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吉林省长春市北湖学校2025-2026学年上学期八年级开学考数学试卷
一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则下列等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图是一枚2025年发行的正十二边形纪念币（每个内角相等），则该正十二边形的每个内角为（ ）
A．150° B．145° C．140° D．135°
4．如图，为估计池塘两岸A，B两点之间的距离，在池塘的一侧选取一点O，测得，，则A，B两点间的距离可能是（　　）
A．5 B．10 C．16 D．17
5．下列方程中与的解相同的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，一条笔直的河L，牧马人从P地出发,到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，平分，点A，B是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点C，交于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线，交于点P．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，的面积为为边上的中线，点是线段的五等分点，点、、是线段的四等分点，点是线段的中点，则四边形的面积为（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
二、填空题
9．命题“若则”是 ．（填“真命题”或“假命题”）
10．平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在上面就可以很方便地使用了，这是利用了三角形的 ．
11．如图，在和中，，添加一个条件： ，使得．
12．若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为 ．
13．如图，在中，，，于，于，那么 ．
14．如图，在四边形中，，，于点，点、分别在、上，若，，有下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中结论正确的为 ．（填序号）
三、解答题
15．解方程
(1)
(2)
16．（1）解不等式，并把解集表示在所给的数轴上：．
（2）求不等式组的整数解．
17．一个正多边形的每个内角都是相邻外角的3倍，求这个正多边形的边数．
18．某工厂的产值连续增长，2022年是2021年的1.5倍，2023年是2022年的2倍，这三年的总产值为550万元．2021年的产值是多少万元？
19．已知，在中，，点D为的中点，，且．求证：是等边三角形．
20．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，点也在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
(1)平移，使点移动到点位置，画出平移后的；
(2)画出关于点对称的；
(3)的面积为______．
21．如图所示，PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C，且PB＝PC，D是AP上一点．
求证：∠BDP＝∠CDP.

