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2025--2026学年第一学期高三数学《集合与常用逻辑用语》检测卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．已知集合，，则集合的真子集个数为（ ）
A．64 B．63 C．6 D．65
2．已知命题，，命题，，则（ ）
A．和均为真命题 B．和均为真命题
C．和均为真命题 D．和均为真命题
3．已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知实数a，b，c，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（ ）
A． B． C． D．
7．已知集合，集合，则的子集个数为（ ）
A．8 B．3 C．2 D．1
8．给定数集M，若对于任意，都有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法正确的是（ ）
A．自然数集是闭集合
B．无理数集是闭集合
C．集合为闭集合
D．若集合，为闭集合，则也为闭集合
二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求）
9．设集合，，，，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列叙述中正确的是（ ）
A．若，则；
B．若，则；
C．已知，则“”是“”的必要不充分条件；
D．命题“”是真命题.
11．下列有关命题的叙述：其中正确的是（ ）
A．若为假命题，则为真命题
B．空集是任何集合的真子集
C．命题：，则
D．命题：“”是“”的充要条件
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12．设，若集合，则 ．
13．已知集合，，其中为实常数．若，则实数的取值范围是
14．已知是的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．(本小题13分）已知，.
(1)若，，有且只有一个为真，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
16．(本小题15分）设，，
(1)，求的值；
(2)若非空，且，求的值；
(3)，求的值．
17．(本小题15分）设全集U=R,已知集合，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
18．(本小题17分）（1）已知或.若或， ，求的取值范围.
（2）若， ，求的取值范围.
19．(本小题17分）已知集合
(1)若，求实数的取值范围；
(2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C B B A C C ABC BC
题号 11
答案 AC
9．ACD
【分析】分别求出集合，再利用集合之间的关系判断即可.
【详解】由题意得，，
，，我们先化简集合，集合可化为，
所以，故A正确，而点在直线上，
则成立，故C正确，因为是数集，
是点集，二者一定无交集，故成立，故D正确，
因为是数集，是点集，
二者一定无交集，故不成立，故B错误.故选：ACD
10．BC
【分析】A选项，根据交集和子集概念得到；B选项，根据得到；C选项，举出反例得到充分性不成立，再作差法得到必要性成立，得到结论；D选项，举出反例得到D错误.
【详解】A选项，若，则，A错误；
B选项，，又，则，B正确；
C选项，已知，若，满足，但，充分性不成立，
当时，，故，
故，必要性成立，
则“”是“”的必要不充分条件，C正确；
D选项，当时，，故命题“”是假命题，D错误.
故选：BC
11．AC
【分析】由命题及其否定真假相反可判断A，由空集的概念可判断B，由特称命题的否定为全称命题可判断C，通过可得判断D;
【详解】对于A，由命题及其否定一定一真一件可知，故正确；
对于B：空集不是空集的真子集，故错误；
对于C：，则，故正确；
对于D，若，时，则不成立，故错误；
故选：AC
12．0
【分析】根据两集合的元素相同求出，进而可得答案.
【详解】由易知，，由两个集合相等定义可知：
若，得，经验证，符合题意；
若，由于，则方程组无解.
综上可知，，，所以．
故答案为：
13．
【分析】分类讨论以确定集合是否是空集，再根据从而解得的取值范围．
【详解】当时，集合满足；
当时，要使得，则需满足，即满足此种情况的的取值范围为；综上，当时，实数的取值范围为．故答案为：
14．
【分析】根据得或，结合充分不必要条件列不等式求参数范围.
【详解】由，得或，
又是的充分不必要条件，所以，解得.
故答案为：
15．(1)或
(2)
【分析】（1）分别求解不等式，再根据，的真假，分类讨论，即可求得答案；
（2）根据是的充分不必要条件，列出相应不等式组，即可求得答案.
【详解】（1）由，得；
当时，由，得.
若，有且只有一个为真命题，则真假，或假真，
当真假时，或，得；
当假真时，或，解得，
综上，实数的取值范围为或.
（2）由，得.
因为是的充分不必要条件，则，且等号不同时成立，解得，
所以实数的取值范围为.
16．(1)
(2)
(3)
【分析】先通过解二次方程化简集合．
（1）根据，利用二次方程根与系数的关系列出方程求出的值．
（2）根据非空，且，，将3代入二次方程求出，注意要验证是否满足题意．
（3）由，将2代入二次方程求出，注意要验证是否满足题意．
【详解】（1）∵，，
∴．∴2和3是方程的两个根，∴，∴．
（2），∵非空且，
∴与有公共元素而与无公共元素，
∴，∴，解得，或．
当时，满足题意；
当时，此时不满足题意，∴.
（3）∵，∴，∴，解得．
当时，满足题意；当时，不满足题意，故．
17．(1)或
(2)
【分析】（1）由补集及并集运算即可求解；
（2）由和两类情况讨论，列出不等式求解即可.
【详解】（1）或.或.
（2）由，则①当时，由，解得；
②当时，或解得或．
综上，实数的取值范围为．
18．（1）或（2）
【分析】根据集合的包含关系，建立不等式即可解出结果.
【详解】（1） 即的范围小于的范围.
当，即时，，满足 ；
当，即时，要使 ，由图1得，
①②等号不同时成立，解得.

综上所述，的取值范围为或.
（2）B A即的范围小于的范围.要使B A，优先考虑是否为空集.
当，即时，，满足B A；
当，即时，要使B A，由图2得或，
解得.又因为，所以.
综上所述，的取值范围为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）由推出，对集合是否为分类讨论，求解即得；
（2）由是成立的必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组，求解即得.
【详解】（1）由，可得，
因为，
当时，，解得，符合题意；
当时，则，解得，综上，.
故实数的取值范围为．
（2）由题意可得，是的充分不必要条件，故是的真子集，
又，，则，解得，
故实数的取值范围是．

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