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1.1集合的概念与表示方法
知识点讲解
1.元素的概念：一般的，我们把研究的对象叫做元素，用小写字母进行表示.
2.集合的概念：我们把所有元素所构成的整体叫做集合，用大写字母进行表示.
3.集合的三种表示方法：
（1）列举法：把所有的元素罗列出来，并且用括起来，例如
（2）描述法：一般的，设是一个集合，我们把集合中所有具有相同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法叫做描述法.
（3）图示法：Venn图，用一个封闭的曲线的内部表示集合.
4.元素与集合之间的关系：.
5.常用的数集：
6.集合中元素的性质：确定性，互异性，无序性.
课后习题
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1.下列叙述能组成集合的是（ ）
A. 接近0的数
B. 数学成绩好的同学
C. 中国古代四大发明
D. 跑得快的运动员
2. 下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知集合A中的元素满足，则下列选项中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 由组成一个集合A，且A中含有3个元素，则实数的取值可以是（ ）
A. 1 B. -2
C. -1 D. 2
5. 若集合，且，则的值为（ ）
A. 0 B. 1
C. 0或1 D. 0或-1
6. 若，则的值是（ ）
A. 0 B. 1
C. -1 D.
7. 若以集合A中的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（ ）
A. 梯形 B. 平行四边形
C. 菱形 D. 矩形
8. 下列集合表示同一集合的是（ ）
A.
B.
C.
D.
9. 对于集合，若，则，那么的值为_____________.
10. 已知集合，则=__________，=___________.
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11. 用列举法表示下列集合:
（1）；
（2）.
12. 用描述法表示下列集合：
（1）不等式的解集；
（2）所有的偶数组成的集合；
（3）所有被3整除余数为1的数；
（4）方程.
13. 【多选题】已知集合M中的元素满足，其中，则下列实数中属于M集合的是（ ）
A. B.
C. D.
14.已知集合， ，，，若，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
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15. 定义，若，则中元素个数为（ ）
A. 1 B. 2
C. 4 D. 5
16. 已知集合，若集合A中至多有一个元素，求实数的取值范围.1.1集合的概念与表示方法
1.下列叙述能组成集合的是（ ）
A. 接近0的数
B. 数学成绩好的同学
C. 中国古代四大发明
D. 跑得快的运动员
【答案】C
【详解】选项ABD缺乏统一的判断标准，均不满足确定性，故ABD错误；选项C的中国古代四大发明是确定的，符合确定性，所以能构成集合，因此C正确。
2.下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【详解】选项A中，-3不是正整数，A错误；选项C，是分数，不是整数，C错误；选项D，0是自然数，D错误；选项B中，是无理数，因此一定是实数，B正确。
3.已知集合A中的元素满足，则下列选项中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【详解】由解得，因为5>3，-4<3，故，因此A 正确。
4.由组成一个集合A，且A中含有3个元素，则实数的取值可以是（ ）
A. 1 B. -2
C. -1 D. 2
【答案】C
【详解】由题意知，，解得且，结合选项看，C正确。
5.若集合，且，则的值为（ ）
A. 0 B. 1
C. 0或1 D. 0或-1
【答案】B
【详解】由题意可知，或，解得或。当时，不满足集合的互异性，舍去；当时成立，因此选项B正确。
6.若，则的值是（ ）
A. 0 B. 1
C. -1 D.
【答案】C
【详解】因为，所以可得①或②，由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去；符合题意，因此。
7.若以集合A中的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（ ）
A. 梯形 B. 平行四边形
C. 菱形 D. 矩形
【答案】A
【详解】由集合元素的互异性可得a,b,c,d互不相等。所以四边形的四条边可能为梯形，选项A正确。
8.下列集合表示同一集合的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【详解】对于A，两个集合都为点集，但和是不同点，故M,N为不同集合，A错误；
B中M是点集，N是数集，故M,N为不同集合，B错误；C中M是数集，N是点集，故M,N为不同集合，C错误；D中，故M,N 为同一集合，D正确。
9.对于集合，若，则，那么的值为_____________.
【答案】2或4
【详解】当时，；当时，；当时，，所以或。
10.已知集合，则=__________，=___________.
【答案】，
【详解】由，知方程有两实根，由根与系数的关系得
11.用列举法表示下列集合:
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）
【详解】
（1）
（2）
12.用描述法表示下列集合：
（1）不等式的解集；
（2）所有的偶数组成的集合；
（3）所有被3整除余数为1的数；
（4）方程.
【答案】（1）；（2）
（3）；（4）
【详解】
用描述法表示不等式的解集，即，化简后为；
设为偶数，那么可以表示为），所有偶数组成的集合用描述法表示为；
设这个整数为，因为被3除余1，所以可以表示为，所有被3整除余数为1的整数组成的集合用描述法表示为；
对于方程，因为一个数的平方是非负的，要使两个非负数的和为0，则这两个数都为0；因此可得，解得。
方程的解集用描述法表示为即。
13.【多选题】已知集合M中的元素满足，其中，则下列实数中属于M集合的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABCD
【详解】0=0+×0；-1=-1+×0；；=2×（3+2）=6+，都在集合M中。
14.已知集合， ，，，若，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】
15.定义，若，则中元素个数为（ ）
A. 1 B. 2
C. 4 D. 5
【答案】D
【详解】，所以集合元素有5个，D正确。
16.已知集合，若集合A中至多有一个元素，求实数的取值范围.
【答案】
【详解】集合A中的元素即为方程的解，所以求集合中元素个数的问题实际上是求方程解的个数问题。已知集合A中至多含有一个元素，即方程有唯一解或无解。
当a=0时，方程为，方程有唯一解，符合题意；
当a≠0时，根据题意有，解得；
所以实数a的取值范围是

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