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2.8直线与圆锥曲线的位置关系
学习目标
理解直线与圆锥曲线的三种位置关系
能用坐标法求解直线与圆锥曲线的有关问题
重难点
重点：直线与圆锥曲线的三种位置关系判断
难点：求解直线与圆锥曲线的有关弦长等问题
新知识导入
通过直线的方程、圆的方程可以探讨直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系的问题，而且这些问题都可以转化为方程组的解的题.
类似地，因为平面直角坐标系中的点在椭圆、双曲线、抛物线上的充要条件是点的坐标满足对应的方程，所以我们同样可以通过方程组的解的问题来探讨直线与这些曲线的位置关系的问题．
三、知识梳理
1.直线与椭圆的位置关系：如图所示，当直线与椭圆有两个公共点时，称直线与椭圆 ；当直线与椭圆有且只有一个公共点时，称直线与椭圆 ；当直线与椭圆没有公共点时，称直线与椭圆 ．
2.一般地，给定直线与圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线），如果联立它们的方程并消去一个未知数后，得到的是一个一元二次方程且该方程只有一个实数解（即有两个相等的实数解），则称直线与圆锥曲线 ．而且可以得出，直线与圆、直线与椭圆只有一个公共点是直线与它们相切的 ；但直线与双曲线、直线与抛物线只有一个公共点不是直线与它们相切的 ．
3.一般地，直线与圆锥曲线有两个公共点时，则以这两个公共点为端点的线段称为圆锥曲线的 ，线段的长就是 ．简单地说， 就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段．
四、例题讲解
例1 判断直线 y=2x-2 与椭圆是否有公共点，如有，求出公共点的坐标.如公共点有两个，求出以这两个公共点为端点的线段长.
例2 已知直线l ：与椭圆C：，分别求直线 l 与椭圆有两个公共点、只有一个公共点和没有公共点时m的取值范围
例3 判断直线l：y=x+1 与双曲线C：x2-y2=1 是否有公共点.如果有，求出公共点坐标.
例4 已知点A(0，2)和抛物线C：y2=6x，求过点A且与抛物线C相切的直线l的方程.
总结：
一般地，直线与圆锥曲线有两个公共点时，则以这两个公共点为端点的线段称为圆锥曲线的一条弦，线段的长就是弦长．
简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段
例5 已知直线 l 的方程：y = x-2与抛物线C：x2 = -6y相交于A ，B两点，且O为坐标原点.
(1)求弦长|AB|；
(2)判断是否成立，并说明理由.
五、课堂练习
1.直线与椭圆（）的位置关系为( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定
2.已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交
3.直线l过抛物线()的焦点，且与C交于A，B两点，若使的直线l恰有2条，则p的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.直线过点且与双曲线仅有一个公共点，则这样的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
5.若P为抛物线上的动点，F为该抛物线的焦点，则的最小值为( ).
A.2 B.1 C. D.
6.已知椭圆的右焦点为F，过点F的直线交椭圆交于A，B两点，若的中点，且直线的倾斜角为，则此椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
7.设抛物线的焦点为F，直线l过点F且与C交于A，B两点.若，则l的方程为( )
A.或 B.或
C.或 D.或
8.直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是________.
9.已知点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上，O为坐标原点，若的面积为2，则O到直线的距离为______.
10.直线过定点，且与双曲线有且只有一个公共点，则这样的不同直线的条数为__________.
六、课后练习
1.若过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，O是抛物线的顶点，则是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能
2.斜率为1的直线与双曲线交于A，B两点，若线段的中点为，则( )
A. B. C. D.
3.已知抛物线，直线l过点且与抛物线C有且仅有一个公共点，则直线l的条数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与E交于A，B两点，点M为线段的中点，若点M的横坐标为p，，则( )
A.2 B.3 C.4 D.6
5.某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示.已知隧道高为，宽为，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线.若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的最大值为( )
A. B. C. D.
6.设经过点的直线与抛物线相交于A，B两点，若线段中点的横坐标为2，则( )
A.4 B.5 C.6 D.7
7.已知抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，则( )
A.8 B. C.16 D.32
8.已知双曲线，过点作直线与双曲线C有且只有一个交点，这样的直线可以作________条（填“条数”）.
9.已知点P是抛物线上一点，则点P到直线的最短距离是______.
10.过椭圆内一点引一条直线与椭圆相交于A，B两点.若M是线段的中点，则直线的斜率__________.
答案及解析
三、知识梳理
1.相交 相切 相离
2.相切 充要条件 充分条件
3.一条弦 弦长 圆锥曲线的弦
四、例题讲解
例题1
解：联立方程组得：解得：或
因此直线与椭圆有两个公共点，且公共点的坐标为
从而可知所求线段长为
例题2
解：联立直线l的方程与椭圆C的方程得方程组，
消去y，整理得①
因为①的判别式为
所以
①当 ＞0时，解得 ，方程有两个不同实数解，直线与椭圆有两个公共点；
②当 =0时，解得 ，方程有两个相同实数解，直线与椭圆有一个公共点；
③当 <0时，解得，方程无实数解，直线与椭圆无公共点.
