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专题1.1.1认识三角形七大题型（一课一讲）
（第1课时 三角形的定义及三边关系）
题型一：三角形的识别与有关概念
【例题1】（25-26八年级上·全国·单元测试）下面各项都是由三条线段组成的图形，其中属于三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是（ ）
A．B． C． D．
【变式训练1-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，老师讲桌上的一个三角形卡片被压在了书下．请你根据三角形卡片露出的部分判断该三角形的形状，是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【变式训练1-3】（25-26七年级上·江苏盐城·开学考试）同学们已经学过平面图形的面积公式，根据这些公式的推导过程进行整理（如图），①②③所对应的图形分别是（ ）．
A．平行四边形、长方形、三角形 B．三角形、平行四边形、长方形
C．长方形、平行四边形、三角形 D．长方形、三角形、平行四边形
【变式训练1-4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示，
(1)图中有几个三角形？
(2)说出的边和角．
(3)是哪些三角形的边？.是哪些三角形的角？
【变式训练1-5】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示．
(1)图中共有________个三角形，用符号表示为________________；其中以为边的三角形是________________；以为一个内角的三角形是________；
(2)在中，的对边是________，的对角是________，与的公共边是________，公共角是________．
题型二：三角形的个数问题
【例题2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，以D为顶点的三角形的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式训练2-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）将两块三角板按如图方式叠放在一起，以为边的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练2-2】（24-25八年级上·云南曲靖·期中）如图，以点A为顶点的三角形有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式训练2-3】（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，钝角三角形的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练2-4】（25-26七年级上·重庆·开学考试）数一数，图中共有 个三角形．
三角形的分类
（1）按角对三角形进行分类
（2）按边对三角形进行分类
题型三：三角形的分类
【例题3】（25-26七年级上·河北石家庄·开学考试）一个三角形的三个内角分别是、、，这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
【变式训练3-1】（24-25七年级下·山东济南·期中）若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【变式训练3-2】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（ ）
A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形
B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形
C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形
D．以上说法都不对
【变式训练3-3】（25-26八年级上·全国·课前预习）三角形按角分类可以分为（ ）
A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形
C．直角三角形、等腰直角三角形 D．以上答案都不正确
【变式训练3-4】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是锐角三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（ ）
A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对
三角形的三边关系：
三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边（我们在判断是否能够组成三角形时只需要判定最短的两边是否大于第三边）
题型四：判断是否能构成三角形
【例题4】（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练4-1】（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）小敏同学想用三根木棍做一个置物架支架，现有以下长度的木棍（单位：），她能成功拼成三角形支架的是（ ）
A．2，3，6 B．6，7，13 C．2，2，3 D．1，1，3
【变式训练4-2】（24-25七年级下·吉林长春·期末）下列各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【变式训练4-3】（23-24七年级上·湖南湘潭·开学考试）工人叔叔做了一个三角形的铁架，其中用的两根铁棒都是4分米，另一根铁棒的长度不可能是（ ）分米．
A．4 B．5 C．7 D．8
【变式训练4-4】（23-24七年级上·江苏苏州·开学考试）在长度分别是、、、、的五根小棒中任选3根，共能围成不同形状的等腰三角形（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练4-5】（2025八年级·全国·竞赛）长度分别为5，6，11，16的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边的长度为 ．
题型五：确定第三边的取值范围
【例题5】（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）已知长为3、8、a的三条线段能够组成三角形，则a能取的整数共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．无数个
【变式训练5-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）三角形中两条边长分别是，且，那么这个三角形的周长的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-2】（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）设的三边分别为a，b，c，其中a，b满足，则最长边c的取值范围是 ．
【变式训练5-3】（24-25七年级下·重庆·期末）已知一个三角形一边长为，另一边长为，第三边是最长边且为偶数，则此三角形的周长为 ．
【变式训练5-4】（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如果不等边三角形的三边长分别是、、，那么整数的取值是 ．
题型六：三角形三边关系的应用
【例题6】（24-25七年级下·宁夏银川·期末）已知的三边长为，且，，都是整数．
(1)若，，且为奇数，求的周长．
(2)化简：．
【变式训练6-1】（24-25八年级上·湖北十堰·阶段练习）已知是的三边，化简：．
【变式训练6-2】（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）已知，，是的三边．
(1)若，．求第三边的取值范围；
(2)若，，第三边为奇数，判断的形状；
(3)化简．
【变式训练6-3】（24-25八年级上·全国·期末）已知，，为的三边长，，满足，且为方程的解，求的周长，并判断的形状．
【变式训练6-4】（24-25七年级下·重庆万州·期末）已知的三个内角的对边分别为．
(1)化简：；
(2)若满足，试判断是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，并说明理由．
题型七：利用三角形的三边关系进行证明
【例题7】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知D、E是内的两点，问成立吗？请说明理由．
【变式训练7-1】（24-25八年级上·浙江·期末）如图，已知O为内任意一点，求证
(1) ；
(2)
【变式训练7-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知P是内任意一点．
(1)如图①，求证：．
(2)如图②，连接，比较与的大小关系，并说明理由．
【变式训练7-3】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长．
【变式训练7-4】（24-25八年级下·福建·单元测试）如图，线段与相交于点，且是由平移所得，试确定与的大小关系，并说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
专题1.1.1认识三角形七大题型（一课一讲）
（第1课时 三角形的定义及三边关系）
题型一：三角形的识别与有关概念
【例题1】（25-26八年级上·全国·单元测试）下面各项都是由三条线段组成的图形，其中属于三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．
【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形，
故选：C．
【变式训练1-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的定义，解题的关键是熟练记住定义.
