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2025-2026学年云南省曲靖市罗平八壹高级中学高一上学期入学考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中， 随 的增大而增大的是( )
A. = 2 + 1 B. = 2 C. = + 1 D. = 2 1
2.抛物线 = 2 2 + 4 + 1 的对称轴是直线( )
A. = 3 B. = 1 C. = 32 D. = 1
3 1.式子 2 在实数范围内有意义，则 的取值范围是( )
A. ≥ 1 B. ≠ 2 C. > 1 D. ≥ 1 且 ≠ 2
4.下列运算正确的是( )
A. 3 4 = 12 B. 3 2 = 1 C. ( 2 3)3 = 8 9 D. 6 ÷ 2 = 3
5.函数 = 2 + 1 图象与 轴的交点个数是
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D.无法确定
6.一元二次方程(1 ) 2 2 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是( )
A. > 2 B. < 2 且 ≠ 1 C. < 2 D. > 2 且 ≠ 1
7 1 1.若 21, 2是方程 2 6 + 3 = 0 的两个根，则 + 的值为( )1 2
A. 2 B. 2 C. 1 92 D. 2
8.二次函数 = 2 + + 的图象如图所示，则一次函数 = + 的图象不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于实数 ， ， 下列说法正确的是( )
A.若 = ，则 + = + B.若 + = + ，则 =
C.若 = ，则 = D.若 = ，则 =
10.对于函数 = + ，当 > 0, > 0 时，它的图象经过( )
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A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
11.为了推动“成渝地区双城经济圈”的建设，某工厂为了推进产业协作“一条链”，自 2021 年 1 月开始
科学整改，其月利润 (万元)与月份 之间的变化如图所示，整改前是反比例函数图象的一部分，整改后是
一次函数图象的一部分，下列选项正确的有( )
A. 4 月份的利润为 50 万元
B.治污改造完成后每月利润比前一个月增加 30 万元
C.治污改造完成前后共有 4 个月的利润低于 100 万元
D. 9 月份该厂利润达到 200 万元
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.如图，已知一次函数 = + 3 和 = + 的图象交于点 (2,4)，则关于 的方程 + 3 = + 的解
是 ．
13.为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的
含药量 mg 与时间 min 成正比例，药物燃烧完后， 与 成反比例(如图. )现测得药物 8min 燃毕，此时室
内空气中每立方米的含药量为 6mg.研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于 3mg 才有效，那么此次消
毒的有效时间是 分钟．
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14.已知二次函数 = 2 ( 4) + 2 3，当 =___ __时，函数图象的顶点在 轴上，当
= 时，函数图象的顶点在 轴上；当 = 时，函数图象经过原点．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
(1)计算：( 2)2 + ( 3 π)0 + |1 2sin60°|；
2
(2) 1化简： ÷ (
2 1
)．
16.(本小题 15 分)
求解下列一元二次方程：
(1) 2 + 2 + 1 = 0
(2) 2 + 2 15 = 0
(3)6 2 7 + 2 = 0
17.(本小题 15 分)
解下列方程(不等式)组，
3 + 4 = 2
(1) 2 = 5；
5 1 > 3( + 1)
(2) 1 3 ，并把不等式的解在数轴上表示出来．
2 1 ≤ 7 2
18.(本小题 17 分)
已知关于 的一元二次方程 2 + (4 + 1) + 2 1 = 0．
(1)求证：不论 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2) 1 1 1若方程两根为 1， 2且满足 + = ，求 的值．1 2 2
19.(本小题 17 分)
服装厂批发某种服装，每件成本为 65 元，规定不低于 10 件可以批发，其批发价 (元/件)与批发数量 (件)(
为正整数)之间所满足的函数关系如图所示．
(1)求 与 之间所满足的函数关系式，并写出 的取值范围；
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(2)设服装厂所获利润为 (元)，若 10 ≤ ≤ 50( 为正整数)，求批发该种服装多少件时，服装厂获得利润
最大？最大利润是多少元？
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参考答案
1.
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11.
12. = 2
13.12
14.4 2 3； 或 14； 2/1.5
15.(1)( 2)2 + ( 3 π)0 + |1 2sin60°|
3
= 4 + 1 + 1 2 × 2
= 5 + 1 3
= 5 + 3 1
= 4 + 3;
2 1 2 1 ( + 1)( 1) ( 1)2 ( + 1)( 1) + 1
(2) ÷ ( ) = ÷ = 2 = 1 .( 1)
16.(1)由 2 + 2 + 1 = 0 ( + 1)2 = 0 = 1．
(2)由 2 + 2 15 = 0 ( + 5)( 3) = 0 = 5 或 = 3．
(3)由 6 2 7 + 2 = 0 (3 2)(2 1) = 0 = 1 22或 = 3．
17. 3 + 4 = 2①(1) ,
2 = 5②
① +② × 4，得：11 = 22，解得 = 2，
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将 = 2 代入①得：6 + 4 = 2，解得 = 1，
= 2
所以方程组的解为 = 1；
(2)由 5 1 > 3( + 1)得： > 2，
1 3
由2 1 ≤ 7 2 得： ≤ 4，
则不等式组的解集为 2 < ≤ 4，
将解集表示在数轴上如下：
18.(1)证明： = (4 + 1)2 4(2 1) = 16 2 + 5 > 0，
所以方程总有两个不相等的实数根．
(2)因为 1 + 2 = (4 + 1)， 1 2 = 2 1，
1 1 1+ 2 (4 +1) 1 1
+ = = 2 1 = 2，所以 = 1 2 1 2 2
．
19.(1)当 10 ≤ ≤ 50, , ∈ N 时，设 与 的函数关系式为 = + ，
10 + = 100 = 0.5
50 + = 80，得 = 105 ,
∴当 10 ≤ ≤ 50, , ∈ N 时， 与 的函数关系式为 = 0.5 + 105，
当 > 50, , ∈ N 时， = 80，

与 的函数关系式为： = 0.5 + 105 10 ≤ ≤ 50, ∈ N80 > 50, ∈ N ；
(2)由题意可得，
= ( 0.5 + 105 65) = 0.5 2 + 40 = 0.5( 40)2 + 800, ∈ N ，
∴当 = 40 时， 取得最大值，此时 = 800， = 0.5 × 40 + 105 = 85，
答：批发该种服装 40 件时，服装厂获得利润最大，最大利润是 800 元．
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