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八年级数学
一．选择题（共10小题，每题3分）
1．在实数3.14，，，中，属于无理数的是（　　）
A．3.14 B． C． D．
2．如果a＜b，那么下列不等式正确的是（　　）
A．﹣2+a＜﹣2+b B．﹣2a＜﹣2b C． D．a2＞b2
3．已知是二元一次方程2x+ay＝4的一个解，则a的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．0 D．
4．已知点P（a+2，a﹣1）在平面直角坐标系的第四象限内，则a的取值范围在数轴上可表示为（阴影部分）（　　）
A． B．
C． D．
5．三角形三条边大小之间存在一定的关系，以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　）
A．2，3，5 B．5，6，10 C．1，1，3 D．3，4，9
6．若点M（3，﹣2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且MN＝1，则N点的坐标为（　　）
A．（4，﹣2） B．（3，﹣1）或（3，﹣3）
C．（3，﹣1） D．（4，﹣2）或（2，﹣2）
7．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，若△ABC的面积为12cm2，则△CDE的面积为（　　）
A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
8．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且∠B＝50°，∠E＝30°，CE交BA的延长线于点E，则∠BAC的度数是（　　）
A．60° B．90° C．110° D．130°
9．如图，AB与CD相交于点O，AC∥BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是（　　）
A．∠A＝∠D B．AO＝BO C．AC＝BO D．AB＝CD
10．如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值，其中结论正确的有（　　）
A．①④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
二．填空题（共5小题，每题3分）
11．比较大小：3 　　 （填写“＜”或“＞”）．
12．如图AB∥CD，AE交DF于点C，∠ECF＝134°，则∠A＝　　 ．
13．如图，已知△ABC≌△ADC，若∠BAC＝60°，∠ACD＝23°，则∠D＝ 　　 ．
14．如图，△ABC中，AD、AE分别为角平分线和高，∠B＝46°，∠C＝64°，则∠DAE＝　　 ．
15．在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D是AC边上一点，过点D将△ABC折叠，使点C落在BC下方的点C′处，折痕DE与BC交于点E，当AB与∠C′的一边平行时，∠DEC′的度数为 　　 ．
三．解答题（共8小题）
16．（10分）（1）；（2）解不等式组．并把解析在数轴上表示出来．
17．（9分）“四体不勤，五谷不分”出自《论语 微子》，这个成语用来形容一些不参与劳动实践、脱离实际的人．为了更加扎实、有效地开展劳动教育，落实“五育并举”，某校倡议学生在家帮助父母做一些力所能及的家务．校学生会随机抽取该校部分学生进行问卷调查．现得到如下信息：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）这次抽样调查的学生人数是　　 ，D对应的扇形圆心角的度数是　　 ；
（2）请根据题中已有的信息补全频数分布直方图；
（3）该校有1950名学生，根据抽样调查结果，请你估计该校平均每周做家务的时间不少于3小时的学生．
18．（9分）在平面直角坐标系中，点P（a，b），Q（c，d）给出如下定义：对于实数k（k≠0），我们称点M（ka+kc，kb+kd）为P，Q两点的“k”系和点．例如，点P（3，4），Q（1，﹣2），则点P，Q的“”系和点的坐标为：（2，1），如图，已知点A（4，﹣1），B（﹣2，﹣1）．
（1）直接写出点A，B的“2”系和点坐标为 　　 ；
（2）若点A为B，C的“﹣3”系和点求点C的坐标；
（3）若点D为A，B的“k”系和点，三角形ABD的面积为6，则符合条件的k的值为 　　 ．
19．（9分）根据素材，完成下面的任务．
文化赋能乡村振兴，某县以文明实践引领乡村治理，在群众聚集地打造文化墙，以文化人、以文惠民、以文兴城，该县现欲购买A、B两种绘画工具用于打造文化手绘墙．
素材一 了解商店在无促销活动时，若买15个A种工具、10个B种工具，共需230元；若买25个A种工具、25个B种工具，共需450元．