根据三角形的定义进行判断即可.
【详解】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形，
所以选项C符合题意.
故选： C．
【变式训练1-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，老师讲桌上的一个三角形卡片被压在了书下．请你根据三角形卡片露出的部分判断该三角形的形状，是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】D
【分析】本题考查了三角形，解题的关键是熟练掌握三角形的分类；根据三角形的分类即可得到正确的结论
【详解】解：由图可知：三角尺露出的角是钝角，
故该三角形是钝角三角形，
故选D
【变式训练1-3】（25-26七年级上·江苏盐城·开学考试）同学们已经学过平面图形的面积公式，根据这些公式的推导过程进行整理（如图），①②③所对应的图形分别是（ ）．
A．平行四边形、长方形、三角形 B．三角形、平行四边形、长方形
C．长方形、平行四边形、三角形 D．长方形、三角形、平行四边形
【答案】C
【分析】题目主要考查基本图形的面积推导，理解基本图形的面积求解过程是解题关键．
根据图形之间的面积推导过程求解即可．
【详解】解：∵正方形和长方形的面积是通过画面积相等的小正方形，然后再数小正方形的个数推导出来的；圆的面积是把圆切割成若干面积相等的三角形，然后再拼成长方形，由长方形的面积推导出来的，
∴①是长方形；
∵平行四边形的面积是通过割补的方法，将其割补成长方形，由长方形的面积推导出来的；
∴②是平行四边形；
∵三角形与梯形的面积是由两个相同的图形拼成平行四边形，由平行四边形的面积推导出来的；
∴③是三角形；
故选：C．
【变式训练1-4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示，
(1)图中有几个三角形？
(2)说出的边和角．
(3)是哪些三角形的边？.是哪些三角形的角？
【答案】(1)5个
(2)的边：，角：
(3)是的边，是的角
【分析】本题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的相关定义．
（1）根据三角形的定义，观察图形可得；
（2）根据三角形的边、角的定义，即可求解；
（3）根据三角形的边、角的定义，即可求解．
【详解】（1）解：图中有：，共5个；
（2）解：的边：，角：；
（3）解：是的边，
是的角．
【变式训练1-5】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示．
(1)图中共有________个三角形，用符号表示为________________；其中以为边的三角形是________________；以为一个内角的三角形是________；
(2)在中，的对边是________，的对角是________，与的公共边是________，公共角是________．
【答案】(1)5；，，，，；，，；，
(2)；；；（）
【分析】本题考查了三角形的基本概念，包括三角形的计数、表示方法、边与角的对应关系以及三角形间的公共边和公共角，解题的关键是熟练掌握三角形的相关定义并准确识别图形中的元素．
（1）按一定顺序逐一识别图中的三角形，避免重复或遗漏；根据三角形的表示方法用符号写出所有三角形；依据“以为边”即边中包含的要求筛选三角形；根据“以为内角”即内角包含的要求筛选三角形．
（2）在中，根据“角的对边是指该角不相邻的边”确定的对边；根据“边的对角是指该边不相邻的角”确定的对角；通过观察图形找出与共有的边和角．
【详解】（1）解：图中通过逐一识别可得共有5个三角形，用符号表示为，；
其中以为边的三角形是包含边的；
以为一个内角的三角形是内角有的．
故答案为：5．
（2）在中的对边是不与相邻的边；
的对角是不与相邻的角；
通过观察图形可知与的公共边是，公共角是（或．
故答案为：．
题型二：三角形的个数问题
【例题2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，以D为顶点的三角形的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了三角形，根据三角形的定义即可得到结论．
【详解】解：以D为顶点的三角形有共4个三角形，
故选：B．
【变式训练2-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）将两块三角板按如图方式叠放在一起，以为边的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的概念，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形，根据三角形的概念即可求解．
【详解】解：以为边的三角形有，
所以有3个，
故选：C．
【变式训练2-2】（24-25八年级上·云南曲靖·期中）如图，以点A为顶点的三角形有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】本题考查三角形的定义：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答．
【详解】解：以点A为顶点的三角形有，，，，共4个．
故选：A
【变式训练2-3】（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，钝角三角形的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的分类、钝角三角形的定义等知识点，确定各个钝角三角形成为解题的关键．
先列举出所有钝角三角形，然后再统计即可解答．
【详解】解：如图：钝角三角形有：、、、、，共5个．
故选D．
【变式训练2-4】（25-26七年级上·重庆·开学考试）数一数，图中共有 个三角形．
【答案】
【分析】直接数出三角形的个数即可得解，本题考查图形计数，解本题的关键是掌握数三角形的方法．
【详解】解：图中共有三角形（个）．
故答案为：．
三角形的分类
（1）按角对三角形进行分类
（2）按边对三角形进行分类
题型三：三角形的分类
