资源简介

4.2.5正态分布
学习目标
了解正态曲线的概念及性质
了解正态分布的概念，理解正态分布的均值、方差及其含义
了解标准正态分布的概念及性质，并借助查表求出相应的概率值.
重难点
重点：理解正态分布的均值、方差及其含义、性质，会求相应的均值、方差
难点：正态分布的均值、方差，3事件判断
新知识导入
已知 X 服从参数为 100，0.5的二项分布，即X~B(100，0.5)，你能手工计算出 P(X=50)的值吗？
如果要手工计算 P(X=50)，是一个“几乎不可能”完成的任务，即使是一般的计算器也难以胜任类似的计算.
是否存在一个函数φ(x)，它对应的图象能够近似呢？
如果这样的函数存在的话，要计算X落在某区间内的概率，只需计算对应曲线与x轴在适当区间所围成的面积即可.
三、知识梳理
1.由，知 的解析式中含有 和 两个参数，其中：，即 X 的均值； ，即 X 的标准差. 一般地， 对应的图象称为
（也因形状而被称为“ ”， 也常常记为 ）.
2.正态曲线的性质：
（1）正态曲线关于 对称（即 决定正态曲线 的位置），具有 的特点；
（2）正态曲线与 x 轴所围成的图形面积为 ；
（3） 决定正态曲线的“胖瘦”： 越大，说明标准差越大，数据的集中程度 ，所以曲线越“胖”； 越小，说明标准差越小，数据的集中程度 ，所以曲线越“瘦”.更进一步，利用计算机软件可计算出，正态曲线与 x 轴在区间 内所围面积约为0.3413，在区间 内所围面积约为0.1359，在区间 内所围面积约为0.0215，如图所示.
3.一般地，如果随机变量 X 落在区间 内的概率，总是等于 对应的正态曲线与 x 轴在区间 内围成的面积，则称 X 服从参数为 与 的 ，记作 ，此时 称为 X 的 . 更进一步的研究表明，此时 是 X 的 ，而 是 X 的 ， 是 X 的 .
4. 且 的正态分布称为 ，其在正态分布中扮演着核心角色，这是因为如果 ，那么令，则可以证明 ，即任意正态分布通过变换都可化为 .
四、例题讲解
例1 求正态曲线与x轴在下列区间内所围面积(精确到0.001).
(1)[μ，+∞)； (2)[μ -σ ，μ+σ]； (3)[μ-2σ，μ+2σ]； (4)[μ-3σ，μ+3σ].
例2 假设某地区高二学生的身高服从正态分布，且均值为170(单位：cm，下同)，标准差为10.在该地区任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高：
(1)不高于170的概率；
(2)在区间[160，180]内的概率；
(3)不高于180的概率.
例3 某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布N(500，52)(单位：g).该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐，称得其质量均大于515g.
(1)求正常情况下，任意抽取一包食盐，质量大于515g的概率约为多少；
(2)检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由.
例4 已知X~N(0，1)，利用上述表格求以下概率值：
(1)P(X<0.28); (2)P(X < -0.36); (3)P(0.18≤X<0.57).
五、课堂练习
1.若随机变量，且，则的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.4
2.已知随机变量，，则( )
A.5 B.4 C.6 D.3
3.已知某批零件的直径X（单位：毫米）服从正态分布.若，则从这批零件中任意抽取1个零件，该零件的直径大于11毫米的概率为( )
A.0.35 B.0.15 C.0.3 D.0.175
4.某电商平台2024年初引进了新型“直播带货”技术后，每日交易额（单位：万元），估计第二季度（按90天计算）内交易额在4460万元到4540万元的天数大约为( )（）
A.50天 B.61天 C.86天 D.88天
5.已知随机变量，若，则( )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
6.已知随机变量X服从正态分布，且，则( )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
7.某超市购进一批食盐，每袋食盐的质量（单位:克）服从正态分布，若，则( )
A.0.98 B.0.985 C.0.99 D.0.995
8.设随机变量服从正态分布，若，则下列结论中正确的是( )
A.，标准差 B.，标准差
C.，标准差 D.，标准差
9.已知随机变量X服从正态分布，且，，则________.
10.随机变量，，则________.
六、课后练习
1.随机变量.若，则( )
A. B. C. D.
2.设随机变量服从标准正态分布，已知，则( )
A..0.025 B..0.050 C.0.950 D..0.975
3.某校高中三年级1600名学生参加了区第二次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布（试卷满分为150分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为( )
A.200 B.150 C.250 D.100
4.某汽车制造企业为了解新研发的一款纯电汽车的续航里程（单位：公里）情况，随机抽查得到了5000个样本，根据统计这款新型纯电车的续航里程，若，则该样本中续航里程不小于600公里的纯电汽车大约有( )
A.75辆 B.85辆 C.100辆 D.120辆
5.设随机变量，随机变量，则以下结论错误的是( )
A． B．
C． D．
6.（多选）若随机变量，，则( )
A. B.
C. D.
7.（多选）已知两个正态分布的正态密度函数图象如图所示，则( )
A. B. C. D.
8.（多选）体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某校学生参加体育测试，其中甲班女生的成绩X与乙班女生的成绩Y均服从正态分布，且，，则( )
A. B.
C. D.
9.若，则________.
(参考数据:若，则，.)
10.某工厂生产的一批零件的尺寸X服从正态分布，且，规定零件的尺寸与20的误差不超过2即为合格，现从这批零件中抽取360件，估计合格零件的个数为_______个.
