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1.3.2空间向量运算的坐标表示
一、选择题
1．已知a＝(1，2，2)，b＝(1，4，t)，若a·b＝1，则t＝(　　)
A．－ B．－4
C．4 D．
2．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A(2，－1，1)，B(1，1，2)，若点C与点B关于平面Ozx对称，则||＝(　　)
A．
C．
3．(多选)已知向量a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)，则下列说法正确的是(　　)
A．a＋b＝(0，1，3) B．|a|＝3
C．a·b＝2 D．cos 〈a，b〉＝
4．已知a＝(1－t，2－t，t)，b＝(2，t，t)，则|a－b|的最小值为(　　)
A．
C．
5．已知空间三点O(0，0，0)，A(－1，1，0)，B(0，2，2)，在直线OB上有一点H满足AH⊥OB，则点H的坐标为(　　)
A．
C．
6．(多选)已知点P是△ABC所在的平面外一点，若＝(－2，1，4)，＝(1，－2，1)，＝(4，2，0)，则(　　)
A．AP⊥AB B．AP⊥BP
C．BC＝ D．AP⊥BC
7．(多选)已知向量a＝(1，1，－1)，b＝(1，－1，)，则(　　)
A．向量c＝是与向量a方向相反的单位向量
B．|a|＝|b|
C．向量a，b的夹角的大小为
D．若向量m＝(3，1，－2)＝xa＋yb(x，y为实数)，则x－y＝－1
二、填空题
8．已知a＝(2，x，－1)，b＝(1，2，0)，a·b＝2，则|a|＝________．
9．已知向量a＝(－1，2，3)，b＝(1，－2，－1)，若a⊥(a＋λb)，则实数λ的值为________．
10．在空间直角坐标系中已知A(1，2，1)，B(1，0，2)，C(－1，1，4)，CD为△ABC的边AB上的高，则CD＝________．
11．已知空间向量a＝(－1，2，4)，b＝(1，－4，2)，c＝(x，4，z)．
(1)若(a＋2b)⊥c，且x＝2，则z＝________；
(2)若a，b，c共面，在以下三个条件中①x＝1，②x＝0，③x＝－2选取一个作为已知，则z的值可以为 ________．
三、解答题
12．已知向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，a∥b，b⊥c.
(1)求向量a，b，c；
(2)求向量a＋c与b＋c所成角θ的余弦值．
13．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．
(1)求AC与PB所成角的余弦值；
(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，求N点的坐标．
14．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD．在四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝，∠CDA＝45°．设AB＝AP，在线段AD上是否存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由．
答案解析
1．B　[因为a＝(1，2，2)，b＝(1，4，t)，
所以a·b＝1＋8＋2t＝1，解得t＝－4．
故选B．]
2．A　[因为点B(1，1，2)，又点C与点B关于平面Ozx对称，可得C(1，－1，2)，
则向量＝(－1，0，1)，所以|．
故选A．]
3．AD　[对于A，∵向量a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)，
∴a＋b＝(0，1，3)，故A正确；
对于B，|a|＝，故B错误；
对于C，a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)，
由数量积的定义得a·b＝1×(－1)＋1×0＋1×2＝1，故C错误；
对于D，|b|＝，
∴cos＝，故D正确．故选AD．]
4．D　[由题意得a－b＝(－1－t，2－2t，0)，
∴|a－b|＝＝≥，
当且仅当t＝时取等号，∴|a－b|的最小值为．
故选D．]
5．D　[由题意知：＝(－1，1，0)，＝(0，2，2)，
设＝(0，2λ，2λ)(λ∈R)，∴＝(1，2λ－1，2λ)，
∵AH⊥OB，∴·＝0＋2(2λ－1)＋4λ＝0，解得λ＝，
∴，又O(0，0，0)，∴H．故选D．]
6．ACD　[因为＝(－2，1，4)，＝(1，－2，1)，＝(4，2，0)，
对于A，由·＝－2×1＋1×(－2)＋4×1＝0，所以⊥，即AP⊥AB，选项A正确；
对于B，由＝(3，－3，－3)，可得·＝3×1＋(－3)×(－2)＋(－3)×1＝6≠0，
所以不垂直，即AP与BP不垂直，选项B错误；