【例题3】（25-26七年级上·河北石家庄·开学考试）一个三角形的三个内角分别是、、，这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握“等角对等边”是解决本题的关键．
根据三角形内角分别是、、，由两个相等的角，再结合三角形的分类标准进行判断即可．
【详解】解：∵一个三角形的三个内角分别是、、，
有两个相等的角均为，
由等角对等边，可知这个三角形一定是等腰三角形．
故选：B ．
【变式训练3-1】（24-25七年级下·山东济南·期中）若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，根据三角形内角和为度求出这个三角形最大的内角的度数即可得到答案．
【详解】解：∵一个三角形的三个内角度数的比为，
∴这个三角形最大的内角度数为，
∴这个三角形是锐角三角形，
故选：A．
【变式训练3-2】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（ ）
A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形
B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形
C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形
D．以上说法都不对
【答案】D
【分析】本题考查三角形的分类，根据点C运动路线，分段进行讨论即可．
【详解】解：点C从点B出发后至前，，是钝角三角形；
当点C运动至时，，是直角三角形；
点C继续向右运动，由小变大，
当时，是锐角三角形；
当时，是直角三角形；
当时，是钝角三角形；
因此变化情况为：钝角三角形→直角角三形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形，
故选D．
【变式训练3-3】（25-26八年级上·全国·课前预习）三角形按角分类可以分为（ ）
A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形
C．直角三角形、等腰直角三角形 D．以上答案都不正确
【答案】A
【分析】根据三角形的分类情况可得答案．
此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握三角形的分类一种是按边分类，另一种按角分类．
【详解】解：三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，
故选：A．
【变式训练3-4】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是锐角三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（ ）
A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形的分类．根据三角形按边分类，即可求解．
【详解】解：三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形（两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形），
∴P是等腰三角形；Q是等边三角形，
∴只有乙说法正确，
故选：B．
三角形的三边关系：
三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边（我们在判断是否能够组成三角形时只需要判定最短的两边是否大于第三边）
题型四：判断是否能构成三角形
【例题4】（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了构成三角形的条件，熟练掌握“两边之和大于第三边，且两边之差小于第三边”是解题的关键．
根据构成三角形的条件逐一判断即可．
【详解】解：A、，则不能构成三角形，故不符合题意；
B、，能构成三角形，故符合题意；
C、，则不能构成三角形，故不符合题意；
D、，则不能构成三角形，故不符合题意，
故选：B．
【变式训练4-1】（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）小敏同学想用三根木棍做一个置物架支架，现有以下长度的木棍（单位：），她能成功拼成三角形支架的是（ ）
A．2，3，6 B．6，7，13 C．2，2，3 D．1，1，3
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的三边关系．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定需要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．根据三角形的三边关系进行分析判断．
【详解】解：A、，不能构成三角形支架，故本选项不符合题意；
B、，不能构成三角形支架，故本选项不符合题意；
C、，能构成三角形支架，故本选项符合题意；
D、，不能构成三角形支架，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式训练4-2】（24-25七年级下·吉林长春·期末）下列各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【分析】本题考查三角形三边关系，解题关键是掌握三角形三边关系．
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
【详解】解：A、，不能组成三角形，故A不符合题意；
B、，不能组成三角形，故B不符合题意；
C、，能组成三角形，故C符合题意；
D、，不能组成三角形，故D不符合题意．
故选：C．
【变式训练4-3】（23-24七年级上·湖南湘潭·开学考试）工人叔叔做了一个三角形的铁架，其中用的两根铁棒都是4分米，另一根铁棒的长度不可能是（ ）分米．
A．4 B．5 C．7 D．8
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的三边关系的应用．任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边，据此解答．
