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4.2.2离散型随机变量的分布列
学习目标
理解离散型随机变量的分布列的概念
掌握离散型随机变量的分布列的表示方法和性质，会求离散型随机变量的分布列
了解两点分布及伯努利试验
重难点
重点：离散型随机变量的分布列的表示方法和性质，求离散型随机变量的分布列
难点：求离散型随机变量的分布列
新知识导入
已知随机变量X的取值范围是{0，1，2}，而且P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.4，P (X=2)=0.4
(1)求P(-1≤X≤1)与P(1≤X≤2)的值；
(2)如果a，b是给定的实数，则P(a ≤ X ≤ b)一定可以算出来吗？
（1）由于X 只能在0，1，2中取值，所以 1≤X≤1 等价于 X=0 或 X=1，
又因为 X=0 与 X=1互斥，
所以 P( 1≤X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=0.2+0.4=0.6；
类似地，1≤X≤2 等价于X=1 或 X=2，
而且P(1≤X≤2)=P(X=1)+P(X=2)=0.4+0.4=0.8；
（2）当实数 a，b 给定时，只要检查0，1，2是否满足 a≤X≤b 就可以求出 P(a≤X≤b).
对于离散型随机变量来说，如果已知其每一个取值的概率，那么也就对其有了比较全面的了解.
三、知识梳理
1.一般地，当离散型随机变量 X 的取值范围是 时，如果对任意 ，概率 都是已知的，则称 X 的 是已知的.离散型随机变量 X 的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为 X 的概率分布或 .
2.离散型随机变量的分布列必须满足：
，；
.
3.一般地，如果随机变量的分布列能写成上述表格的形式，则称这个随机变量服从参数为 p 的 （或 ）.
W 1 0
P
4.一个所有可能结果只有两种的随机试验，通常称为 .不难看出，如果将伯努利试验的结果分别看成“成功”与“不成功”，并设“成功”出现的概率为 p ，一次伯努利试验中“成功”出现的次数为 X ，则 X 服从参数为 p 的 ，因此两点分布也常称为 ，两点分布中的 p 也常被称为 .
四、例题讲解
例1 掷一个均匀的骰子，记所得点数为X.
（1）求 X 的分布列；
（2）求“点数大于3”的概率.
例2 抛掷一枚均匀的硬币3次，设正面朝上的次数为X.
(1)说明X=2表示的是什么事件，并求出P(X=2)；
(2)求X的分布列.
一般地，如果随机变量的分布列能写成如下表格的形式
W 1 0
P P 1-P
则称随机变量服从参数为p的两点分布(或0-1分布)
一个所有可能结果只有两种的随机试验，通常称为伯努利试验.
不难看出，如果将伯努利试验的结果分别看成“成功”与“不成功”，并设“成功”出现的概率为p，一次伯努利试验中“成功”出现的次数为X，则X服从参数为p的两点分布，因此两点分布也常称为伯努利分布，两点分布中的p也常被称为成功概率.
五、课堂练习
1.设随机变量的分布列如下表所示，则( )
1 2
P
A. B. C. D.或
2.若X服从两点分布，且，则( )
A. B. C. D.
3.以下是某离散型随机变量的分布列，则实数( )
X 0 1
P
A. B. C.或 D.1
4.已知随机变量X的取值为1，2，3，若，则( )
A. B. C. D.
5 下列选项中的随机变量服从两点分布的是( )（多选）
A.抛掷一枚骰子，所得点数X
B.某射手射击一次，击中目标的次数X
C.从装有除颜色外其余均相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球，设
D.某医生做一次手术，手术成功的次数X
6.若随机变量X的分布列为，则( )
A.12 B.10 C.9 D.8
7.设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X 2 3 4
P
则q等于( )
A.1 B. C. D.
8.随机变量的分布列如表格所示，其中，则b等于( )
-1 0 1
P a b c
A. B. C. D.
9.某射击选手射击环数的分布列为
X 7 8 9 10
P 0.3 0.3 a b
若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为________.
10.（多选）已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 4 6
P 0.2 m n 0.1
则下列选项正确的是( )
A. B.若，则
C.若，则 D.