对于C，由＝(6，1，－4)，可得|，即BC＝，选项C正确；
对于D，由·＝1×6＋(－2)×1＋1×(－4)＝0，所以⊥，即AP⊥BC，选项D正确．
故选ACD．]
7．AC　[对于A，因为a＝(1，1，－1)，c＝，所以a＝－c，且|c|＝＝1，选项A正确；
对于B，由|a|＝，|b|＝，得|a|＝|b|，选项B错误；
对于C，由a·b＝1－1－，得cos＝，可得向量a，b的夹角的大小为，选项C正确；
对于D，由m＝xa＋yb，即(3，1，－2)＝x(1，1，－1)＋y(1，－1，)，即解得x＝2，y＝1，所以x－y＝1，选项D错误．故选AC．]
8．　[因为a＝(2，x，－1)，b＝(1，2，0)，a·b＝2，
所以2＋2x＝2，解得x＝0，
所以|a|＝．]
9．　[因为a＝(－1，2，3)，b＝(1，－2，－1)，
则a2＝(－1)2＋22＋32＝14，a·b＝(－1)×1＋2×(－2)＋3×(－1)＝－8，因为a⊥(a＋λb)，
所以a·(a＋λb)＝a2＋λa·b＝14－8λ＝0，
解得λ＝，所以实数λ的值为．]
10．3　[因为A(1，2，1)，B(1，0，2)，C(－1，1，4)，
则＝(－2，－1，3)，＝(0，－2，1)，
故·＝5，|，|，
，
因为CD为△ABC的边AB上的高，
则在Rt△ADC中，CD＝＝3．]
11．(1)　(2)－22或－12或8(写出其中任意一个即可)　[(1)当x＝2时，c＝(2，4，z)，
因为a＝(－1，2，4)，b＝(1，－4，2)，
所以a＋2b＝(1，－6，8)，
因为(a＋2b)⊥c，所以(a＋2b)·c＝1×2－6×4＋8z＝0，
解得z＝．
(2)因为a，b，c共面，
所以由空间向量基本定理可知，c＝λa＋μb，
选①x＝1，则(1，4，z)＝(－λ，2λ，4λ)＋(μ，－4μ，2μ)＝(－λ＋μ，2λ－4μ，4λ＋2μ)，
故解得z＝－22．
选②x＝0，则(0，4，z)＝(－λ，2λ，4λ)＋(μ，－4μ，2μ)＝(－λ＋μ，2λ－4μ，4λ＋2μ)，
故解得z＝－12．
选③x＝－2，则(－2，4，z)＝(－λ，2λ，4λ)＋(μ，－4μ，2μ)＝(－λ＋μ，2λ－4μ，4λ＋2μ)，
故解得z＝8．
综上所述，z的值可以为－22或－12或8．]
12．解：(1)∵向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，且a∥b，b⊥c，
∴解得x＝－1，y＝－1，z＝1，
∴向量a＝(－1，1，2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3，1，1)．
(2)∵a＋c＝(2，2，3)，b＋c＝(4，0，－1)，
∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，
|a＋c|＝，|b＋c|＝，
∴a＋c与b＋c所成角的余弦值为
cos θ＝．
13．解：
(1)由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，E，从而＝(，1，0)，＝(，0，－2)．
设所成的夹角为θ，则
cos θ＝．
∴AC与PB所成角的余弦值为．
(2)由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x，0，z)，则，
由NE⊥平面PAC，可得
即
化简得∴
即N点的坐标为时，NE⊥平面PAC．
14．解：∵PA⊥平面ABCD，且AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AD．
∵AB⊥AD，∴AP，AB，AD两两垂直．
∴以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．
在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD．
在Rt△CDE中，DE＝CD·cos 45°＝1，CE＝CD·sin 45°＝1．
设AB＝AP＝t，则B(t，0，0)，P(0，0，t)．
由AB＋AD＝4，得AD＝4－t，
∴E(0，3－t，0)，C(1，3－t，0)，D(0，4－t，0)．
假设在线段AD上存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等．
设G(0，m，0)(其中0≤m≤4－t)，则＝(1，3－t－m，0)，＝(0，4－t－m，0)，＝(0，－m，t)，＝(t，－m，0)．
由||，得12＋(3－t－m)2＝(4－t－m)2，即t＝3－m．①
由||，得(4－t－m)2＝m2＋t2．②
由①②消去t，化简得m2－3m＋4＝0．③
由于方程③没有实数根，所以在线段AD上不存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等．

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