【详解】解：（分米），
（分米），
第三边必须大于0，小于8分米，因此第三边不可能是8分米．
故选：D．
【变式训练4-4】（23-24七年级上·江苏苏州·开学考试）在长度分别是、、、、的五根小棒中任选3根，共能围成不同形状的等腰三角形（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，熟记三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系和等腰三角形的定义即可得．
【详解】解： ①选、、三根木棒，，满足三角形的三边关系且能围成等腰三角形；
②选、、、三根木棒，，不满足三角形的三边关系，即不能围成三角形；
③选、、三根木棒，，满足三角形的三边关系且能围成等腰三角形；
④选、、三根木棒，，满足三角形的三边关系且能围成等腰三角形；
即有3种不同的围法，
故选：B．
【变式训练4-5】（2025八年级·全国·竞赛）长度分别为5，6，11，16的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边的长度为 ．
【答案】16或17/17或16
【分析】本题考查三角形三边关系的运用，将四根木棍中的任意两根连接成一根，判断与另外两根能否构成三角形，即可求解．
【详解】解：由题意得：5，6，，，不能组成三角形；
，11，16，，能组成三角形，最长边长度为16；
5，，16，，能组成三角形，最长边长度为17；
6，11，，，不能组成三角形；
6，16，，，能组成三角形，最长边长度为16；
5，11，，，不能组成三角形；
得到的三角形的最长边的长度为16或17．
故答案为：16或17．
题型五：确定第三边的取值范围
【例题5】（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）已知长为3、8、a的三条线段能够组成三角形，则a能取的整数共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．无数个
【答案】C
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系定理．
根据三角形的三边关系：①两边之和大于第三边，②两边之差小于第三边即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵a为整数
∴，
∴a能取的整数共有5个，
故选：C．
【变式训练5-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）三角形中两条边长分别是，且，那么这个三角形的周长的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握是解题的关键．先根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得出第三边的取值范围，即可得三角形的周长范围．
【详解】解：设三角形的第三边为，则有：
，
，
即．
故选：D．
【变式训练5-2】（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）设的三边分别为a，b，c，其中a，b满足，则最长边c的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据三角形三边的关系进行求解即可．
本题主要考查了非负数的性质，三角形三边的关系，解二元一次方程组，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
【详解】解：∵，且，，
∴，
解得，
∴，即，
∴，
又∵c为最长边，
∴
故答案为：．
【变式训练5-3】（24-25七年级下·重庆·期末）已知一个三角形一边长为，另一边长为，第三边是最长边且为偶数，则此三角形的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，正确理解三角形的三边关系是解题的关键．设第三边为，根据三角形三边关系求出的取值范围，由此得到偶数的值，再计算周长即可．
【详解】解：设第三边为，
∵三角形一边长为，另一边长为，第三边是最长边，
∴，即，
∵第三边是偶数，
∴，
∴此三角形的周长为．
故答案为：
【变式训练5-4】（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如果不等边三角形的三边长分别是、、，那么整数的取值是 ．
【答案】或
【分析】本题考查的知识点是三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握三角形三边关系．
三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此即可求解．
【详解】解：根据三角形三边关系可得：，
即，
又∵该三角形是不等边三角形，
∴且，即且
∴符合条件的整数x的取值为：5或7．
故答案为：或．
题型六：三角形三边关系的应用
【例题6】（24-25七年级下·宁夏银川·期末）已知的三边长为，且，，都是整数．
(1)若，，且为奇数，求的周长．
(2)化简：．
【答案】(1)12
(2)
【分析】本题考查三角形三边关系，绝对值的意义，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的性质．
（1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，得到，即可求出的周长；
（2）由三角形三边关系定理得到，即可化简．
【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得到：，
，
为奇数，
，
的周长．
（2）由三角形三边关系定理得到：，，
，
．
【变式训练6-1】（24-25八年级上·湖北十堰·阶段练习）已知是的三边，化简：．
【答案】
【分析】本题考查了三角形三边关系，整式的加减运算，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
首先根据三角形三边的关系化简绝对值，然后再根据同类项的定义和合并同类项的方法进行化简即可．