素材二 若该商店开展甲、乙两种促销方案： 甲方案：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知采购员在此之前不是该商店的会员）； 乙方案：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售．
（1）该商店在无促销活动时，求A钟工具和B种工具的销售单价各是多少元？
（2）采购员计划在促销期间购买A、B两种工具共40个，其中A种工具m个，求m在什么范围内时，采用甲方案购买更合算？
20．（9分）如图，在△ABC中，∠BAC＝58°，∠C＝72°，AD是高，BE是角平分线，它们相交于点F．
（1）求∠DAC的度数．
（2）求∠AFB的度数．
21．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABD＝∠CAE，A，D，E三点在同一条直线上，且BD＝AE．
（1）求证：△BAD≌△ACE；
（2）当∠ADB＝ 　　 °时，BD∥CE？请说明理由．
22．（10分）项目式学习活动主题：估算AO纸的长与宽．
【知识储备】
（1）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为 　　 ．
一般结论：正方形的对角线与边长的比是 　　 ．
【项目素材】如图2，按照国际标准，A系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1m2，将A0纸沿长边对折、裁开，便成两张A1纸；将A1纸沿长边对折、裁开，便成两张A2纸；将A2纸沿长边对折、裁开，便成两张A3纸；…，将An纸沿长边对折、裁开，便成两张A（n+1）纸．
【任务探究】
（2）任务一：A1纸面积是A2纸面积的 　　 倍，A2纸周长是A4纸周长的 　　 倍．
（3）任务二：将一张A4纸按如图3所示进行两次折叠（折痕分别是AB和AE），观察发现点B恰好和点C重合，求A4纸的长与宽之比．
（4）任务三：根据上述结论，估算A0纸的长和宽分别是多少毫米（结果取整数）．
（参考数据：≈1.4142，≈1.1892，≈0.7071，≈0.8409，≈1189.2，≈840.9，×840.9≈1189.2，×1189.2≈1681.8）
23．（10分）已知∠AOB＝90°，直线CD与OA交于点C，与OB交于点D，点C，D均不与点O重合，CE平分∠DCO，DE平分∠CDO．
（1）如图1，当∠OCD＝40°时，∠CED的度数为　　 ；
（2）如图2，延长CE与BO交于点F，过E作射线EG与CD交于点G，且满足∠CFO﹣∠GED＝45°．求证：GE∥DO；
（3）如图3，过点C作CM⊥CN，MN是∠COD的外角平分线所在直线，与射线CE交于点N，与CM交于点M．在△CMN中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请求出∠CDE的度数．八年级数学
进释恩（共10小愿，每题3分）
1.在实数3，-2,4,8中，属于无理数的是(
A.314
B.-V2
c.√4
D.8
之.如果A,-2+a<-2+b
B.-2a<-26
c号>
D.
.已知x=1是二元一次方程2ay=4的一个解，则a的值为(
y=4
A.2
B.-2
C.0
D.
2
4,己知点P(2,a~1)在平面直角坐标系的第四象限内，则a的取值范围在数轴上可表示为(
310B.310下
63103101
5.三角形三条边大小之间存在一定的关系，以下列各组线段为边，能组成三角形的是()
A.2,3,5
B.5,6,10
C.1,1,3
D.3,4,9
6.若点M(3,-2)与点N(x,y)在同一条平行于x轴的直线上，且N=1,则N点的坐标为(
A.(4,-2)B.(3,-1)或(3，-3)C.(3,-1)D.(4,-2)或(2，-2)
7.如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，若△ABC的面积为12C,则△CDE的面积为(
A.3cm
B.4cmi
C.6cai
D.8cm
(1)
(8)
(9】
(10)
8.如图，CE是△BC的外角∠ACD的平分线，且∠B=50°，∠E=30°，GE交刷的延长线于点E
则∠BAC的度数是()
A.60°
B.90
C.110
D.130
g.如图，B与CD相交于点a4C/BD,只添加-个条件，能判定△A0C≌△B00的是()
A.∠A=∠D
B.A0-BO
C.AC=BO
D.AB=CD
1D.如图，BLBC,AB平分∠BAD交BC于点E,AELDE,∠1∠2=90，M,N分别是BA,CD延
长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F.下列结论：①AB∥CD,(
③DE平分∠ADC:④∠F为定值，其中结论正确的有(
②∠AEB+∠ADC180
A.①③
B.①④
c.②③
二，填空题（共6小题，每题3分）
D.
①③④
1L.
