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4.1.3独立性与条件概率的关系
学习目标
理解事件独立性与条件概率的关系
掌握事件独立性的充要条件，并能借助其解决相应问题
重难点
重点：事件独立性判断，能借助其解决相应问题
难点：利用事件独立性解决相应问题
新知识导入
A与B相互独立（简称为独立）的充要条件是：P(AB)= P(A) P(B)，
且A与B独立的直观理解是：事件A(事件B)发生与否不影响事件B(事件A)发生的概率.
那么，这个直观理解的数学含义是什么？
假设P(A)>0且P(B)>0 ，在A与B独立的前提下，通过条件概率的计算公式考察P(A|B)与P(A)之间的关系以及P(B|A)与P(B)之间的关系.
此时事件A发生的概率与已知事件B发生时事件A发生的概率相等.
即事件B的发生，不会影响事 A发生的概率.
三、知识梳理
1.当 时，事件 A 与事件 B 独立的充要条件是 .
2.多个事件之间的相互独立也可借助条件概率来理解，“ 相互独立”也可说成“ 相互不影响”.需要强调的是，同以前一样，实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若可认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立；已知事件相互独立时，根据每个事件发生的概率可以方便地求出它们同时发生的概率.
四、例题讲解
例1 已知某大学数学专业二年级的学生中，是否有自主创业打算的情况如下表所示，
男生/人 女生/人
有自主创业打算 16 15
无自主创业打算 64 60
从这些学生中随机抽取一人:
(1)求抽到的人有自主创业打算的概率；
(2)求抽到的人是女生的概率；
(3)若已知抽到的人是女生，求她有自主创业打算的概率；
(4)判断“抽到人是女生” 与“抽到人有自主创业打算” 是否独立.
例2 已知甲、乙、丙三人参加驾照考试时，通过的概率分别为0.8，0.9，0.7，而且这三人之间的考试互不影响.求：
(1)甲、乙、丙都通过的概率；
(2)甲、乙通过且丙未通过的概率.
例3 在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度.现有甲、乙、丙三个部件组成的一个如图所示的系统，已知当甲正常工作，且乙、丙至少有一个能正常工作时，系统就能正常工作.各部件的可靠度均为r(0(1)各个部件是否正常工作是相互独立的吗？
(2)系统能正常工作可以表示为哪些互斥事件的和？用合适的符号表示出来.
五、课堂练习
1.2020年1月，教育部发布《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式．某高校笔试环节要求考生参加三个科目考核，考生通过三个科目的笔试考核才能进入面试环节．考生甲通过三个科目的笔试考核的概率分别为，，且每个科目考核相互独立，则甲顺利进入面试环节的概率为( )
A. B. C. D.
2.第19届亚运会正在杭州举行，运动员甲就近选择A餐厅或者B餐厅就餐，第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7;如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.5，运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为( )
A.0.75 B.0.6 C.0.55 D.0.45
3.甲、乙两所学校举行了某次联考，甲校成绩的优秀率为30%，乙校成绩的优秀率为35%，现将两所学校的成绩放到一起，已知甲校参加考试的人数占总数的40%，乙校参加考试的人数占总数的60%，现从中任取一个学生成绩，则取到优秀成绩的概率为( )
A.0.165 B.0.16 C.0.32 D.0.33
4.讲台上有左、右两盒粉笔，左盒中有20支白色粉笔、5支黄色粉笔，右盒中有5支红色粉笔、6支黄色粉笔、4支蓝色粉笔.某位老师从这两盒中取粉笔，取自左盒的概率为40%，取自右盒的概率为60%.若这位老师从这两盒粉笔中任取一支，则取到黄色粉笔的概率为( )
A.0.275 B.0.28 C.0.32 D.0.6
5.甲，乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为，，两人的检测成绩互不影响，则两人的检测成绩都为优秀的概率为( )
A. B. C. D.
6.随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的3倍，和谐号列车的正点率为0.98，复兴号列车的正点率为0.99，则一列车能正点到达该车站的概率为( )
A.0.9825 B.0.9833 C.0.9867 D.0.9875
7.甲、乙两人参加学校组织的“劳动技能通关”比赛，已知甲通关的概率为，乙通关的概率为，且甲和乙通关与否互不影响，则甲、乙两人都不通关的概率为( ).
A. B. C. D.
8.为了全面落实双减政策，某中学根据学生身心特点开展了体育、艺术、阅读、劳动、手工五大主题的课后服务课程，学生可根据自己的兴趣爱好进行自主选择，有力促进了学生健康快乐的成长，已知学生甲、乙都选择了体育类的篮球，在一次篮球测试中，甲合格的概率为，乙合格的概率为，则甲、乙至少有一人合格的概率为( )
A. B. C. D.
9.某批产品中，来自甲厂的占，来自乙厂的占，甲、乙两厂的优等品的概率分别为0.7、0.3，则这批产品为优等品的概率为____________．
10.有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的次品率为5%，第2台车床加工的次品率为6%，加工出来的零件混放在一起.已知两台车床加工的零件数分别占总数的45%，55%，则任取一个零件是次品的概率为___.
六、课后练习
1.甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为，，，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为( )
A.14 B. C. D.