22．为了支持贫困地区发展，某企业需运输一批扶贫物资．据调查得知，2辆大货车与4辆小货车一次可以运输1000箱物资；5辆大货车与2辆小货车一次可以运输1300箱物资．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次分别可以运输多少箱物资？
（2）该企业计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用500元，每辆小货车一次需费用300元，若一次运输物资不少于2200箱，且总费用小于5600元，请你列出所有运输方案，并指出哪种运输方案所需总费用最少，最少总费用是多少？
23．【问题初探】（1）在数学社团活动中，李老师给同学们出了这样一道题：
如图1，在中，高交于点F，且，试说明有怎样的数量关系．小明经过思考，说出了他的方法：根据已知条件，易证，从而得出．小明证明的依据可能是______（填序号）．
① ② ③ ④
【引导发现】（2）老师看同学们的兴致很高，又出了一道题：如图2，在中，，，平分，垂足E在的延长线上．
①_______°；
②判断线段与的数量关系，并写出证明过程．
24．如图，在长方形中，，，，点P以的速度从点A出发，沿运动，同时点Q以的速度从点A出发，沿运动，当P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为．
(1)当点P在运动的过程中，________； ________；（用含的代数式表示）
(2)当时，的面积=_________；
(3)当是以为底的等腰三角形时，求t的值及此时的面积；
(4)当点P在边或边上运动时，作点P关于点B的中心对称点，直接写出的面积是面积的时的值．
参考答案
1．C
解：．是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
． 是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
．是中心对称图形也是轴对称图形，故该选项符合题意；
．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
故选：C．
2．D
解：、如果，那么，原选项正确，不符合题意；
、如果，那么，原选项正确，不符合题意；
、如果，那么，原选项正确，不符合题意；
、如果，当时，无意义，原选项错误，符合题意；
故选：．
3．A
解：该正十二边形一个内角的大小为：,
故选：A．
4．B
解：根据三角形的三边关系定理得：
，
即：，
∴AB的值在6和16之间，
∴A、B间的距离可能是10．
故选：B．
5．A
解：由方程得：，
A、把代入方程得：，左边右边，故本选项正确；
B、把代入方程得：，左边右边，故本选项错误；
C、把代入方程得：，左边右边，故本选项错误；
D、把代入方程得：，左边右边，故本选项错误．
故选：A．
6．D
【详解】作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M．
如图，
根据两点之间，线段最短，可知选项B使牧马人所走路径最短．
故选D．
7．D
解：由作图过程可知，为的平分线，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
故选：D．
8．B
解：连接、、、、，
∵的面积为，为边上的中线，
∴，
∵点、、是线段的四等分点，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点、、是线段的四等分点，
∴，
∴，
∵点是线段的五等分点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点是线段的五等分点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积为，
故选：B；
9．假命题
解：命题“若则”是假命题，举例如下：
，
，
但，
满足，但是不满足，
命题“若则”是假命题．
故答案为：假命题．
10．稳定性
解：这是利用了三角形的稳定性，
故答案为：稳定性．
11．(答案不唯一)
解：由题意知：，，
添加，则；
添加，则；
添加，则．
故答案为：或或．
12．3
【详解】是关于x，y的二元一次方程的一组解，
，
解得，
故答案为：3．
13．/度
解；∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
14．①②③④
解：，，
，，
，
，
．
，
是等边三角形，故①正确；
是等边三角形，
，．
，
∴，
．
在和中，
，
∴，
，
，故②正确；
同理可得为等边三角形，
∴，
∴，
．
又，，
，故③正确；
，，，
．
，
，故④正确，
综上所述，正确的有①②③④，
故答案为：①②③④．
15．(1)
(2)
（1）解：，
去括号，得，
移项合并同类项，得；
（2）
，得，
解得，
将代入①，得，
解得．
∴这个方程组的解是．
16．（1），见解析；（2），0，1，2，3
【详解】（1）
，
将数集表示在数轴如下：
（2）
解：解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式的解集为，
满足条件的整数x的值是，0，1，2，3．
17．8
【详解】设多边形的每个外角的度数为，则内角为，
，
解得，
即这个多边形的数是：．
18．100万元
解： 设 2021 年产值为 万元，根据题意得，
，
解得， ，
答： 2021 年的产值为 100 万元．
19．见解析
【详解】证明：点D是中点，
．
在和中
，
，
，
，
，
是等边三角形．
20．(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)
（1）解：如图所示：
即为所求；
（2）解：如图所示：
即为所求；
（3）解：如图所示：
的面积为．
21．见解析
【详解】∵PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C，∴∠ABP=∠ACP=90°．
在Rt△ABP和Rt△ACP中，∵，∴Rt△ABP≌Rt△ACP（HL），∴∠APB=∠APC．
在△PBD与△PCD中，∵，∴△PBD≌△PCD（SAS），∴∠BDP=∠CDP．
22．（1）1辆大货车一次可运输200箱物资，1辆小货车一次可运输150箱物资；（2）方案①：大货车用8辆，小货车用4辆，方案②：大货车用9辆，小货车用3辆；方案①所需费用最少，最少费用是5200元
解：（1）设1辆大货车一次可运输x箱物资，1辆小货车一次可运输y箱物资，
根据题意，得：，
解得：．
因此，1辆大货车一次可运输200箱物资，1辆小货车一次可运输150箱物资．
（2）设该企业用大货车a辆，则小货车用辆，
根据题意，得：，
解得：．
因为a为正整数，所以或，共有两种运输方案，
即方案①：大货车用8辆，小货车用4辆，
所需费用为（元）；
方案②：大货车用9辆，小货车用3辆，
所需费用为（元）．
因此，方案①所需费用最少，最少费用是5200元．
23．（1）②；（2）①22.5；②，证明见解析．
【详解】（1）证明：∵，，
∴．
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
故答案为：②；
（2）①延长交延长线于F，

∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
②，证明如下：
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
24．(1)；
(2)
(3)t的值为；此时的面积为
(4)点P在上运动时，的面积是面积的时的值为，点P在上运动时，的面积是面积的时的值为
（1）解：∵点P以的速度从A点出发，沿运动，
∴，
∵，
∴．
故答案为：；．
（2）解：当时P运动的路程为：，
∵，
又∵，
∴此时点P在边上 ，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
（3）解：∵是以为底的等腰三角形
∴点P在边上，
过点P作交于点E，如图，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵长方形，
∴根据题意可得四边形是长方形，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
（4）解：分二种情况：①点P在上运动时，如图，
则，，，
∵点P与点关于点B的中心对称，
∴
∴，
，
∵的面积是面积的
∴，
即，
∵，
∴；
②点P在上运动时，如图，
则，，
∵点P与点关于点B的中心对称，
∴
∴，
，
∵的面积是面积的
∴
解得：；
∴点P在上运动时，的面积是面积的时的值为，点P在上运动时，的面积是面积的时的值为．

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