比较大小：3
V7(填写“<”或“>")
2,如图4B/以地交F于点G∠C=134则∠写
(12)
8.如图，已知△△C若∠=60，∠A0m=23°，则∠0
13)
(140
(15
4.如里，△8C中，A机、B分别为角平分线和高，之=6，∠C=64,则∠D1=
16在△AB中，∠A=0,∠B=60,点D是AC边上-点，过点D将△8C折叠，使点C落在C
下方的点C处，折痕E与C交于点B,当B与∠C的-边平行时，∠BC的度数
三解答题（共8小愿）
6.00分)(1)丽+12-V51-64(2)解不等式组2红1>x-
2x并把解集在数轴上表示出来
,(9分)“西体不勤，五谷不分”出自《论语·微子》，这个成语用来形容一些不参与劳动实践、脱
3
离实际的人。为了更加扎实、有效地开展劳动教有，落实“五有并举”，某校倡议学生在家帮助父
母做一些力所能及的家务。校学生会随机抽取该校部分学生进行问卷调查。现得到如下信息
仁息一：抽取部分学生平均每周做家务
时间如下表所示：（单位：小时）
信息二：恤取部分学生平均每周做家务
时间扇形统计图如下所示：
学生人动
24
24
B
20
6
16
40%
A≤r<2
1
8
B2D
C:3≤x<4
4
2345时间/小时
根据以上信息，回答下列问题：
()这次抽样调查的学生人数是
,D对应的扇形圆心角的度数是
(2)请根据题中已有的信息补全频数分布直方图：
(3)该校有1950名学生，根据抽样调查结果，请你估计该校平均每周做家务的时间不少于3小时
的学生
&,9分)在平面直角坐标系中，点P(a,b),Q(c,D给出如下定
义：对于实数k(学0：我们称点(a,b+0为R0两点
的“系和点.例如，点P(3,4,Q(工，一2)，则点八9的“
2
系和点的坐标为：(2,1以.如图，已知点4(4-D,8(~2。-
《1)直接写出点本B的“2”系和点坐标为
(2)若点A为BC的”-3”系和点，求点C的坐标
3)若点D为水B的“”系和点，三角形的面积为6，则符
合条件的的值为八年级数学答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D C B D A C B D
一．选择题（共10小题）
1．在实数3.14，，，中，属于无理数的是（　　）
A．3.14 B． C． D．
【解答】解：3.14是有限小数，＝2，＝2是整数，它们不是无理数，
﹣是无限不循环小数，它是无理数，
故选：B．
2．如果a＜b，那么下列不等式正确的是（　　）
A．﹣2+a＜﹣2+b B．﹣2a＜﹣2b C． D．a2＞b2
【解答】解：A、∵a＜b，∴﹣2+a＜﹣2+b，故A选项正确；
B、∵a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，故B选项错误；
C、∵a＜b，∴，故C选项错误；
D、由a＜b判断不出a2和b2的大小关系，故D选项错误．
故选：A．
3．已知是二元一次方程2x+ay＝4的一个解，则a的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．0 D．
【解答】解：由条件可得：2×1+a×4＝4．
解得：．
故选：D．
4．已知点P（a+2，a﹣1）在平面直角坐标系的第四象限内，则a的取值范围在数轴上可表示为（阴影部分）（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵点P（a+2，a﹣1）在平面直角坐标系的第四象限内，
∴，
解得：﹣2＜a＜1，
则a的范围在数轴上可表示为：
故选：C．
5．三角形三条边大小之间存在一定的关系，以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　）
A．2，3，5 B．5，6，10 C．1，1，3 D．3，4，9
【解答】解：A、2+3＝5，长度是2、3、5的线段不能组成三角形，故A不符合题意；
B、5+6＞10，长度是5、6、10的线段能组成三角形，故B符合题意；
C、1+1＜3，长度是1、1、3的线段不能组成三角形，故C不符合题意；
D、3+4＜9，长度是3、4、9的线段不能组成三角形，故D不符合题意．
故选：B．
6．若点M（3，﹣2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且MN＝1，则N点的坐标为（　　）
A．（4，﹣2） B．（3，﹣1）或（3，﹣3）
C．（3，﹣1） D．（4，﹣2）或（2，﹣2）
【解答】解：∵点M（3，﹣2）与点N（x、y）在同一条平行于x轴的直线上，MN＝1，
∴y＝﹣2，|x﹣3|＝1，
∴x＝2或4，
∴N点的坐标为（2，﹣2）或（4，﹣2）．
故选：D．
7．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，若△ABC的面积为12cm2，则△CDE的面积为（　　）
A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
【解答】解：∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABD的面积为12cm2，
∴△ADC的面积为：×12＝6（cm2），
∵CE是△ADC的边AD上的中线，
∴△CDE的面积为：×6＝3（cm2），
