >

0)的平均数为 4 ，方差为 4 2

，则 =( )
A. 12 B. 1 C. 2 D. 4
4.已知直线 ， 与平面 ， ，则能使 ⊥ 的充分条件是( )
A. ⊥ ， ⊥ ， // B. ， ， ⊥
C. // ， ⊥ ， D. ∩ = ， ⊥ ，
5.从 2，4，8，16 中任取两个数，分别记作 ， ，则使log 为整数的概率是( )
A. 14 B.
1
3 C.
1
2 D.
2
3
6.已知 1， 2是两个垂直的单位向量.若 = 1 2， = 2 1 + 2，设向量 ， 的夹角为 ，则 =( )
A. 1 B. 2 C. 5 D. 1010 2 5 10
7 9.在△ 中，内角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，若 = 23， = 4 ，则 + =( )
A. 32 B. 2 C.
7 3
2 D. 2
8.已知集合 = {1,2}， ， ， 是 的子集，且 ∪ ∪ = ，则 ∩ ∩ = 的概率为( )
A. 24 B. 30 C. 33 3649 49 49 D. 49
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 = + ( , ∈ )，| | = 2，则下列说法正确的是( )

A. = 4 B.若 2 ∈ ，则 ∈
C.若 = 2，则 为纯虚数 D. 1 ≤ | 3 | ≤ 5
10.已知直线 1：( + 1) + + 2 3 = 0， 2：2 + + 2 = 0，则下列说法正确的是( )
第 1页，共 9页
A. 1// 2的充要条件为 = 1 或 = 2
B.若 1 ⊥
2
2，则 = 3
C.若直线 1不经过第四象限，则 ≤ 1
D.若 = 2 ，则将直线 2绕坐标原点按逆时针方向旋转2，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为 =
1
11.如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱
组合而成， ⊥ ， = = = 4， 是 上的动点.则( )
A. 为 的中点时，平面 ⊥平面
B. 4 3为 的中点时，点 到平面 的距离为 3
C.存在点 ，使得直线 与平面 所成的角为 60°
D. 为 所在直线的动点，则| | | |的最大值为 2 5 + 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知随机事件 ， ， ， 和 互斥， 和 对立，且 ( + ) = 0.7， ( ) = 0.3，则 ( ) =______．
13.已知 ， ， 为△ 的三个内角 ， ， 的对边，向量 = ( 3, 1), = ( , )，若 ⊥ ，且
+ = 2 ，则角 =______．
14.一正四棱锥形状的中空水晶，其侧面分别镌刻“自”“信”“自”“立”四字，内部为一个正四面体形
状的水晶，表面上分别镌刻“自”“主”“自”“强”四字，当其在四棱锥外壳内转动时，好似折射出可
34
穿越时空的永恒光芒.已知外部正四棱锥的底面边长为 3，侧棱长为 2 ，为使内部正四面体在外部正四棱锥
内(不考虑四棱锥表面厚度)可绕四面体中心任意转动，则该正四面体体积最大为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， = 3．
(1)若 = 13，且△ 的面积为 3 3，求 + ；
(2)若 = 4， = 3，∠ 的平分线交 于 ，求 的长．
16.(本小题 15 分)
2 1棱长为 的正方体中， ， 分别是 1， 的中点， 在棱 上，且 = 3 ， 是 1 的中点．
(1)证明： ⊥ 1C.
(2)求 cos < , 1 > .
第 2页，共 9页
(3)求 的长．
17.(本小题 15 分)
某商店举行促销抽奖活动，在一个不透明袋子中放有 6 个大小质地完全相同的球，其中 ( ∈ {2,3,4,5})个
为红球，其余均为白球，现从中不放回地依次随机摸出 2 个球，若取到的两个球同色，则称为中奖，可以
领取一张优惠券；若取到的两个球不同色，则称为不中奖.一次抽奖结束后，取出的球放回袋子中，供下一
位顾客抽奖(每位顾客只有一次抽奖机会)．
(1)若 = 2，求一次抽奖中奖的概率；
(2)若要求一次抽奖中奖的概率最小．
( )求 ；
