资源简介

4.3.2独立性检验
学习目标
了解卡方分布并理解卡方分布中参数的意义
掌握独立性检验的基本思想
重难点
重点：卡方分布中参数的意义
难点：独立性检验的基本思想
新知识导入
任意抽取某市的一名学生，记A:喜欢长跑，B:是女生.
(1)你能得出P(A)，P(B)，P(AB)这三者的准确值吗？
(2)如果要判断A与B是否独立，该怎么办？
任意给定一个α(称为显著性水平，通常取为0.05，0.01等)，可以找到满足条件P(χ2≥k)=α的数k(称为显著性水平α对应的分位数).
若χ2≥k成立，就称在犯错误的概率不超过α的前提下，可以认为A与B不独立(也称为A与B有关)；或说有1-α的把握认为A与B有关.
若χ2这一过程通常称为独立性检验.
A与B独立时，也称为A与B无关.
当 χ2独立性检验得到的结果：
有1-α的把握认为A与B有关
没有1-α的把握认为A与B有关.
三、知识梳理
1.独立性检验：任意给定一个 （称为 ，通常取为0.05，0.01等），可以找到满足条件 的数 k（称为显著性水平 对应的 ）. 是一个随机变量，其分布能够求出，上面的概率是可以计算的.因此，如果根据样本数据算出 的值后，发现 成立，就称在犯错误的概率不超过 的前提下，可以认为 A 与 B （也称为 A 与 B ）；或说有 的把握认为 A 与 B . 若 成立，就称不能得到前述结论. 这一过程通常称为 .
四、例题讲解
例1 为了研究药物甲对流行病乙是否有预防作用，某机构进行了150次动物实验，实验结果如下表所示.（单位：人）
未患病 患病 总计
服用药物 54 18 72
未服用药物 36 42 78
总计 90 60 150
根据调查数据回答：在犯错误的概率不超过1％的前提下，可以认为药物甲对流行病乙有效吗？
例2 报刊对男女学生是否喜欢书法进行了一个随机调查，调查的数据如下表所示.
喜欢书法 不喜欢书法
男学生 24 32
女学生 16 24
根据调查数据回答：有95%的把握认为性别与是否喜欢书法有关吗？
五、课堂练习
1.为调查中学生近视情况，随机抽取某校男生150名，女生140名，其中，男生中有80名近视，女生中有70名近视.在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时，最有说服力的方法是( )
A.均值与方差 B.排列与组合 C.概率 D.独立性检验
2.有甲、乙两种过滤水中重金属的设备，为了检验使用这两种设备与过滤后水中重金属含量的关系，各过滤了15瓶受重金属污染的相同水体，调查得出以下数据：
重金属含量高 重金属含量低
设备甲 6 9
设备乙 1 14
根据以上数据，则( )
A. B. C. D.
3.下列实际问题不适合用独立性检验解决的是( )
A.不良的饮食习惯是否会导致肠胃疾病
B.某公司的营业额在过去5年逐年变化的情况
C.参加课外辅导能否提高学习成绩
D.男性和女性在职业选择偏好上是否有差异
4.下面是一个列联表，其中a、b处填的值分别为( )
总计
a 21 73
2 25 27
总计 b 46 100
A.52、54 B.54、52 C.94、146 D.146、94
5.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用列联表进行独立性检验.整理所得数据后发现，若依据的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动无关；若依据的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动有关，则的值可能为( )
附表：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
A.4.238 B.4.972 C.6.687 D.6.069
6.给出下列实际问题，其中不可以用独立性检验解决的是( )
A.喜欢参加体育锻炼与性别是否有关 B.喝酒者得胃病的概率
C.喜欢喝酒与性别是否有关 D.学习成绩与体重是否有关
7.某机构为研究高血压与高盐饮食是否有关系进行了一次调查，根据独立性检验的原理，有的把握但没有的把握认为高血压与高盐饮食有关，则的观测值不可能为( )
附：，，.
A.3.622 B.4.502 C.5.921 D.6.634
8.某公司对100名员工进行了工作量的调查，数据如表：
认为工作量大 认为工作量不大 合计
男士 40 20 60
女士 20 20 40
合计 60 40 100
若推断“员工的性别与认为工作量大有关”，则这种推断犯错误的概率不超过( )
附：
0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
A.0.1 B.0.05 C.0.025 D.0.01
9.已知某社区有200人计划暑假去云南或河南旅游，他们每人从云南与河南中选择一个省份去旅游，将这200人分为东、西两小组，经过统计得到如下列联表:
去云南旅游 去河南旅游 合计
东小组 60 40 100
西小组 70 30 100
合计 130 70 200
由表中数据可知，这200人选择去云南旅游的频率为________（用百分数表示），________（填入“有”或“没有”）99%的把握认为游客的选择与所在的小组有关.
