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2.3.1圆的标准方程
学习目标
1.掌握圆的定义及标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程．
2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程．
3.会判断点和圆的位置关系．
重难点
重点：圆的标准方程的求法，会判断点和圆的位置关系
难点：圆的标准方程的应用
思考：如图所示，设平面直角坐标系中的 的圆心坐标为 ，而且半径为 2 ．（1）判断点 是否在 上；
（2）设 是平面直角坐标系中任意一点，那么 在 上的充要条件是什么？此时 要满足什么关系式？
根据圆的定义可知，一个点在 上的充要条件是这个点到圆心 的距离等于半径．因为 ，所以可知点 在 上．
同样， 在 上的充要条件是 ，由两点间的距离公式有 ，因此 要满足
一般地，如果平面直角坐标系中 的圆心为 ，半径为 ，设 为平面直角坐标系中任意一点，则点 在 上的充要条件是 ，即 ，两边平方，得 ①
上述充要条件表明， 上任意一点 的坐标 满足方程 ①；如果平面上一点 的坐标 满足方程 ①，可得 ，则点 在 上．因此方程 ① 能表示以点 为圆心， 为半径的圆， ① 式通常称为圆的标准方程．
为了方便起见，同直线中的情形一样，我们称圆 时，指的是方程为 的圆．
知识梳理
1.圆的几何要素：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的 . 其中定点是 ，定长是圆的 .
2.圆的标准方程：方程称为圆心为 ，半径为 的圆的标准方程.
3.点在圆内还是圆外的判断方法：如果圆C的圆心为，半径为r（r > 0），则点在圆C外的充要条件是 ，点在圆C内的充要条件是 .
四、例题讲解
例 1 根据下列条件，求圆的标准方程：
（1）圆心在点 ，且过点 ；
（2）过点 和点 ，半径为 ．
例 2 如图所示，设 的圆心 在直线 上，且 都是 上的点，求圆的标准方程．
例 3 赵州桥位于我国河北省，是我国现存最早、保存最好的巨大石拱桥．如图所示，赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，利用解析几何的方法，用赵州桥的跨度 和圆拱高 表示出赵州桥圆弧所在圆的半径．
五、课堂练习
1.圆心为，半径的圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
2.已知圆M的方程为，则圆心M的坐标是( )
A. B. C. D.
3.圆的圆心坐标和半径分别为( )
A.，2 B.， C.，2 D.，2
4.圆的圆心和半径分别是( )
A. B. C. D.
5.圆的圆心坐标为( )
A. B. C. D.
6.圆的半径长等于( )
A.2 B. C. D.1
7.已知一个圆的标准方程为，则此圆的圆心与半径分别为( )
A.，4 B.， C.，4 D.，
8.以为圆心，4为半径的圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
9.已知，，则以AB为直径的圆的方程是________.
10.若点在圆的内部，则a 的取值范围是__________.
六、课后练习
1.以，为直径的两个端点的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
2.已知点，，则以为直径的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
3.圆的圆心到直线的距离为( )
A.1 B.2 C. D.
4.点与圆的位置关系为( )
A.点在圆外 B.点在圆内 C.点在圆上 D.与m的值有关
5.若点在圆的外部，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.（多选）下列说法错误的是( )
A.圆的圆心为，半径为5
B.圆的圆心为，半径为
C.圆的圆心为，半径为
D.圆的圆心为，半径为
7.（多选）以直线与两坐标轴的一个交点为圆心，且过另一个交点的圆的方程可能为( )
A. B. C. D.
8.经过两点和，且圆心在x轴上的圆的方程为______.
9.点在圆的内部，则a的取值范围是___________.
10.直线与x轴、y轴分别交于点A，B，则以线段AB为直径的圆的方程为_________.
答案及解析
三、知识梳理
1.集合 圆心 半径
2. r
3.
四、例题讲解
例题1
解：（1）所求圆的半径 又因为圆心为 ，所以所求圆的方程为 .
（2）设圆心坐标为 ，则圆的方程为 ．因为 是圆上的点，所以 ，解得
因此，所求圆的方程为
例题2
解：（方法一）设所求圆的方程为 ，由题意得 解得 3，，．因此所求圆的方程为 .
解：（方法二）设线段 的垂直平分线为 ，则 既在直线 上，又在直线 上，所以 是直线 与 的交点．因为直线 的斜率为 ，所以 的斜率为 1；又因为 中点的横坐标和纵坐标分别为 ，所以直线 的方程为 ，即 ．解方程组 ，得 ．因此，圆心 的坐标为 ，又圆的半径为
从而所求圆的方程是
例题3：
解：作出示意图如图所示，其中 表示跨度， 为 中点， 为圆拱高．以 为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，根据已知条件有 ．可以看出，圆弧所在圆的圆心在 轴的负半轴上，因此可设圆心的坐标为 ，半径为 ，则因为 都在圆上，所以 由此可解得 ．
五、课堂练习
1.答案：B
解析：根据题意，圆心为，半径
圆的标准方程为;
故选：B.
2.答案：A
解析：的圆心坐标为；
的圆心坐标为；
故选：A.
3.答案：D
解析：根据圆的标准方程，
即可得圆心坐标为，半径为.
故选：D.
4.答案：C
解析：由圆的标准方程，得圆心为，半径为.
故选：C
5.答案：C
解析：根据圆的标准方程 ，
容易知其圆心坐标为.
故选：C.
6.答案：D
解析：圆，故半径长为1.
故选：D.
7.答案：D
解析：由圆的标准方程可得，圆心坐标为，半径为，
故选：D.
8.答案：B
解析：因为圆心坐标为，所以所求圆的标准方程为.
故选：B.
9.答案：
解析：依题意，以AB为直径的圆的圆心为，半径，
所以以AB为直径的圆的方程是.
故答案为：.
10.答案：
解析：由题意，解之得：.
故答案为：.
六、课后练习
1.答案：D
解析：易知该圆圆心为，的中点，
半径，
所以该圆方程为：.
故选：D.
2.答案：D
解析：因为，，
线段的中点为，，
所以以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径，
所以线段为直径的圆的方程为.
故选：D.
3.答案：D
解析：的圆心为，
则由点到直线距离公式可得：.
故选：D.
4.答案：A
解析：，点在圆外，故选A.
5.答案：C
解析：由题意可知，解得或，则实数a的取值范围是，故选C.
6.答案：ABD
解析：圆的圆心为，半径为，A错误；圆的圆心为，半径为，B错误，C正确；圆的圆心为，半径为，D错误，故选ABD.
7.答案：AD
解析：令，得.令，得.设直线与两坐标轴的交点分别为，，则.易得以A为圆心，且过点B的圆的方程为.以B为圆心，且过点A的圆的方程为.故选AD.
8.答案：
解析：设圆心为，
由两点的距离公式，得，，
两点，在圆上，
，得，
解之得，可得圆心，半径，
因此可得所求圆的方程为.
故答案为：.
9.答案：
解析：因为点在圆的内部，
，即，
解得：.
故答案为：.
10.答案：
解析：直线与x轴、y轴的交点分别为，，
则线段AB的中点坐标为，，
所以以线段AB为直径的圆的方程为.
故答案为：.

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