( )求两位顾客抽奖至少有一位顾客中奖的概率．
18.(本小题 17 分)
如图，∠ = ∠ ，设射线 所在直线的斜率为 ( > 0)，点 在∠ 内， ⊥ 于 ， ⊥
于 ．
(1)若 = 1 ( 3 , 1， 2 2 )，求| |的值；
(2)若 (2,1)，求△ 面积的最大值，并求出相应的 值；
(3) 1已知 为常数， ， 的中点为 ，且 △ = ，当 变化时，求| |的取值范围．
19.(本小题 17 分)
如图，在空间直角坐标系 中，点 ， ， 分别在 ， ， 轴上(点 ， ， 异于点 )，且 + + = 3．
(1)当 △ + △ + △ ( 表示面积)取得最大值时，求点 到平面 的距离．
第 3页，共 9页
(2)若 = 12 , = 1, =
3
2，动点 在线段 上(含端点)，探究：是否存在点 ，使得直线 与平面
2
所成角的正弦值为 5 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
(3)记平面 与平面 、平面 、平面 的夹角分别为 ， ， ，比较 + +
与 1 的大小关系，并说明理由．
第 4页，共 9页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.6
13. 2
14. 38
15.(1)因为 = 3，且△ 的面积为 3 3，
1 1 3
所以 = 2 = 2 × 2 = 3 3，所以 = 12，
由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 = ( + )2 3 ，
所以( + )2 = 2 + 3 = 13 + 36 = 49，即 + = 7；
(2)因为∠ 的平分线交 于 ，
所以 △ = △ + △ ，
1
即2 ∠ =
1
2 ∠ +
1
2 ∠ ，
1 3 1
所以2 × 4 × 3 × 2 = 2 × 4 ×
1
2 +
1 1
2 × 3 × 2 ，
即 7 = 12 3，所以 = 12 37 ．
16.解：以 为坐标原点， ， ， 1所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系 ，如图所
示；则 (0,0,1)， (1,1,0)， 1(2,2,2)， (0,2,0)， 1(0,2,2)；
(1)证明：∵ = (1,1, 1)， 1 = ( 2,0, 2)，
第 5页，共 9页
∴ 1 = 1 × ( 2) + 1 × 0 1 × ( 2) = 0，
∴ ⊥ 1 ，
∴ ⊥ 1 ；
(2)由 = 13 ， (0,2,0)可知，∴ (0,
4
3 , 0)，∴
1 = (0,
2
3 , 2)，
∴ 1 = 1 × 0 + 1 × (
2
3 ) 1 × ( 2) =
4
3，
| | = 3，| 1 | = 02 + (
2
3 )
2 + ( 2)2 = 2 10，3
4
∴ cos <
30
， 1 31 >= | = =|×| ；1 | 3×2 10 153
(3) ∵ 为 1
5
的中点，∴ (0, 3 , 1)， (1,1,0)，
∴ = ( 1, 23 , 1)，
∴ | | = ( 1)2 + ( 2 )23 + 1
2 = 22，3
即 的长为 22．
3
17.(1)记这 2 个红球的编号为 1，2，4 个白球的编号为 3，4，5，6，
所以样本空间 = {( , )| ， ∈ {1,2,3,4,5,6}，且 ≠ }，共有 30 个样本点，
设事件 =“一次抽奖中奖”，
所以 = {(1,2)，(2,1)，(3,4)，(4,3)，(3,5)，(5,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(4,6)，(6,4)，(5,6)，(6,5)}，
( ) = 14 ( ) = ( ) = 14 7所以 ，则 ( ) 30 = 15；
2
(2)( )当 ∈ {2,3,4} ( ) = ( ) ( 1)+(6 )(5 ) 6 +15时， ( ) = 30 = 15 ，
2
所以 = 3 时， ( ) = 5，
当 = 5 时， ( ) = 5×4 = 2 > 230 3 5，
综上所述， = 3 时，一次抽奖中奖的概率最小．
第 6页，共 9页
( )记事件 =“两位顾客抽奖至少有一位顾客中奖”，“第 位顾客中奖”( = 1,2)，
2
由题意知， ( 1) = ( 2) = 5，