故选：A．
8．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且∠B＝50°，∠E＝30°，CE交BA的延长线于点E，则∠BAC的度数是（　　）
A．60° B．90° C．110° D．130°
【解答】解：∵∠B＝50°，∠E＝30°，
∴∠DCE＝∠B+∠E＝80°，
∵CE是∠ACD的平分线，
∴∠ACD＝2∠DCE＝160°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝160°﹣50°＝110°．
故选：C．
9．如图，AB与CD相交于点O，AC∥BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是（　　）
A．∠A＝∠D B．AO＝BO C．AC＝BO D．AB＝CD
【解答】解：A、不能证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；
B、由AC∥BD可得∠A＝∠B，∠C＝∠D，可利用AAS证明△AOC≌△BOD，故此选项符合题意；
C、不能证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；
D、不能证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；
故选：B．
10．如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值，其中结论正确的有（　　）
A．①④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
【解答】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠1+∠AEB＝90°＝∠AEB+∠DEC，
∴∠1＝∠DEC，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠DEC+∠2＝90°，
∴∠C＝90°，
∴∠B+∠C＝180°，
∴AB∥CD，①正确，故符合要求；
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
又∵∠AEB不一定等于∠BAD，
∴∠AEB+∠ADC不一定等于180°，②错误，故不符合要求；
∵AE平分∠BAD交BC于点E，
∴，
∵∠EAD+∠EDA＝90°，∠1+∠2＝90°，
∴∠EDA＝∠2，
∴DE平分∠ADC；③正确，故符合要求；
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
∴，，
∵∠1+∠2＝90°，∠1+∠EAM＝180°，∠2+∠EDN＝180°，
∴∠EAM+∠EDN＝270°，
∴，
∴∠F＝360°﹣∠EAF﹣∠EDF﹣∠AED＝135°，为定值；④正确，故符合要求；
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．比较大小：3 　＞　 （填写“＜”或“＞”）．
【解答】解：∵3＝，且9＞7，
∴3＞，
故答案为：＞．
12．如图AB∥CD，AE交DF于点C，∠ECF＝134°，则∠A＝　46°　 ．
【解答】解：∵∠ECF＝134°，
∴∠ECD＝180°﹣∠ECF＝46°，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠ECD＝46°，
故答案为：46°．
13．如图，已知△ABC≌△ADC，若∠BAC＝60°，∠ACD＝23°，则∠D＝ 　97°　 ．
【解答】解：∵△ABC≌△ADC，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝∠BAC＝60°，
又∵∠ACD＝23°，
在△ACD中，
∠D＝180°﹣60°﹣23°＝97°．
故答案为：97°．
14．如图，△ABC中，AD、AE分别为角平分线和高，∠B＝46°，∠C＝64°，则∠DAE＝　9°　 ．
【解答】解：∵∠B＝46°，∠C＝64°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，
∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠BAC＝35°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠B＝44°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝44°﹣35°＝9°，
故答案为：9°．
15．在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D是AC边上一点，过点D将△ABC折叠，使点C落在BC下方的点C′处，折痕DE与BC交于点E，当AB与∠C′的一边平行时，∠DEC′的度数为 　120°或95°　 ．
【解答】解：①当AB∥C′E时．
由轴对称图形的性质可知：
∠C＝∠C′＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°，，
