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2.5.2椭圆的几何性质
学习目标
掌握椭圆的对称性、范围、顶点、离心率等几何性质．
能用椭圆的几何性质求椭圆的方程．
能用椭圆的几何性质分析解决有关问题．
重难点
重点：用椭圆的几何性质求椭圆的方程
难点：用椭圆的几何性质分析解决有关问题
三、知识梳理
1.椭圆的范围：设椭圆C的标准方程是，则椭圆C位于直线 ，
围成的矩形框里.
椭圆的对称性：设椭圆C的标准方程是，则椭圆C关于 对称，
是椭圆的对称轴， 是对称中心，椭圆的对称中心也称为 .
3.椭圆的顶点：设椭圆C的标准方程是，则它的顶点坐标分别为 .
4.椭圆的长轴和短轴：设椭圆C的标准方程是，则它的长轴和短轴分别为 ，且长轴长为 ，短轴长为 ，而椭圆的半长轴长为 ，半短轴长为 .
5.以椭圆的任意一个短轴的端点、任意一个焦点以及原点为顶点的三角形是一个 ，而且短轴端点与焦点的连线长为 .
6.椭圆的离心率：设椭圆C的标准方程是，则它的离心率为 ，取值范围为 ，且当e越趋近于1时，椭圆 ；e越趋近于0时，椭圆就 .
四、例题讲解
例 1 求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率：
（1）； （2）．
例 2 已知椭圆 的焦点为 ，短轴的一个端点为 ，且 是一个等边三角形，求椭圆 的离心率．
例 3 已知椭圆 的左焦点为 ，且 是椭圆上的一点，求 的最小值与最大值．
例 4 航天器的轨道有很多种，其中的＂地球同步转移轨道＂是一个椭圆轨道，而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点．若地球同步转移轨道的远地点（即椭圆上离地球表面最远的点）与地球表面的距离为 ，近地点与地球表面的距离为 ，设地球的半径为 ，试用 表示出地球同步转移轨道的离心率.
五、课堂练习
1.若椭圆的离心率为，则( )
A.2 B. C. D.4
2.椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
3.椭圆的短轴长为( )
A.4 B.6 C. D.
4.椭圆的短半轴的长为( )
A.5 B.10 C.4 D.8
5.椭圆的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为( )
A. B. C.2 D.4
6.若椭圆经过点，且焦点分别为和，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7.若椭圆比椭圆更扁，则C的长轴长的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的长轴长等于焦距的4倍，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
9.已知椭圆的左顶点为，则该椭圆的离心率为________.
10.中心在坐标原点，焦点在x轴上且焦距是8，离心率等于的椭圆的标准方程为________.
六、课后练习
1.已知椭圆的离心率为，则C的短轴长为( )
A. B.1 C.2 D.4
2.已知椭圆上一点到C的两个焦点的距离之和为，则C的长轴长为( )
A.1 B.6 C.3或6 D.2或4
3.下列四个椭圆中，形状与圆更接近的一个是( )
A. B. C. D.
4.已知离心率为的椭圆C的方程为，则( )
A.2 B. C. D.3
5.已知椭圆的两个焦点为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
6.（多选）已知，椭圆，的离心率分别为，.若，则M的值可能为( )
A. B. C. D.
7.（多选）若圆锥曲线的离心率为，则实数m与n的关系为( )
A. B. C. D.
8.比较椭圆①与②的形状，________（填序号）更扁.
9.若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为__________.
10.已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为______________.
答案及解析
三、知识梳理
1.
2.x轴、y轴、坐标原点 x轴、y轴 坐标原点 椭圆的中心
3.
4.线段
5.直角三角形
6. 0四、例题讲解
例题1
解：（1）由 可知这个椭圆的焦点在 轴上，且 ，因此长轴长 ，半短轴长 ．又因为 ，即 ．因此，椭圆的焦点坐标为 离心率
（2）已知椭圆的方程可化为 ，由 可知这个椭圆的焦点在 轴上，且 因此长轴长 ，半短轴长 ．又因为 ，即 ．因此，椭圆的焦点坐标为 离心率 .