答案及解析
三、知识梳理
1.正态曲线 钟形曲线
2. 对称轴 中间高、两边低 1 越弱 越强
3.正态分布 概率密度函数 均值 标准差 方差
4.标准正态分布 标准正态分布
四、例题讲解
例题1
解：(1)因为正态曲线关于x=μ对称，且它与x轴所围成的面积为1，
所以所求面积为0.5
(2)利用对称性可知，所求面积为[μ，μ+σ] 内面积的2倍，即约为
0.3413×2=0.6826≈0.683
(3)利用对称性可知，所求面积约为(0.3413+0.1359)×2=0.9544≈0.954
(4)利用对称性可知，所求面积约为(0.3413+0.1359+0.0215)×2=0.9974≈0.997
例题2
解：设该学生的身高为X，由题意可知 X~N (170，102 ).
P(X≤170)=P(X≤μ)=50%
(2)因为 μ=170，σ=10，而 160=170 -10，180 =170+10，
所以P(160≤X≤180 ) = P(∣X–170 ∣ ≤10) ≈ 68.3% ，
(3)由(2)以及正态曲线的对称性可知
P(170≤ X ≤180 ) = P(160≤ X ≤180 ) ≈ ×68.3% =34.15% ，
由概率加法公式可知
P(X ≤180 ) = P(X<170 )+ P(170≤ X ≤180 ) ≈ 50%+34.15% = 84.15%.
例题3
解：设正常情况下，该生产线上包装出来的食盐质量为Xg，
由题意可知 X~N(500，52).
(1)由于515=500+3×5，所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知
(2)检测员的判断是合理的.
因为如果生产线不出现异常的话，由(1)可知，随机抽取两包检查，质量都大于515g的概率约为0.15%×0.15%=2.25×10-6，
如此小概率事件发生，所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的.
例题4
解：(1)P(X < 0.28) = Φ(0.28) = 0.6103；
(2)P(X < -0.36) = Φ(-0.36)
而 Φ(-0.36) + Φ(0.36) = 1，
由表可知Φ(0.36) = 0.6406，所以Φ(-0.36) =1-Φ(0.36) =1-0.6406 = 0.3594.
(3)P(0.18 ≤ X < 0.57) = P(X < 0.57) －P(X < 0.18 )
= Φ(0.57) - Φ(0.18) = 0.7157-0.5714 = 0.1443.
五、课堂练习
1.答案：C
解析：因为随机变量，所以正态曲线的对称轴是，
又，可得，则.
故选：C.
2.答案：A
解析：由题意可知，正态曲线关于对称，
因为，
所以，解得.
故选：A.
3.答案：B
解析：根据题意可得，且，
根据正态分布曲线的对称性，可得.
故选：B.
4.答案：B
解析：由，
因为，
所以，
即，
所以第二季度（按90天计算）内交易额在4460万元到4540万元的天数大约为：
，
故选：B.
5.答案：C
解析：随机变量，由，得，
所以.
故选：C.
6.答案：B
解析：因为随机变量X服从正态分布，
且，则.
故选：B.
7.答案：A
解析：由正态分布的对称性，，
.
故选：A.
8.答案：B
解析：因为随机变量服从正态分布，，
所以，，，，
又，所以，
故选：B.
9.答案：或0.25
解析：已知，所以该正态分布曲线关于直线对称.
因为正态分布曲线关于直线对称，1与5关于对称，所以.
由于随机变量X取所有可能值的概率之和为，即.
将，代入上式可得:，即，解得.
故答案为：.
10.答案：/0.75
解析：因为随机变量，可得正态分布曲线的对称轴为，
又因为，所以，，
所以.
故答案为：.
六、课后练习
1.答案：D
解析：因为，且，
则，所以.
故选：D.
2.答案：C
解析：服从标准正态分布，
，
故选：C.
3.答案：A
解析：因为数学考试成绩服从正态分布，，
所以，此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为.
故选：A.
4.答案：A
解析：因为，，所以，
故该样本中续航里程不小于600公里的电动摩托车大约有辆；
故选：A.
5.答案：A
解析:因为，则，，，则，，
对于A：因为，所以随机变量X所对应的正态曲线更瘦高，数据更集中，
所以，故A错误；
对于B：由于两个随机变量的均值都为，所以，故B正确；
对于C：，
所以，故C正确；
对于D：由正态曲线的对称性可知，，
所以，故D正确.
故选：A.
6.答案：AC
解析：由，则，，由，则，，
A：由，即，对；
由，即，B错，C对；
D：由，即，错.
故选：AC.
7.答案：AC
解析：由正态分布曲线性质：越大，图象对称轴越靠近右侧；越大，图象越“矮胖”，越小，图象越“瘦高”，
结合图象可知：，．
故选：AC.
8.答案：ACD
解析：选项A：由，得，故A正确;
选项B：由，得，故B不正确;
选项C：由于随机变量X服从正态分布，该正态曲线的对称轴为直线：，
所以，故C正确;
选项D：解法一：由于随机变量X，Y均服从正态分布，且对称轴均为直线：，
，所以在正态曲线中，Y的峰值较高，正态曲线较“瘦高”，
随机变量分布比较集中，所以，故D正确.
解法二：因为，，
所以，
故D正确.
故选：ACD.
9.答案：0.8185
解析：由题意可得，，
.
故答案为：0.8185
10.答案：240
解析：因为X服从正态分布，且，
则，
因此，从这批零件中抽取360件，估计合格零件的个数为.
故答案为：240.

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