例题3
解：联立直线与双曲线的方程，可得方程组消去 y 得：
，解得 x = -1.此时，y = 0.
因此直线与双曲线有一个公共点，且公共点的坐标为(-1，0).
例题4
解：当直线 的斜率不存在时，
由直线 过点 可知，直线 就是 轴，其方程为 .
由 消去未知数 得 .
这是一个一元二次方程且只有唯一的实数解，
所以直线 与抛物线 相切.
如果直线 的斜率存在，则设直线 的方程为 .
由方程组 消去 ，整理得 .
为了使得这个方程是一元二次方程且只有一个实数解，必须有
，因此可解得.
此时直线 的方程为，即 .
综上可知，直线 的方程为 或 .
例题5
解：(1)设，则
因为 都是直线 y = x-2 上的点
所以，第二式减去第一式可得
从而
又因为从方程组中消去y，整理可得
而且x1、x2是该方程的两个根，因此由韦达定理可知
所以因此，即
(2)设，则
将 y1= x1 - 2， y2 = x2-2 代入上式可得
又因为
不成立
五、课堂练习
1.答案：C
解析：因为直线过点，
而，为椭圆的右端点和上端点，
故直线与椭圆相交.
故选：C.
2.答案：C
解析：由，得，化简得，
因为，
所以方程无解，
所以直线与椭圆的位置关系是相离，
故选：C.
3.答案：A
解析：当AB垂直于x轴时，A，B两点坐标为，此时，所以.故选：A.
4.答案：C
解析：根据双曲线方程可知，点即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点.故过点且与双曲线仅有一个公共点的直线有3条.
5.答案：D
解析：由抛物线的性质知，焦点到抛物线上一点距离最小的点为抛物线顶点，而，得，所以的最小值为.
故选：D.
6.答案：A
解析：， ，令，，则，
，， ，.
故选：A.
7.答案：C
解析：由抛物线方程知焦点，准线，由题可设直线，
代入中消去x，得.
设，.
由根与系数的关系得，，.
设，，
由解得，.，
直线l的方程为.
由对称性知，这样的直线有两条，即.
8.答案：
解析：直线方程可化为，故该直线恒过定点，
因为直线与椭圆恒有公共点，
则点在椭圆内或椭圆上，所以，，解得且，
所以，实数m的取值范围是.
故答案为：.
9.答案：
解析：，设，因为，所以，不妨取，则，，则，故O到距离为.
故答案为：.
10.答案：2
解析：因为点在渐近线上，所以这样的不同直线l的条数为2，一条与渐近线平行，另外一条（此时斜率不存在）与双曲线相切.
六、课后练习
1.答案：C
解析：设，，显然与y轴不垂直，
设方程为，代入抛物线方程得：，
，又，
，
，
是钝角，为钝角三角形．
故选：C．
2.答案：B
解析：设，
则，
两式相减并化简得，
，（负根舍去）.
故选：B
3.答案：C
解析：因为点在抛物线C外，显然过P可作两条直线与C相切，
过P可作一条与C的对称轴（即x轴）平行的直线，它与C也只有一个公共点.
所以满足条件的直线l有3条，
故选：C.
4.答案：C
解析：根据抛物线定义，点A，B到焦点F的距离分别等于它们到准线的距离，设，，则，，
由于M为中点，所以，
又因为，
代入得，解得，
故选：C.
5.答案：C
解析：以抛物线的顶点为原点，建立如图平面直角坐标系，
设抛物线方程为，
由图可知抛物线过点，代入抛物线方程，
得，解得，所以抛物线方程为.
因为车道宽2米，两车道中间有隔离带，车宽2米，
所以车行驶时，x的取值范围为.
当时，，
要使载货最高的货车通过隧道，货车高度的最大值为米.
故选：C
6.答案：C
解析：设，，A，B中点横坐标为，则，解得：;
.
故选：C.
7.答案：C
解析：焦点，直线l的方程为，
由，消去y并化简得，，
设，，所以，
所以.
故选：C
8.答案：4
解析：由题双曲线的渐近线方程为，
因为点在第四象限，在双曲线外，且不在渐近线上，
所以如图过点作与双曲线C有且只有一个交点的直线可以作出2条与双曲线右支相切的切线和2条分别与两条渐近线平行的直线.
故答案为：4.
9.答案：
解析：设，
则P到直线的距离为：
，
所以当时，距离取得最小值为.
故答案为：
10.答案：
解析：设，
则，
相减可得
，
故答案为：

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