参考公式:.
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
10.为了考查某流感疫苗的效果，某实验室随机抽取100只健康小鼠进行试验，得到如下列联表：
疫苗使 用情况 感染情况
感染 未感染 总计
注射 10 40 50
未注射 20 30 50
总计 30 70 100
参照附表，在犯错误的概率最多不超过________的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染某流感”有关系.
参考公式：.
六、课后练习
1.利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与喜好阅读是否有关，通过随机询问120名高中生是否喜好阅读，利用2×2列联表，由计算可得.
P（） 0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
参照附表，可得正确的结论是( )
A.有的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”
B.有的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”
C.有的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”
D.有的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”
2.某观影平台对新近上映的某部影片的观众评价情况进行调查，得到如下数据（单位：人）：
作出评价 不作评价
男 30 15
女 45 10
附：，
0.10 0.05 0.01
k 2.706 3.841 6.635
则下列说法正确的是( )
A.在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否作出观影评价与性别有关
B.在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为是否作出观影评价与性别有关
C.没有的把握认为是否作出观影评价与性别有关
D.有的把握认为是否作出观影评价与性别有关
3.根据分类变量X和Y的样本观察数据的计算结果，有不少于的把握认为X和Y有关，则的一个可能取值为( )
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
A.3.971 B.5.872 C.6.775 D.9.698
4.某学校对高二学生是否喜欢阅读随机抽取100名学生进行调查，调查的数据如表所示：
喜欢阅读 不喜欢阅读 总计
男学生 30 20 50
女学生 40 10 50
总计 70 30 100
根据表中的数据，下列对该校高二学生的说法正确的是( )
附：.
0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
A.没有以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”
B.有以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”
C.在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“性别与是否喜欢阅读有关”
D.在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与是否喜欢阅读有关”
5.某机构通过抽样调查，利用列联表和统计量研究患肺病是否与吸烟有关，计算得，经查对临界值表知，，现给出四个结论，其中正确的是( )
A.因为，所以有的把握认为“患肺病与吸烟有关”
B.因为，所以有的把握认为“患肺病与吸烟有关”
C.因为，所以有的把握认为“患肺病与吸烟无关”
D.因为，所以有的把握认为“患肺病与吸烟无关”
6.某机构为了研究中老年人坚持锻炼与预防糖尿病、高血压、冠心病、关节炎四种慢性疾病之间的关系，随机调查部分中老年人，所得的统计数据如下表（1）～（4），则这四种慢性疾病可以通过坚持锻炼来预防的可能性最大的是( )
表（1）
患糖尿病 未患糖尿病
坚持锻炼 6 14
不坚持锻炼 7 25
表（2）
患高血压 未患高血压
坚持锻炼 2 18
不坚持锻炼 11 21
表（3）
患冠心病 未患冠心病
坚持锻炼 4 16
不坚持锻炼 9 23
表（4）
患关节炎 未患关节炎
坚持锻炼 7 13
不坚持锻炼 6 26
A.糖尿病 B.高血压 C.冠心病 D.关节炎
7.（多选）为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的列联表，计算得到，根据小概率值为的独立性检验，则( )
附：
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
A.若，则认为“毛色”和“角”无关
B.若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过
C.若，则认为“毛色”和“角”无关
D.若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过
8.（多选）千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋林”“日落云里走，雨在半夜后”……小明同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区A的100天日落和夜晚的天气，得到如下列联表：
日落云里走 夜晚天气
下雨 不下雨
出现 25 5
不出现 25 45
临界值表
0.10 0.05 0.010 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
计算得到，下列小明对地区A的天气判断正确的是( )
A.夜晚下雨的概率约为
B.未出现“日落云里走”，但夜晚下雨的概率约为
C.出现“日落云里走”，有的把握认为夜晚会下雨
D.有的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关
9.近年来，食品添加剂泛滥引起消费者关注，某媒体对消费者在购买预包装食品时是否关注配料表进行调查，调查了100名男性消费者与100名女性消费者，关注配料表的消费者共有80人，其中女性30人.
(1)用列联表表示上述数据；
(2)是否有99%的把握认为消费者购买预包装食品时是否关注配料表与性别有关？
附：，其中.
0.1 0.05 0.025 0.010
k 2.706 3.841 5.024 6.635
10.某中学对50名学生的学习兴趣和主动预习情况进行了长期的调查，得到的统计数据如下表所示.
主动预习 不太主动预习 合计
学习兴趣高 18
学习兴趣一般 19
合计 24 50
(1)补全该表；
(2)试运用独立性检验的思想方法判断：是否有以上的把握认为，学生的学习兴趣与主动预习有关.
附：独立性检验临界值表
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式：，其中）.