六、课后练习
1.已知随机变量X的分布列为，，则( )
A. B. C. D.
2.随机变量X的分布列为，，，m为常数，则( )
A. B. C. D.
3.下表是离散型随机变量的概率分布，则( )
1 2 3 4
P
A. B. C. D.
4.已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X 0 1 2 3
P a
若离散型随机变量，则( )．
A. B. C. D.
5.设离散型随机变量X的概率分布为
X 0 1 2 3 4
P 0.15 0.15 0.15 0.25 m
若随机变量，则等于( )
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
6.设随机变量等可能地取1，2，3，4，…，10，又设随机变量，则( )
A.0.3 B.0.5 C.0.1 D.0.2
7.已知离散型随机变量X的分布列，则( )
A. B. C. D.
8.（多选）设随机变量的分布列为，（），则( )
A. B.
C. D.
9.设随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P k
则_____________．
10.（多选）已知随机变量X的分布列如下表：
X -1 0 1 2
P a b
若，则( )
A. B. C. D.
答案及解析
三、知识梳理
1.概率分布 分布列
2.1
3.两点分布 0-1分布
4.伯努利试验 两点分布 伯努利分布 成功概率
四、例题讲解
例题1
解：（1）因为X的取值范围：{1，2，3，4，5，6}；
而且 P(X=n)=1/6，n=1，2，3，4，5，6，
因此X的分布列如下表所示.
（2）“点数大于3”等价于 X ＞3，也就是说，X 可取4，5，6中的任何一个值，因此所求概率为 P(X＞3)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=1/2.
例题2
解：(1) X=2表示的事件是“恰有2次正面朝上”
因为抛一枚均匀的硬币3次，总共有2×2×2=8种不同的情况
其中恰有两次正面朝上的情况共 =3种，
因此P(X=2)=3/8.
(2)根据题意可知，X 的取值范围是{0，1，2，3}，
P(X=0)=1/8，P(X=1)=3/8，P(X=3)=1/8.
五、课堂练习
1.答案：C
解析：由题意可得解得.
故选：C.
2.答案：C
解析：依题意可得，解得.
故选：C
3.答案：C
解析：根据分布列的性质可知:或，
故选：C
4.答案：C
解析：根据分布列的性质，因为随机变量X的取值为1，2，3，
所以，
因此.
故选：C.
5.解析：由题意可知B，C，D中的随机事件只有两种结果0或1，
所以随机变量均服从两点分布，而抛掷一枚骰子，
所得点数X的所有取值为1，2，3，4，5，6，
所以A中的随机变量不服从两点分布.故选BCD.
6.答案：B
解析：根据分布列中概率之和为1，列方程得：，即，
解得.
故选：B.
7.答案：C
解析：依题意，
即，解得，
经检验可知，符合题意.
故选：C.
8.答案：A
解析：根据题意，
由分布列可得：
解可得：.
故选：A
9.答案：
解析：由表格中的数据可知.
故答案为：40%.
10.答案：ABD
解析：对于A中，由分布列的性质，可得，解得，所以A正确；
对于B中，若，可得，则，故B正确；
对于C中，由概率的定义知，所以C不正确；
对于D中，由，，则，所以D正确.
故选：ABD.
六、课后练习
1.答案：C
解析：由题意可得.
故选：C.
2.答案：D
解析：由题意可得：，
所以，
所以，
故选：D
3.答案：B
解析：由题意可得，解得，
所以.
故选：B.
4.答案：A
解析：由分布列的性质可知：，解得，
由，等价于，由表可知；
故选：A.
5.答案：A
解析：由，得，
所以.
故选：A.
6.答案：A
解析：因为随机变量等可能地取1，2，3，4，…，10，所以，
所以等可能地取1，3，5，7，…，19，则，所以.
故选：A.
7.答案：A
解析：由离散型随机变量X的分布列，则，，由可得或，故.
故选：A.
8.答案：ABC
解析：选项A，由已知可得，，即，故该选项正确；
选项B，，故该选项正确；
选项C，，故该选项正确；
选项D，，故该选项错误.故选：ABC.
9.答案：
解析：由题意可得，解得，
则.
故答案为：0.7.
10.答案：AD
解析：依题意，，所以.故选：AD.

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