2.甲乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为和，在目标被击中的情况下，甲乙同时击中目标的概率为( )
A. B. C. D.
3.某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为( )
A.0.6 B.0.85 C.0.868 D.0.88
4.甲、乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为( )
A.0.02 B.0.28 C.0.72 D.0.98
5.已知某药店只有A，B，C三种不同品牌的N95口罩，甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌的N95口罩，若甲、乙买A品牌口罩的概率分别是0.2，0.3，买B品牌口罩的概率分别为0.5，0.4，则甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为( )
A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.26
6.（多选）甲 乙两名志愿者均打算高考期间去ABC三个考点中的一个考点做服务，甲去AB考点做服务的概率分别为0.4，0.3，乙去BC考点做服务的概率分别为0.5，0.2，则( )
A.甲去C考点做服务的概率为
B.甲去A考点 乙不去C考点做服务的概率为
C.甲 乙同去C考点做服务的概率为
D.甲 乙不去同一考点做服务的概率为
7.甲、乙两人从九寨沟、峨眉山和青城山这三个景点中各选择其中一个景点游玩，已知甲、乙两人选择三个景点游玩的概率分别是，，和，，，则甲、乙两人选择相同的景点游玩的概率为________.
8.天气预报元旦假期甲地降雨的概率是0.2，乙地降雨的概率是0.3，假定在这段时间内两地之间是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为____________.
9.已知独立，且，则___________.
10.已知独立，且，则___________.
答案及解析
三、知识梳理
1.
四、例题讲解
例题1
解：由题意可知，所有学生人数为16+15+64+60=155.
记 A 为“抽到的人有自主创业打算”，B为“抽到的人是女生”
(1)因为有自主创业打算的人数为 16+15 = 31，
因此抽到的人有自主创业打算的概率为P(A)
(2)因为女生人数为 15+60 = 75，
因此抽到的人是女生的概率为P(B)
(3)75名女生中有15人有自主创业打算，
因此P(A|B)= 15/75=1/5.
(4)有(1)和(3)的计算结果可知 P(A|B)=P(A) ，
因此“抽到的人是女生” 与“抽到的人有自主创业打算”独立.
例题2
解：用A，B，C分别表示甲、乙、丙驾照考试通过.
则可知A，B，C相互独立.且P(A)=0.8， P(B)=0.9， P(C)=0.7.
(1) 甲、乙、丙都通过可用ABC表示，因此所求概率为
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.8×0.9×0.7=0.504.
甲、乙通过且丙未通过可用表示，
因此所求概率为
例题3
解：用A、B、C分别表示甲、乙、丙能正常工作，D表示系统能正常工作.
(1)
由题意可知，系统能正常工作时，可分为三种互斥的情况：
①甲、乙、丙都正常工作，即ABC；
②甲、丙正常工作，且乙不正常工作，即；
③甲、乙正常工作且丙不正常工作，即 .
因此 D=.
因为甲、乙、丙互不影响，所以A、B、C相互独立.而且
(2)由互斥事件概率的加法公式以及独立性可知
五、课堂练习
1.答案：A
解析：记甲通过三个科目的笔试考核分别为事件A，B，C，
显然A，B，C为相互独立事件，
则事件“甲通过三个科目的笔试考核”相当于事件，
所求概率．
故选：A．
2.答案：B
解析：运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为，
故选：B.
3.答案：D
解析：由题意得：将两所学校的成绩放到一起，从中任取一个学生成绩，
取到优秀成绩的概率为，
故选：D.
4.答案：C
解析：.
故选：C.
5.答案：D
解析：甲，乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为，，两人的检测成绩互不影响，则两人的检测成绩都为优秀的概率为
故选：D.
6.答案：A
解析：依题意，设到达该车站列车为和谐号列车的概率为，为复兴号列车的概率为，
则一列车能正点到达该车站的概率为.
故选：A.
7.答案：D
解析：甲、乙通关的事件分别记为A，B，事件A，B相互独立，，，
所以甲、乙两人都不通关的概率为.
故选：D.
8.答案：D
解析：依题意，测试中，甲乙是否合格相互独立，甲乙两人都不合格的概率为，
所以甲、乙至少有一人合格的概率为.
故选：D.
9.答案：0.66
解析：由题意可知，这批产品为优等品的概率为.
故答案为：0.66.
10.答案：5.55%/0.0555
解析：依题意，任取一个零件，求它是次品的概率为
.
故答案为：5.55%.
六、课后练习
1.答案：D
解析：设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是，，，
则不获一等奖的概率分别是，，，
则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为：
，
这三人都获得一等奖的概率为，
所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率.
故选：D.
2.答案：A
解析：记甲击中目标为事件A，乙击中目标为事件A，目标被击中为事件C，甲乙同时击中目标为事件D，由题意，
得，，
所以，
，
所以，
所以在目标被击中的情况下，甲乙同时击中目标的概率为.
故选：A.
3.答案：C
解析：设从仓库中随机提出的一台产品是合格品为事件B，
事件表示提出的一台产品是第i车间生产的，，2，
由题意可得，，，，
由全概率公式得
所以该产品合格的概率为0.868.
故选：C.
4.答案：D
解析：设事件A表示“甲雷达发现飞行目标”，事件B表示“乙雷达发现飞行目标”，
因为甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是和，
所以，
所以飞行目标被雷达发现的概率为.
故选：D
5.答案：C
解析：由题意，得甲、乙两人买C品牌口罩的概率都是0.3，所以甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为.
故选C.
6.答案：ABD
解析：对于A，甲去C考点做服务的概率为，故A正确，
对于B，甲去A考点 乙不去C考点做服务的概率为，故B正确，
对于C，甲 乙同去C考点做服务的概率为，故C错误，
对于D，乙去A考点做服务的概率为，
甲 乙不去同一考点做服务的概率为，
故选：ABD.
7.答案：/0.375
解析：由题意知甲，乙两人选择景点游玩相互独立，
所以甲、乙两人选择相同的景点游玩的概率为
故答案为：
8.答案：0.38
解析：设甲地降雨为事件，乙地降雨为事件，
则两地恰有一地降雨为，
故本题的正确答案为0.38
9.答案：
解析：因为独立，所以.
10.答案：
解析：因为独立，所以，又，所以，所以.

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