答案及解析
三、知识梳理
1.显著性水平 分位数 不独立 有关 有关 独立性检验
四、例题讲解
例题1
解：由题意可知
又因为查表可得 P(χ2≥6.635) = 0.01，
由于12.981>6.635，
所以在犯错概率不超过1%的前提下，可以认为药物甲对流行病乙有效.
例题2
解：由题意可知
又因为1-95%=5%，而且查表可得 P(χ2≥3.841)=0.05，
由于0.078<3.841，
所以没有95%的把握认为性别与是否喜欢书法有关.
五、课堂练习
1.答案：D
解析：检验两个变量是否相关时，应选择独立性检验.
故选：D.
2.答案：A
解析：由题意得到如下列联表：
重金属含量高 重金属含量低 合计
设备甲 6 9 15
设备乙 1 14 15
合计 7 23 30
所以.
故选：A.
3.答案：B
解析：独立性检验是通过统计学方法来检验两个分类变量之间是否存在关联性，
ACD满足独立性检验的基本思想，B选项只是公司的营业额这一个变量在过去5年的变化情况，不满足独立性检验的基本思想.
故选：B.
4.答案：A
解析：由题意可得，解得，
所以a、b值分别为52、54.
故选：A.
5.答案：D
解析：由题知，故的值可能为6.069.
故选：D.
6.答案：B
解析：独立性检验是对两个分类变量是否有关进行检验，
对于A，参加体育锻炼有喜欢、不喜欢，性别有男女，是对两个分类变量是否有关进行检验；
对于B，喝酒者得胃病的概率不涉及分类变量，不可以用独立性检验解决；
对于C，喝酒有喜欢、不喜欢，性别有男女，是对两个分类变量是否有关进行检验；
对于D，学习成绩有好与坏，体重有轻与重，是对两个分类变量是否有关进行检验.
故选：B
7.答案：A
解析：由有的把握但没有的把握认为高血压与高盐饮食有关，
得的观测值在区间，所以的观测值不可能3.622.
故选：A.
8.答案：A
解析：，
因为，
所以这种推断犯错误的概率不超过0.10.
故选：A.
9.答案：65%；没有
解析：由表中数据可知，这200人选择去云南旅游的频率为.
因为，
所以没有99%的把握认为游客的选择与所在的小组有关.
故答案为：65%，没有.
10.答案：0.05
解析：由列联表中数据，计算得，
所以在犯错误的概率最多不超过0.05的前提下，认为“注射疫苗”与“感染某流感”有关系.
故答案为：0.05
六、课后练习
1.答案：A
解析：由题意及表格知，观测值，
所以有的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”.
故选：A
2.答案：C
解析：由题意知，
，
所以没有的把握认为是否作出观影评价与性别有关.
故选：C
3.答案：D
解析：因为有不少于的把握认为X和Y有关，
所以，
，满足题意，
故选：D.
14.答案：D
解析：.
选项A，因为，所以有以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故A错误；
选项B，因为，所以没有以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故B错误；
选项C，因为，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，不能认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故C错误；
选项D，因为，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故D正确.
故选：D.
5.答案：A
解析：因为，且，，所以有的把握认为“患肺病与吸烟有关”，因此A正确，C不正确.因为，，所以不能确定有的把握认为“患肺病与吸烟有关”，也不能确定有的把握认为“患肺病与吸烟无关”，因此B，D都不正确.
故选：A.
6.答案：B
解析：由表（1）中的数据，得；由表（2）中的数据，得；由表（3）中的数据，得；由表（4）中的数据，得.所以这四种慢性疾病可以通过坚持锻炼来预防的可能性最大的是高血压.
故选：B.
7.答案：BC
解析：对AB，若，因为，
则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过，故A错，B对；
对CD，若，因为，
则认为“毛色”和“角”无关，故C正确，D错误.
故选：BC.
8.答案：BD
解析：由题意，把频率看作概率，可得夜晚下雨的概率为，故A错误.未出现“日落云里走”，但夜晚下雨的概率约为，故B正确.因为，所以有的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关，故D正确，C错误.
故选：BD.
9.答案：(1)列联表见解析；
(2)有.
解析：
(1)依题意，列联表如下：
关注 不关注 合计
男性消费者 50 50 100
女性消费者 30 70 100
合计 80 120 200
(2)由(1)得的观测值为
所以有99%的把握认为消费者购买预包装食品时是否关注配料表与性别有关.
10.答案：(1)答案见解析
(2)有以上的把握认为学生的学习兴趣与主动预习有关
解析：(1)
主动预习 不太主动预习 合 计
学习兴趣高 18 7 25
学习兴趣一般 6 19 25
合计 24 26 50
(2)，
所以有以上的把握认为学生的学习兴趣与主动预习有关.

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