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2.3.2圆的一般方程
学习目标
1.掌握圆的一般方程及其特点．
2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程．
二、重难点
重点：圆的一般方程的求法和圆的一般方程与圆的标准方程互化
难点：了解二元二次方程、圆的标准方程和圆的一般方程之间的关系，二元二次方程表示圆的条件
三、知识梳理
1.一般地，圆的标准方程 可以化为
在这个方程中，如果令 ，则这个方程可以表示成 ① 的形式，其中 都是常数．形如 ① 式的圆的方程称为圆的一般方程．
圆的标准方程明确指出了圆的圆心坐标与半径，而圆的一般方程表明了圆的方程形式上的特点．要给出圆的标准方程，需要确定圆心坐标和半径；而要给出圆的一般方程，则需要确定一般方程中的 ．
2.圆的一般方程：方程表示以 为圆心，为半径的圆. 当 时，方程表示一个圆.
四、例题讲解
例 1 已知 是 上的三点，求这个圆的方程．
归纳：
一般地，
因此，（1）当 时，方程是以为圆心，
为半径的圆的方程；
（2）当 时，满足方程的实数只有，，
所以原方程不是圆的方程；
（3）当 时，方程没有实数解，因而原方程也不是
圆的方程.
例 2 判断下列方程是否是圆的方程，如果是，写出圆的圆心坐标与半径；如果不是，说明理由：
（1）；
（2）；
（3）．
五、课堂练习
1.已知圆的方程为：，则圆心坐标为( )
A. B. C. D.
2.圆的圆心坐标是( )
A. B. C. D.
3.方程表示圆，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.若方程表示圆，则a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
5.已知圆的方程圆心坐标为，则它的半径为( )
A.3 B. C.5 D.4
6.圆的圆心到直线的距离为1，则( )
A. B. C. D.2
7.方程表示( )
A.一个点 B.一条直线 C.一个圆 D.不存在
8.若直线l经过圆的圆心，且倾斜角为，则直线l的方程为( )
A. B. C. D.
9.已知圆，它的半径是___________.
10.过点，且圆心与已知圆相同的圆的一般方程为______.
六、课后练习
1.圆的圆心到直线的距离是( )
A. B. C.1 D.
2.圆的圆心坐标和半径分别为( )
A.和4 B.和4 C.和 D.和
3.“”是“方程是圆的方程”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.下列方程表示圆的是( )
A. B.
C. D.
5.圆的圆心到直线的距离为( )
A. B. C.1 D.2
6.（多选）已知方程表示圆，则a的值可能为( )
A.-2 B.0 C.1 D.3
7.（多选）下列方程能够表示圆的是( )
A. B. C. D.
8.已知圆，则该圆的圆心坐标为_____________.
9.已知圆C的方程为，则圆C的半径为_______.
10.以和为直径两端点的圆的一般方程为____________.
答案及解析
三、知识梳理
2.
四、例题讲解
例题1
解：设所求圆的方程为 ，因为 都是圆上的点，所以它们的坐标都是方程的解，因此可得
解方程组可得 ，，．因此所求圆的方程为 ．
例题2
解：（1）原方程可以化为 ，即 ，所以是圆心坐标为 ，半径为 5 的圆的方程．
（2）方程两边除以 4，得 ．将左边配方，得
所以是圆心坐标为 ，半径为 的圆的方程．
（3）因为原方程可以化为 ，即
又因为满足上述方程的实数 不存在，所以原方程不是圆的方程．
五、课堂练习
1.答案：D
解析：易知圆方程可化为，
因此圆心坐标为.
故选：D.
2.答案：D
解析：圆，即，
所以圆心为.
故选：D
3.答案：A
解析：方程，即为，
若它表示圆，需满足，故.
故选：A.
4.答案：C
解析：依题意，
即，
解得或，
所以a的取值范围是，
故选：C
5.答案：D
解析：由题得，.所以圆的半径为
故答案为：D
6.答案：A
解析：由配方得，所以圆心为，
因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，
解得，
故选：A.
7.答案：A
解析：方程变形得，表示点.
8.答案：B
解析：整理圆的方程可得：，圆心，
倾斜角为，其斜率，
方程为：，即.
故选：B.
9.答案：3
解析：由，则半径为
故答案为：3.
10.答案：
解析：将圆C的方程化为标准方程得，
则圆心C的坐标为，
故所求圆的半径，
所以所求圆的方程为，
即.
故答案为：.
六、课后练习
1.答案：D
解析：圆转换为，
故圆心的坐标为，半径为2;
故圆心到直线的距离.
故选：D
2.答案：C
解析：可化为，
由圆心为，半径，
易知圆心的坐标为，半径为.
故选：C.
3.答案：A
解析：若方程是圆的方 程，
则 ，解得 或 ，
故 " " 是 “方程 是圆的方
程"的充分不必要条件.
故选： A.
4.答案：D
解析：A选项，方程中有xy项，该方程不能表示圆，故A不符合题意；B选项，方程，，该方程不能表示圆，故B不符合题意；C选项，方程，，该方程不能表示圆，故C不符合题意；D选项，方程，，该方程可以表示圆.故选D.
5.答案：B
解析：圆的圆心为，
到直线的距离为.
故选：B.
6.答案：AB
解析：方程表示圆，
故选：AB.
7.答案：AC
解析：对于A，表示圆心为，半径为1的圆，A正确；
对于B，不符合圆的方程，B错误；
对于C，由得：，
则其表示圆心为，半径为的圆，C正确；
对于D，含项，不符合圆的方程，D错误.
故选：AC.
8.答案：
解析：本题主要考查圆与方程.将题中圆的方程化为标准形式，可得，圆心为.故本题正确答案为.
9.答案：
解析：由
可得，
所以半径为，
故答案为：
10.答案：
解析：由题意，得圆心为线段的中点.又，所以半径为，则圆的标准方程为，化为一般方程为.

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