例题2
解：因为 ，所以依据题意可知 ，从而有 .
例题3
解：记椭圆的焦距为 ，则 ，而且 ．设 ，则 ，又因为 是椭圆上一点，所以 ，即 ，因此
注意到 ，而且 ，所以，当 时， 最小，此时 有最小值，且最小值为 ；当 时， 最大，此时 有最大值，且最大值为 .
例题4
解：设椭圆的半长轴长为 ，半焦距为 ，依照题意可知 ，解得 ，，因此离心率 .
五、课堂练习
1.答案：A
解析：由题意得，
解得
故选：A
2.答案：D
解析：在椭圆中，，，，
故该椭圆的离心率为.
故选：D.
3.答案：A
解析：由题意可得，
所以短轴长为.
故选：A.
4.答案：C
解析：由，
可得椭圆标准方程为，
即，所以短半轴长为4.
故选：C.
5.答案：D
解析：由，因为椭圆的焦点在x轴上，
所以，，
因为长轴长是短轴长的两倍，所以，
所以，得.
故选：D.
6.答案：C
解析：由于椭圆经过点，且焦点分别为和，
所以椭圆的焦点在x轴上，且，，，
所以椭圆的离心率为.
故选：C.
7.答案：C
解析：椭圆的离心率，
椭圆离心率，
因为椭圆比椭圆更扁，
所以，即，解之得
则，所以椭圆C的长轴长的取值范围是.
故选：C.
8.答案：C
解析：设椭圆长轴长2a，焦距2c，则，即.
故选：C.
9.答案：
解析：因为椭圆的左顶点为，
所以，则，所以该椭圆的离心率.
故答案为：
10.答案：
解析：由焦点在x轴上且焦距是8，可得，
由离心率等于可得，解得，
所以，
所以，椭圆的标准方程为.
故答案为：.
六、课后练习
1.答案：B
解析：依题意，，即，
则椭圆C的焦点在y轴上，
因此，所以，
故椭圆C的短轴长为.
故选：B.
2.答案：B
解析：因为椭圆，
若椭圆的焦点在x轴上，
则，则由得（舍去）；
若椭圆的焦点在y轴上，
则，则由得，
故椭圆C的长轴长为6.
故选：B.
3.答案：C
解析：由椭圆的性质知，离心率越小，椭圆越接近圆，离心率越大，椭圆越扁，
四个椭圆的离心率分别为，，，，其中离心率最小的为，
所以椭圆的形状与圆更接近.
故选：C.
4.答案：C
解析：由题意，，即，
可得，则.
故选：C
5.答案：A
解析：由题意，设，，，
则，，
，
则，
则，
所以椭圆的离心率为.
故选：A.
6.答案：AB
解析：若，则，，则，
解得.
若，则，，则，
解得或（舍去）.
若，则，，，方程无解.
故选：AB.
7.答案：AC
解析：因为圆锥曲线的离心率，所以该圆锥曲线为椭圆.
方程可化为.
当焦点在x轴上时，此时，即，，，
根据可得.
已知离心率，则，即.
化简，则
当焦点在y轴上时，此时，即，，，
根据可得.
已知离心率，则，即.
化简得，
实数m与n的关系为或.
故选：AC.
8.答案：①
解析：化为标准方程为，故离心率；
的离心率.因为，所以①更扁.
故答案为：①.
9.答案：
解析：依题意，由椭圆的性质可知，
点到焦点距离的最大值为，最小值为，
所以，化简得，即离心率.
故答案为：.
10.答案：
解析：由椭圆定义得，又因为，
所以，，
又，，结合勾股定理得，
解得，则，
所以椭圆E的离心率为.
故答案为：.

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