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华大新高考联盟2026届高三9月教学质量测评数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的学校 班级 姓名 准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置.
2.选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效.
3.非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内.答在试题卷上或答题卷指定区域外无效.
4.考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数，则的虚部为（ ）
A. 3 B. C. D.
2. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. 双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
4. 对武汉某高中高二年级学业水平合格性考试数学成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则该年级学生数学成绩的分位数的估计值是（ ）
A. 70 B. 80 C. 84 D. 85
5. 函数的图象的对称中心不可能是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数是周期为2的奇函数，且当时，，则的值为（ ）
A. B. 4 C. D. 2
7. 设圆的半径为为圆上的动点，且圆心到弦的距离为，则的最大值为（ ）
A. 3 B. 5 C. 6 D. 9
8. 若实数满足，则的大小关系不可能是（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图，是圆的直径，为圆上异于的任意一点，且平面，则（ ）
A.
B. 平面
C.
D. 和不是异面直线
10. 设抛物线焦点为，过点的直线与交于两点，在直线上的射影分别为，则（ ）
A. 以为直径的圆与直线相切
B. 是钝角
C. 的最小值是4
D. 若，则直线的斜率为
11. 已知分别为三个内角的对边，且，则（ ）
A. B.
C. D.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线在处的切线方程是__________.
13. 设正项等比数列的前项和为.若，则公比__________.
14. 袋中装有除颜色外均相同的4个红球 3个蓝球和2个绿球.现从袋中无放回地随机取球，每次取1个球，直到取到红球为止.设随机变量为取到红球时的次数，则的数学期望__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 为研究每天喝咖啡与失眠的关系，从某社区人群中随机调查了1000人，得到如下列联表（单位：人）：
喝咖啡对睡眠的影响结果 失眠 不失眠 合计
每天喝咖啡 120 380 500
不每天喝咖啡 80 420 500
合计 200 800 1000
（1）记每天喝咖啡人中患失眠的概率为，求的估计值；
（2）根据小概率值的独立性检验，分析每天喝咖啡是否与失眠有关.
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10828
16. 设数列的前项和为，，且，.
（1）求；
（2）求最小的正整数，使得.
17. （1）求方程在上的解的个数；
（2）求函数的最小值；
（3）求函数的值域.
18. 如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，为的中点，为的中点，且平面底面.设.
（1）求证：底面；
（2）设为的重心，.求证：是三棱锥外接球的球心；
（3）若平面与平面所成夹角的正弦值的平方等于，求的值.
19. 已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且点在抛物线C上.
（1）求抛物线的方程；
（2）求抛物线在点处切线的方程；
（3）设切线与交于两点，求面积的最大值.
华大新高考联盟2026届高三9月教学质量测评数学答案
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. A
解析：因为，
所以的虚部为3.
故选：A.
2. D
解析：因为.全集.
所以.
故选：D
3. B
解析：由题意可知，.故.
故选：B.
4. C
解析：前三个矩形的面积分别是，其和为0.6，而第4个矩形的面积是0.25，
计算得，
故分位数的估计值是.
故选：C.
5. C
解析：由函数，
令，解得，
∴函数的图象的对称中心为.
当时，；当时，；当时，；
∴图象的对称中心的横坐标可以为，，，无论k取何整数值，不等于，
故选：C.
6. A
解析：因为函数的周期为2，且为奇函数，
所以，
因为，
所以，
故选：A
7. C
解析：如图，直径，过作.垂足为，易知是等边三角形.
因为，
所以可看作在上的投影与的乘积.
所以由图可知当与重合时，在上的投影最大，所以最大为.
设为的中点，则，所以，
故的最大值为.
故选：C.
8. B
解析：设，则.
当时，，此时A成立.
当时，，此时成立.
当时，，此时，D成立.
(事实上，当时，显然；当时，显然，故B不可能成立.)
故选：B.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. BC
解析：对于A中，连接，因为平面，且平面，平面，
所以，则，
又因为与的大小不确定，所以与的大小关系不确定，所以A错误；
对于B中，由平面，平面，可得，
因为，且，平面，
所以平面，所以B正确；
对于C中，由B项知：平面，且平面，所以，所以C正确；
对于D中，因为平面，平面，且，
所以直线与是异面直线，所以D错误.
故选：BC.
10. ACD
解析：如图，假设点位于第一象限，根据抛物线的定义可，
设中点为，点在抛物线的准线上的射影为，
所以，
则以为直径的圆与准线相切，故A正确；
因为，
所以，
又因为，
所以，所以，故B错误；
设，由焦点弦公式可得，等号成立时，所以C正确；
因为，
所以，
过作，
所以，
所以或，故直线的斜率为，故D正确.
故选：ACD
11. BCD
解析：因为，则，所以，所以.
又，所以，即错误.
由正弦平方差公式可得，
由正弦定理可知.故B正确.
由上可知，
再结合余弦定理得，
因此，所以，故.C正确；
由正弦定理及和差化积公式可得，
因为，所以.D正确，
故选：BCD
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
解析：由题意知，故切线的斜率，而切点为，
故切线方程为.
故答案为：
13.
解析：，
则，
，
，
又.
故答案为：
14. 2
解析：依题意，的可能值为.
则，，
，，
，，
故.
故答案为：2
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. （1）根据列联表可知，每天喝咖啡者共500人，其中患失眠的人数为120人.
因此，的估计值为.
（2）零假设：每天喝咖啡与失眠独立（即无关）.
根据表中数据可得，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为每天喝咖啡与失眠有关联，该推断犯错误的概率不超过0.05.
16. （1）由题意，，
用累加法可得
利用等比数列求和公式得
而当时，，满足上式.
故，化简得
故
（2）因为，所以.
利用等比数列求和公式得 .
由于，因此随着的增大，也增大.
当时，.
当时，.
因此当时，.所以整数的最小值为，使得.
17.（1）或.
因为，所以的解为.
又因为在上只有1个解（即）.
所以原方程在上的解有3个.
（2）由题意可知，因为，
所以.
当且仅当，即时，函数取得最小值9.
（3）因式分解，得
令，则，且.
所以.
令，则，
所以在上单调递增.
所以，即.
因此，的值域是.
18. （1）因为平面底面，平面底面，且平面，
所以底面.
（2）因为为的中点，为的中点，且为的重心，由题意可得
，从而.
又，如图1所示，
∴.
即，
故.
因此，是三棱锥外接球的球心.
（3）以为坐标原点，所在方向为轴，过且垂直于底面的方向为轴，建立如图2所示的空间直角坐标系.
则.
设，则.
于是.
设平面和平面的法向量分别为，
则.
令，得；
令，得.
设平面与平面所成的夹角为，则由题意可得
.
所以，
.
整理得，即，
解得或.
当时，，得；
当时，，得.
综上，或.
19. （1）由题意可得抛物线的焦点为，
因为椭圆，则椭圆的一个焦点是，
所以有，解得.
故抛物线的方程为.
（2）由（1）知抛物线的方程为.
即，得，故抛物线在点处切线方程为
，即.
又因为，所以切线方程为.
（3）
设，令，则不为，
由（2）的结论可知，此时切线方程为，
联立，
消去，整理得，
则，
，
解得，
，
原点到直线的距离，
所以的面积.
令，则，
将，
得
，
令，易知其在区间上单调递增，所以，
于是
，
所以当时，，此时，.
故面积的最大值为.

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