∵AB∥C′E，
∴∠B＝∠BEC′＝60°，
∴∠EFC′＝∠BFD＝180°﹣∠C′﹣∠BEC′＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴∠ADF＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠BFD＝360°﹣70°﹣60°﹣70°＝160°，
∴∠CDC′＝180°﹣∠ADF＝180°﹣160°＝20°，
∴∠C′DE＝10°，
∴∠DEC′＝180°﹣∠C′DE﹣∠C′＝180°﹣10°﹣50°＝120°．
②当AB∥C′D时．
由轴对称图形的性质可知：
∠C＝∠C′＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°，．
∵AB∥C′D，
∴∠BFD＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ADF＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠BFD＝360°﹣70°﹣60°﹣120°＝110°，
∴∠CDC′＝180°﹣∠ADF＝180°﹣110°＝70°，
∴∠C′DE＝35°，
∴∠DEC′＝180°﹣∠C′DE﹣∠C′＝180°﹣35°﹣50°＝95°，
综上所述，∠DEC′的度数为120°或95°．
故答案为：120°或95°．
三．解答题（共8小题）
16．计算：
（1）；
（2）解不等式组．
【解答】解：（1）原式＝5+﹣2﹣4
＝﹣1；
（2），
由①得，x≤3，
由②得，x＜4，
故不等式组的解集为：x≤3．（数轴略，自己画）
17．“四体不勤，五谷不分”出自《论语 微子》，这个成语用来形容一些不参与劳动实践、脱离实际的人．为了更加扎实、有效地开展劳动教育，落实“五育并举”，某校倡议学生在家帮助父母做一些力所能及的家务．校学生会随机抽取该校部分学生进行问卷调查．现得到如下信息：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）这次抽样调查的学生人数是　60人　 ，D对应的扇形圆心角的度数是　72°　 ；
（2）请根据题中已有的信息补全频数分布直方图；
（3）该校有1950名学生，根据抽样调查结果，请你估计该校平均每周做家务的时间不少于3小时的学生．
【解答】解：（1）这次抽样调查的学生人数是24÷40%＝60（人），
D组人数为60﹣（8+24+16）＝12（人），
则D对应的扇形圆心角的度数是360°×＝72°，
故答案为：60人，72°；
（2）补全图形如下：
（3）1950×＝910（名），
答：估计该校平均每周做家务的时间不少于3小时的学生约为910人．
18．在平面直角坐标系中，点P（a，b），Q（c，d）给出如下定义：对于实数k（k≠0），我们称点M（ka+kc，kb+kd）为P，Q两点的“k”系和点．例如，点P（3，4），Q（1，﹣2），则点P，Q的“”系和点的坐标为：（2，1），如图，已知点A（4，﹣1），B（﹣2，﹣1）．
（1）直接写出点A，B的“2”系和点坐标为 　（4，﹣4）　 ；
（2）若点A为B，C的“﹣3”系和点求点C的坐标；
（3）若点D为A，B的“k”系和点，三角形ABD的面积为6，则符合条件的k的值为 　﹣0.5或1.5　 ．
【解答】解：（1）由图知：A（4，﹣1）B（﹣2，﹣1）；
根据“k”系和点的定义得：2×4+2×（﹣2）＝4，
2×（﹣1）+2×（﹣1）＝﹣4，
故答案为：（4，﹣4）；
（2）设C（x，y），
则﹣3x﹣3×（﹣2）＝4，﹣3y﹣3×（﹣1）＝﹣1；
∴x＝，y＝，
∴C（，）．
故答案为：（，）．
（3）∵三角形ABD的面积为6，
∴D到AB的距离为2，
∵点D为A，B的“k”系和点，
则D（2k．﹣2k）．
∴﹣1+2＝﹣2k，或者﹣1﹣2＝﹣2k，
∴k＝﹣0.5或k＝1.5．
故答案为﹣0.5或1.5．
19．根据素材，完成下面的任务．
文化赋能乡村振兴，某县以文明实践引领乡村治理，在群众聚集地打造文化墙，以文化人、以文惠民、以文兴城，该县现欲购买A、B两种绘画工具用于打造文化手绘墙．
素材一 了解商店在无促销活动时，若买15个A种工具、10个B种工具，共需230元；若买25个A种工具、25个B种工具，共需450元．
素材二 若该商店开展甲、乙两种促销方案： 甲方案：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知采购员在此之前不是该商店的会员）； 乙方案：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售．
（1）该商店在无促销活动时，求A钟工具和B种工具的销售单价各是多少元？
（2）采购员计划在促销期间购买A、B两种工具共40个，其中A种工具m个，求m在什么范围内时，采用甲方案购买更合算？
【解答】解：（1）设A种工具的销售单价为x元，B种工具的销售的单价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种工具的销售单价为10元，B种工具的销售单价为8元；
（2）甲方案购买共需要费用为：35+0.8×10m+0.8×8×（40﹣m）＝（1.6m+291）（元），
