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2025级新生暑期综合素质测试卷（数学）
试卷说明：
1．试卷分值：100分；建议时长：60分钟；
2．请将答案正确填写到相应的答题区域。
一、单选题（本题共6小题，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列说法正确的是（　　）
A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合
B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合
C．由不大于3的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3
D．数1，0，5，，，，组成的集合中有6个元素
2．当时，（　　）
A． B． C． D．
3．已知集合，，则满足条件的集合的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知，其中，为常数，则的值为（　　）
A．7 B．9 C．13 D．5
5．如图，在中，，于点，下列结论错误的有（　　）个
①图中只有两对相似三角形；
②；
③若，，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
6．已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有4个正整数，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共4小题，共20分）
7．因式分解：________．
8．用不等号“”或“”填空：
（1）若，则________；
（2）若，且，则________．
9．关于的不等式的解集为________．
10．如图，在中，，，圆与的三边相切于点，，，若圆的半径为，则的周长为________．
三、解答题（本题共3小题，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
11．（15分）解下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）．
12．（15分）已知关于的不等式（，）的解集为．
（1）求，的值；
（2）若，解关于的不等式．
13．（20分）已知集合，．
（1）当时，求；
（2）在①；②这两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若选______，求实数的取值范围．
2025级新生暑期综合素质测试卷（数学）
试卷说明：
1．试卷分值：100分；建议时长：60分钟；
2．请将答案正确填写到相应的答题区域。
一、单选题（本题共6小题，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列说法正确的是（　　）
A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合
B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合
C．由不大于3的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3
D．数1，0，5，，，，组成的集合中有6个元素
【答案】A
【解析】对于A，满足集合的含义，可以组成一个集合，故A正确；
对于B，“很喜欢”条件不明确，不满足元素的确定性，所以不能组成一个集合，故B错误；
对于C，不大于3的自然数组成的集合的所有元素为0，1，2，3，故C错误；
对于D，由于元素的互异性，数1，0，5，，，，组成的集合中有5元素，分别为1，0，5，，，故D错误；
故选A．
2．当时，（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，且，所以，解得，
所以，故选C．
3．已知集合，，则满足条件的集合的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】；；
故满足条件的集合为，，，，共有4个，故选D．
4．已知，其中，为常数，则的值为（　　）
A．7 B．9 C．13 D．5
【答案】C
【解析】∵，
且，
∴，
即，解得：，，
∴．
故选C．
5．如图，在中，，于点，下列结论错误的有（　　）个
①图中只有两对相似三角形；
②；
③若，，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】A
【解析】由图可得，故①错误；
由，得，故②正确；
由射影定理得，，解得，
在中，，故③正确；
故选A．
6．已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有4个正整数，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，得，
因为关于的一元二次不等式的解集中有且仅有4个正整数，
所以，不等式的解为，且，
故选D．
二、填空题（本题共4小题，共20分）
7．因式分解：________．
【答案】．
【解析】
．
8．用不等号“”或“”填空：
（1）若，则________；
（2）若，且，则________．
【答案】
【解析】（1）因为，所以．因为，所以；
（2）因为，所以．因为，所以.
所以．
9．关于的不等式的解集为________．
【答案】或．
【解析】，所以，
所以或，解得或．
10．如图，在中，，，圆与的三边相切于点，，，若圆的半径为，则的周长为________．
【答案】30
【解析】连接，，，设，易得，
由圆与的三边相切于点，，，可知，，
所以四边形为正方形，
因为圆的半径为，，所以，，
在中，，即，解得，
所以的周长为．
三、解答题（本题共3小题，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
11．（15分）解下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）或；（2）或；（3）．
【解析】（1）由，可得，解得或；
（2）由，移项通分后可得，即，解得或；
（3）∵，
∴原不等式等价于，即，解得．
12．（15分）已知关于的不等式（，）的解集为．
（1）求，的值；
（2）若，解关于的不等式．
【答案】（1），；（2）答案见解析．
【解析】（1）因为关于的不等式（，）的解集为，
所以方程的两根分别为，，
由韦达定理得，，，解得，；
（2）由（1）得关于的不等式，即，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
13．（20分）已知集合，．
（1）当时，求；
（2）在①；②这两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若选______，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）答案见解析．
【解析】（1）当时，，，
所以；
（2）选择①：因为，所以．
因为，所以．
因为，所以，解得，
所以实数的取值范围是．
选择②：因为，，且，，
所以或，解得或，
所以实数的取值范围是或．
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