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1.4.1.2空间中直线、平面的平行
一、选择题
1．已知直线l的方向向量为a＝(1，2，－2)，平面α的一个法向量为n＝(2，4，m)，若l∥α，则m等于(　　)
A．5 B．2
C． D．－4
2．(多选)设a，b分别是不重合直线l1，l2的方向向量，则根据下列条件能判断l1∥l2的是(　　)
A．a＝，b＝(－2，－4，0)
B．a＝(4，6，－2)，b＝(－2，－3，1)
C．a＝(5，0，2)，b＝(0，1，0)
D．a＝(－2，－1，1)，b＝(4，－2，－8)
3．已知平面α的一个法向量为(1，2，－2)，平面β的一个法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于(　　)
A．2 B．－4
C．4 D．－2
4．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
5．如图所示，已知正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为(　　)
A．(1，1，1) B．
C．
6．已知向量a＝(3，6，7)，b＝(4，m，n)，且向量a，b分别为直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(　　)
A．m＝8，n＝28 B．m＝4，n＝28
C．m＝8，n＝ D．m＝4，n＝
7．已知直线l的方向向量是a＝(3，2，1)，平面α的一个法向量是u＝(－1，2，－1)，则l与α的位置关系是(　　)
A．l⊥α
B．l∥α
C．l与α相交但不垂直
D．l∥α或l α
二、填空题
8．已知直线l的方向向量为(1，m，2)，平面α的一个法向量为(3，－1，1)，且l∥α，则m＝________．
9．若a＝是平面α的一个法向量，且b＝(－1，2，1)，c＝均与平面α平行，则向量a＝________．
10．已知a＝(0，1，m)，b＝(0，n，－3)分别是平面α，β的法向量，且α∥β，则mn＝________．
11．已知平面α与平面ABC是不重合的两个平面，若平面α的一个法向量为m＝(2，－1，4)，且＝(2，0，－1)，＝(1，6，1)，则平面α与平面ABC的位置关系是________．
三、解答题
12．在一个正方体ABCD-A1B1C1D1木块上，已知M，N分别是CC1，B1C1的中点，试判断直线MN与平面A1BD有无交点．
13．如图所示，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点．求证：
(1)MN∥平面PAD；
(2)平面QMN∥平面PAD．
14．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD．若PA＝AB＝BC＝AD．
问：侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明；若不存在，请说明理由．
答案
1．A　[根据题意，因为l∥α，且直线l的方向向量为a＝(1，2，－2)，平面α的一个法向量为n＝(2，4，m)，所以a⊥n，所以a·n＝0，则有1×2＋2×4＋(－2)×m＝0，解得m＝5．故选A．]
2．AB　[对于A，易知a＝－b，所以l1∥l2，A正确；对于B，a＝－2b，所以l1∥l2，B正确；对于选项C、D，由于a与b不共线，所以不能判断l1∥l2．故选AB．]
3．C　[因为α∥β，所以，所以k＝4．]
4．B　[如图，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
因为A1M＝AN＝a，
所以M，N，
所以．
又C1(0，0，0)，D1(0，a，0)，所以＝(0，a，0)，
所以·＝0，所以⊥．
因为是平面BB1C1C的一个法向量，且MN 平面BB1C1C，
所以MN∥平面BB1C1C．]
5．C　[∵M在EF上，∴不妨设ME＝x，则M，
∵A(，0)，D(，0，0)，E(0，0，1)，B(0，，0)，
∴＝(，0，－1)，＝(0，，－1)，．设平面BDE的法向量为n＝(a，b，c)，
易求其中一个法向量为n＝(1，1，)，
∴有n·＝0，即＝0，
∴，∴x＝1．
∴M，故选C．]
6.C　[因为l1∥l2，且a＝(3，6，7)，b＝(4，m，n)分别为l1，l2的方向向量，所以＝＝，解得m＝8，n＝．故选C．]
7.D　[因为a·u＝－3＋4－1＝0，所以a⊥u．
所以l∥α或l α．故选D．]
8．5　[根据题意，设直线l的方向向量为a＝(1，m，2)，
平面α的一个法向量为b＝(3，－1，1)，
若l∥α，必有a⊥b，则有a·b＝3－m＋2＝0，解得m＝5．]
9．　[由题意知
即
解得∴a＝．]
10．－3　[根据题意，若α∥β，则有a∥b，设a＝kb，即(0，1，m)＝k(0，n，－3)，则有变形可得mn＝－3．]
11.平行　[根据题意，平面α的一个法向量为m＝(2，－1，4)，且＝(2，0，－1)，＝(1，6，1)，则有m·＝2×2－4＝0，则m⊥，同理m·＝2－6＋4＝0，
则m⊥，故m也是平面ABC的法向量，必有平面α∥平面ABC．]
12．解：直线MN与平面A1BD无交点，MN∥平面A1BD．
法一：如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，M，N，于是＝(1，0，1)，＝(1，1，0)，．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取x＝1，则y＝－1，z＝－1，
∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．
又·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴⊥n．又MN 平面A1BD，∴MN∥平面A1BD．
法二：∵()＝，∴∥．
又MN 平面A1BD，∴MN∥平面A1BD．
法三：()－()＝，即线性表示，∴是共面向量．
又MN 平面A1BD，∴MN∥平面A1BD．
13．证明：(1)以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝b，AD＝d，则A(0，0，0)，B(b，0，0)，D(0，d，0)，P(0，0，d)，C(b，d，0)．因为M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点，所以M，N，Q，所以．
因为平面PAD的一个法向量为m＝(1，0，0)，所以·m＝0，即⊥m，因为MN 平面PAD，所以MN∥平面PAD．
(2)由(1)知，＝(0，－d，0)，所以·m＝0，所以⊥m，又由(1)知⊥m，所以m也是平面QMN的一个法向量，所以平面QMN∥平面PAD．
14．解：在PA上存在中点E，使得BE∥平面PCD．证明如下：
因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD．
又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PA⊥底面ABCD．又因为∠BAD＝90°，所以AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AD＝2，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)．
设侧棱PA的中点是E，则E．
设平面PCD的法向量是n＝(x，y，z)，则
因为＝(－1，1，0)，＝(0，2，－1)，所以
取x＝1，则y＝1，z＝2，
所以平面PCD的一个法向量为n＝(1，1，2)．
所以n·＝(1，1，2)·＝0，所以n⊥．
因为BE 平面PCD，所以BE∥平面PCD．
综上所述，当E为PA的中点时，BE∥平面PCD．

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