乙方案购买共需要费用为：0.9×10m+0.9×8×（40﹣m）＝（1.8m+288）（元），
由题意得：1.6m+291＜1.8m+288，
解得：m＞15，
又∵m＜40，
∴15＜m＜40；
答：当购买A款工具的数量超过15个且少于40个时，甲方案购买更合算．
20．如图，在△ABC中，∠BAC＝58°，∠C＝72°，AD是高，BE是角平分线，它们相交于点F．
（1）求∠DAC的度数．
（2）求∠AFB的度数．
【解答】解：（1）∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C+∠DAC＝90°，
∵∠C＝72°，
∴∠DAC＝90°﹣72°＝18°；
（2）∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝58°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝58°﹣18°＝40°，
∵∠BAC+∠C+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣58°﹣72°＝50°，
∵BE是角平分线，
∴，
∵∠ABF+∠BAD+∠AFB＝180°，
∴∠AFB＝180°﹣25°﹣40°＝115°．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABD＝∠CAE，A，D，E三点在同一条直线上，且BD＝AE．
（1）求证：△BAD≌△ACE；
（2）当∠ADB＝ 　90　 °时，BD∥CE？请说明理由．
【解答】（1）证明：在△BAD和△ACE中，
，
∴△BAD≌△ACE（SAS），
（2）解：当∠ADB＝90°时，BD∥CE，理由如下：
当∠ADB＝90°时，∠BDE＝180°﹣∠ADB＝90°，
由（1）可知：△BAD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠E＝90°，
∴∠BDE＝∠E＝90°，
∴BD∥CE．
故答案为：90．
22．项目式学习活动主题：估算AO纸的长与宽．
【知识储备】
（1）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为 　　 ．
一般结论：正方形的对角线与边长的比是 　　 ．
【项目素材】如图2，按照国际标准，A系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1m2，将A0纸沿长边对折、裁开，便成两张A1纸；将A1纸沿长边对折、裁开，便成两张A2纸；将A2纸沿长边对折、裁开，便成两张A3纸；…，将An纸沿长边对折、裁开，便成两张A（n+1）纸．
【任务探究】
（2）任务一：A1纸面积是A2纸面积的 　2　 倍，A2纸周长是A4纸周长的 　2　 倍．
（3）任务二：将一张A4纸按如图3所示进行两次折叠（折痕分别是AB和AE），观察发现点B恰好和点C重合，求A4纸的长与宽之比．
（4）任务三：根据上述结论，估算A0纸的长和宽分别是多少毫米（结果取整数）．
（参考数据：≈1.4142，≈1.1892，≈0.7071，≈0.8409，≈1189.2，≈840.9，×840.9≈1189.2，×1189.2≈1681.8）
【解答】解：（1）∵大正方形的面积为2，
∴边长为，
∴正方形的对角线与边长的比是，
故答案为：；；
（2）∵将A1纸沿长边对折、裁开，便成两张A2纸，
∴A1纸面积是A2纸面积的2倍，
∵将A2纸沿长边对折、裁开，便成两张A3纸；将A3纸沿长边对折、裁开，便成两张A4纸，
∴A2纸周长是A4纸周长的2倍，
故答案为：2；2；
（3）由折叠过程可知，A4纸的长与宽之比为：
；
（4）同理可知：A0纸的长与宽之比是，
设A0纸的宽为xmm，则长为 mm，
∵A0纸的面积为1m2＝106mm2，
∴，
∴，
∴≈840.9＝841，
∴，
∴，
故A0纸的宽约为841mm，则长约为1189mm．
23．已知∠AOB＝90°，直线CD与OA交于点C，与OB交于点D，点C，D均不与点O重合，CE平分∠DCO，DE平分∠CDO．
（1）如图1，当∠OCD＝40°时，∠CED的度数为　135°　 ；
（2）如图2，延长CE与BO交于点F，过E作射线EG与CD交于点G，且满足∠CFO﹣∠GED＝45°．求证：GE∥DO；
（3）如图3，过点C作CM⊥CN，MN是∠COD的外角平分线所在直线，与射线CE交于点N，与CM交于点M．在△CMN中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请求出∠CDE的度数．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠OCD＝40°，
∴∠CDO＝90°﹣∠ODD＝90°﹣40°＝50°，
∵，，
∴∠CED＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝180°﹣20°﹣25°＝135°，
故答案为：135°；
（2）∠CFO﹣∠GED＝45°证明略
（3）15°或18°．

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