所以 ( ) = 1 ( 1) ( 2) = 1 (1
2 )(1 2 ) = 165 5 25．
18.解：(1) 3 1因为 ( 2 , 2 )，
所以| | = 102 ，
当 = 1 时， 的方程为 = ，即 = 0，
所以点 到直线 的距离为
|3 1|
| | = 2 2 = 2，
12+12 2
所以| | = ( 10 )22 (
2 )22 = 2；
(2)由题意知，直线 的方程为 = 0，
所以 (2,1) |2 1|到直线 的距离为| | = ，
2+1
所以| | = | |2 | |2
2
= ( 5)2 (2 1) 2+1 ，
2
△ = 1 × 5 (2 1) × |2 1|所以 的面积 2 2+1 ， 2+1
|2 1|
令 = ≥ 0，
2+1
则 = 1 2 1 22 5 = 2 (5 )
2
≤ 1 (5
2+ 2)2 5
2 4 = 4，
当且仅当 5 2 = 2，即 = 102 时，等号成立，
|2 1| = 10此时 2 ，整理得 3
2 8 3 = 0，
2+1
1
解得 = 3 或 = 3 (舍负)，
△ 5所以 面积的最大值为4，相应的 值为 3；
(3)设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
( , )， 1 > 0， 2 > 0， > 0，
设直线 的倾斜角为 ，
第 7页，共 9页
则 = 2 2 ， 2 = tan2 +1 = 1+ 2，
因为 ， 的中点为 ，
= 1+ 22 1 = +

所以 ( )，解得
，
= 1 2

2 2
=
所以| | = 1 1 + 2 = ( +

) 1 +
2，
| | = 22 1 + = (

) 1 +
2，
而 = 1 1△ 2 | | | | 2 = ，
1 ( + 所以2 ) 1 +
2 ( ) 1 + 2 2 1 1+ 2 = ，
整理得 2 2 2 = 1( ≥ 1 )，
所以| |2 = 2 + 2 = 2 + ( 2 2 1)
= ( 2 + 1) 2 1 ≥ ( 2 + 1) 1 1 2 1 = 2，
1
所以| | ≥ ，
1 1
当且仅当 = ，即 ( , 0)时，等号成立，
故| | 1的取值范围为[ , + ∞)．
19.(1)不妨设 = ， = ， = ，则 + + = 3，且 ， ， > 0，
+ + = + + = ( + + )+2 +2 +2
2
≤ 2 +2
2+2 2+2 +2 +2 = ( + + )
2
= 3故 △ △ △ 2 6 6 6 2，
当且仅当 = = = 1 时等号成立， △ + △ + △ 取得最大值，此时 = = = 2，
记点 到平面 的距离为 ．
因为 =
1 1 1
3 × △ × = 3 × 2 ×
3
2 × ( 2)
2 × = 3 6 ，
1
又 = 3 △ =
1 × 13 2 × 1 × 1 × 1 =
1
6，
3
所以 6 =
1
6，
3
解得 = 3 ．
3
所以，点 到平面 的距离为 3 ．
(2) ( 1由题可知 2 , 0,0), (0,1,0), (0,0,
3
2 )，
第 8页，共 9页
= ( 1 , 1,0), = ( 1 , 0, 3 ), = (0,0, 3故 2 2 2 2 )．
= = ( 设 2 , , 0)(0 ≤ ≤ 1) (
1
，则 2 , , 0),
= ( 1 2 , , 0)．
设 = ( , , )为平面 的法向量，
1
⊥ = 0 2 + = 0则
⊥
，则

，即 ，
= 0 3
2 = 0
可取 = (2 , 1,0)．
记直线 与平面 所成的角为 ，

则 = |cos , | = | | | | 2
| | |
= = ，
| 5 2 2 +1 10 52
= 1 解得 2，则 = 1．

所以，存在线段 的中点 满足题意，此时 = 1．
(3)结论： + + ≤ 1，下面给出证明：
同(1)设 ， ， 的长度分别为 ， ， ，
则 ( , 0,0), (0, , 0), (0,0, ), = ( , , 0), = ( , 0, )．
显然平面 的一个法向量为 = (1,0,0)．
设平面 的法向量为 = ( , , )，
则 = 0 + = 0，则 ，可取 = ( , , )，
= 0 + = 0
所以 = |cos , | = | | = | | | | ， 2 2+ 2 2+ 2 2

同理得 = , = ，
2 2+ 2 2+ 2 2 2 2+ 2 2+ 2 2
2 2 2 2 2 2
故有cos2 + cos2 + cos2 = + + 2 2+ 2 2+ 2 2 = 1．
要证 + + ≤ 1，
即证 + + ≤ cos2 + cos2 + cos2 ①，
事实上，有( )2 + ( )2 + ( )2 ≥ 0，
化简得cos2 + cos2 + cos2 ≥ + + ，
则①式得证，故 + + ≤ 1，
当且仅当 = = 即 = = = 1 时等号成立，命题得证．
第 9页，共 9页

展开更多......

收起↑