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2.5.1椭圆的标准方程
一、学习目标
1.理解并掌握椭圆的定义．
2.掌握椭圆的标准方程的推导
3.会求简单的椭圆的标准方程，能利用直接法、定义法、代入法解与椭圆有关的轨迹问题．
二、重难点
重点：椭圆的定义运用和标准方程求法
难点：椭圆有关的轨迹问题
三、知识梳理
1.椭圆的定义：如果是平面内的两个定点， 是一个常数，且，
则平面内满足的动点P的轨迹称为 ，其中两个定点称为椭圆的 ，两个焦点之间的距离称为椭圆的 .
2.焦点在x轴上的椭圆的标准方程为 .
3.焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 .
4.注意：
(1)时，表示的图形是_________
(2)时，不表示任何图形
5.椭圆的标准方程的推导
一般地，如果椭圆的焦点为 和 ，焦距为 ，而且椭圆上的动点 满足，其中 ．则以 所在直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．此时，椭圆的焦点分别为 ．
设 是椭圆上任意一点，则 ，因为 ，所以 ① .
当 时，，由 ① 得，整理得 ②
① + ② 整理得 ③，
将 ③ 式平方，再整理得 ④，
当 时，由 ① 可知 ，此时 ⑥ 也成立．因为 ，所以 ，设 且 ，则 ③ 式可化为 . 可以验证，方程 就是椭圆的方程，通常称为焦点在 轴上的椭圆的标准方程.
同理可得焦点在 轴上的椭圆的标准方程
四、例题讲解
例 1 分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点分别是 ，椭圆上的点 到两焦点的距离之和等于 8；
（2）两个焦点分别是 ，并且椭圆经过点 ．
例 2 已知 是平面内的两个定点，，且平面内 的周长等于 18，求这个三角形的顶点 的轨迹方程．
五、课堂练习
1.若椭圆的左焦点的坐标为，则的值为( )
A.1 B.1或5 C.5 D.3或5
2.若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
3.已知方程表示椭圆，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.如果椭圆的方程是，那么它的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
5.“”是“曲线表示椭圆”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知方程表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆的一个焦点坐标，则( )
A. B.5 C.5或3 D.3
8.已知椭圆的两个焦点分别为、，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
9.若椭圆的一个焦点为，则p的值为________.
10.若焦点在x轴上的椭圆的焦距为4，则________.
六、课后练习
1.椭圆的一个焦点是，那么( )
A.1 B. C. D.
2.椭圆的焦点为，，点P在椭圆上，若，则( )
A.3 B.4 C.6 D.8
3.已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则( )
A.5 B.6 C.9 D.10
4.若方程表示椭圆，则k的值不可能是( )
A.1 B. C.2 D.3
5.（多选）如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是( )
A. B. C. D.
6.（多选）已知曲线，则下列结论正确的有( )
A.若，则C是焦点在轴上的椭圆
B.若，则C是圆
C.若，则C是焦点在轴上的椭圆
D.若，则C是两条平行于y轴的直线
7.已知椭圆的一个焦点是，则k的值为______________.
8.若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是______．
9.若焦点在x轴上的椭圆的焦距为，则实数m的值为____________．
10.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为_____________.
答案及解析
三、知识梳理
椭圆 焦点 焦距
(1)一条线段
例题讲解
例题1
解：（1）由已知得 ，因此 ．又因为 ，所以，因为椭圆的焦点在 轴上，所以所求椭圆的标准方程为
（2）因为椭圆的焦点在 轴上，设它的标准方程为.由已知得 又因为 ，所以 ．因为点 在椭圆上，所以 ，即.从而有 ，解得 或 （舍去）．因此 ，从而所求椭圆的标准方程为 .
例题2
分析：由 的周长等于 18 且 ，可知点 到 两个定点的距离之和总是等于 10，因此点 一定在以 为焦点的椭圆上．
解：以 所在的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系 ，如图所示．
由 ，可知 ．又因为 ，所以 ，从而点 在以 为焦点的椭圆上，而且这个椭圆上的点与两焦点的距离之和 ，又焦距 ，因此．从而 因此点 的坐标必须满足 ，再注意到因为是三角形，所以 三点不能共线，因此可知点 的轨迹方程为 .
五、课堂练习
1.答案：C
解析：根据左焦点的坐标为，可得，且焦点在x轴上，
结合椭圆标准方程可得，故.
故选：C.
2.答案：A
解析：由，即，
由题有，所以，
故选：A.
3.答案：D
解析：方程表示椭圆，
则，
解得或，
所以实数m的取值范围是.
故选：D
4.答案：C
解析：由，则它的焦点坐标是，
故选：C.
5.答案：B
解析：因为曲线为椭圆，
所以，解得且，
所以“”是“且”的必要而不充分条件.
故选：B.
6.答案：D
解析：因为方程表示的曲线是椭圆，
所以，解得且，
所以实数k的取值范围是.
故选：D.
7.答案：B
解析：由椭圆的一个焦点坐标，
可得椭圆的焦点在x轴，所以，解得.
故选：B.
8.答案：B
解析：由椭圆的两个焦点分别为，，可知椭圆的焦点在x轴上，且.由椭圆的定义可得，即，，椭圆的标准方程是，
故选：B.
9.答案：3
解析：因为焦点为，所以焦点在y轴上，所以，，，，
故答案为：3
10.答案：4
解析：因为椭圆的焦点在x轴上且焦距为4，
所以，
解得.
故答案为：4.
六、课后练习
1.答案：A
解析：因为椭圆的一个焦点是，
所以，，，
则，解得，
故选：A.
2.答案：B
解析：由椭圆方程可得，
由椭圆的定义，.
故选：B.
3.答案：C
解析：因为表示焦点在y轴上且焦距为4的椭圆，
所以，解得，
故选：C.
4.答案：C
解析：因为方程表示椭圆，
则，解得，
结合选项可知ABD正确，C错误.
故选：C.
5.答案：BC
解析：焦点在x轴上，则标准方程中，解得或．
又，，得，所以或．
故选：BC．
6.答案：ABD
解析：对于A，若，则，
所以C是焦点在轴上的椭圆，故A正确;
对于B，若，则曲线，
所以C是圆，故B正确;
对于C，若，则，
所以C是焦点在轴上的椭圆，故C错误;
对于D，若，则，
所以C是两条平行于y轴的直线，故D正确.
故选：ABD.
7.答案：1
解析：因为椭圆的一个焦点是，
所以，且.
故答案为：1.
8.答案：
解析：由题意得，解得.
故答案为：.
9.答案：5
解析：由于椭圆焦距为，所以，
由于椭圆的焦点在轴上，，
所以，
解得.
故答案为：5.
10.答案：
解析：由已知， ，所以， ，
所以.
又椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为.
故答案为：.

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