【详解】解：根据三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，可得：
，
，移项可得；
，
原式
．
【变式训练6-2】（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）已知，，是的三边．
(1)若，．求第三边的取值范围；
(2)若，，第三边为奇数，判断的形状；
(3)化简．
【答案】(1)
(2)为等腰三角形
(3)
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，整式的加减，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
（）根据三角形的三边关系即可求解；
（）根据三角形的三边关系得，然后求出，最后通过等腰三角形定义即可求解；
（）根据三角形的三边关系得，，，然后化简即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴；
（2）解：由（）得，，
∵第三边为奇数，
∴，
∴三边为，，，
∴为等腰三角形；
（3）解：∵，，，
∴
．
【变式训练6-3】（24-25八年级上·全国·期末）已知，，为的三边长，，满足，且为方程的解，求的周长，并判断的形状．
【答案】的周长为17，是等腰三角形
【分析】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出的值是解题关键．利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出，的值，进而利用三角形三边关系得出的值，进而求出的周长进而判断出其形状．
【详解】解：∵，
，，
解得：，，
为方程的解，
，
解得：或7，
、、为的三边长，，
不合题意舍去，
，
∴的周长为：，是等腰三角形．
【变式训练6-4】（24-25七年级下·重庆万州·期末）已知的三个内角的对边分别为．
(1)化简：；
(2)若满足，试判断是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，并说明理由．
【答案】(1)
(2)是钝角三角形，理由见详解
【分析】本题考查了三角形的三边关系，化简绝对值，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得，再化简绝对值，即可作答．
（2）结合得，根据三角形内角和性质进行化简整理得，则，即可作答．
【详解】（1）解：∵的三个内角的对边分别为
∴
∴，
∴
；
（2）解：是钝角三角形，理由如下：
∵
∴，
∵
∴
∴
∵，
∴两式子相加得
解得
∵
∴
即是钝角三角形．
题型七：利用三角形的三边关系进行证明
【例题7】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知D、E是内的两点，问成立吗？请说明理由．
【答案】成立，见解析
【分析】考查三角形的边的不等关系时，要注意三角形的三边关系结合图形，反复运用三角形的三边关系：“两边之和大于第三边”进行证明．
【详解】解：，理由如下：
延长交于点F、延长交于G，
在中：①，
在中：②，
在中：③，
∵，
∴①②③得：
，
即：，
，
∴．
【变式训练7-1】（24-25八年级上·浙江·期末）如图，已知O为内任意一点，求证
(1) ；
(2)
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查三角形的三边关系．解题的关键是构造三角形，利用三角形的三边关系进行证明．
（1）在、和中，利用三角形三边关系列式即可证明；
（2）延长交于点D．在和中，得到，推出；同理，，据此即可证明结论成立．
【详解】（1）证明：在中，①，
在中，②，
在中，③，
得2，
即；
（2）证明：如图，延长交于点D．
在中，①，
在中，②，
，得；
∵，，
∴，
∴③，
同理可证④，⑤，
，得，
∴．
【变式训练7-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知P是内任意一点．
(1)如图①，求证：．
(2)如图②，连接，比较与的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边是解答此题的关键.
（1）延长，交于D，在中，根据三角形两边之和大于第三边可得同理中，可得再根据不等式的性质得到进而证明；
（2）在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后即可得到正确的结论.
【详解】（1）（1）证明：如图，延长，交于点D．
在中，．
在中，，
即．
（2）（2）．
理由：在中，．
同理可得，．
以上三式左、右两边分别相加，得，
即．
【变式训练7-3】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长．
【答案】见解析
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据三角形两边之和大于第三边得出，，，，计算得出，即可得证，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键．
【详解】证明：在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
，
，
，
与的和小于四边形的周长．
【变式训练7-4】（24-25八年级下·福建·单元测试）如图，线段与相交于点，且是由平移所得，试确定与的大小关系，并说明理由．
【答案】，理由见解析
【分析】此题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．根据平移的基本性质得出与平行且相等，再根据三角形的三边关系得出解答即可．
【详解】解：由平移的性质知，与平行且相等，，
∵，
∴，
当B、D、E不共线时，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
根据三角形的三边关系知，
即．
当D、B、E共线时，，
综上，．

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