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13．2.2　三角形的中线、角平分线、高
1.理解三角形的中线、高线、角平分线等概念． 2．了解三角形重心的概念． 3．会画任意三角形的高线、中线与角平分线． 4．会运用三角形的高线、中线与角平分线的概念进行简单的计算． 5．通过练习进一步巩固三角形的边和相关线段．
知识点一　三角形的中线
1．如图1，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得 叫作△ABC的边BC上的中线．
　　
2．一个三角形有 条中线，这 条中线相交于一点(如图2).三角形 条中线的 叫作三角形的重心．
练习1　
如图，CM是△ABC的中线，BC＝8 cm，若△BCM的周长比△ACM的周长多2 cm，则AC的长为( ).
A．6 cm B．5 cm
C．4 cm D．3 cm
知识点二　三角形的角平分线
3．如图1，画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得 叫作△ABC的角平分线．三角形的 条角平分线相交于一点(如图2).
　　　
练习2　
如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则下列说法正确的是( ).
A．AF是△ACE的中线
B．AE是△DAF的中线
C．AD是△ABE的中线
D．AE是△ABC的角平分线
知识点三　三角形的高
4．如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为点D，所得 叫作△ABC的边BC上的高线．三角形的高线简称三角形的 ．
练习3　如图，在△ABC中，关于高的说法正确的是( ).
A．线段AD是AB边上的高
B．线段BE是AB边上的高
C．线段CF是AB边上的高
D．线段CF是BC边上的高
基础巩固
1．以下说法正确的有( ).
①三角形的中线、角平分线都是射线；
②三角形的三条高所在直线相交于一点；
③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点；
④三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分．
A．1个 　B．2个 　C．3个 　D．4个
2．如图，在△ABC中，AE是高，AF是中线．若AE＝3，S△ABC＝6，则BF的长为( ).
A．1 B．2
C．3 D．4
3．如图，AD为△ABC的中线，AB＝13 cm，AC＝10 cm.若△ACD的周长为30 cm，则△ABD的周长为________．
4．如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，CD⊥AB于点D，AB＝6，AE＝5，BC＝7，则CD的长为________．
能力达标
5．如图，已知△ABC的面积为28，AB＝AC＝16，D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若DF＝2DE，则DF的长为( ).
A． B．
C． D．6
6．如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AD的中点，S△ABC＝8 cm2，则S△ABE＝________．
挑战创新
7．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，AB＝
10 cm.若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为2 cm/s.设动点P运动的时间为t s.
(1)当t为何值时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分？
(2)当t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分？
(3)当t为何值时，△BCP的面积为12 cm2 　　　　　　　　　13.2　与三角形有关的线段
13．2.1　三角形的边
1.证明三角形的任意两边之和大于第三边． 2．了解三角形的稳定性． 3．理解三角形的稳定性，并会用其解决一些实际问题． 4．会利用三角形三边关系判断已知的三条线段能否构成三角形．
知识点一　三角形的三边关系
1．三角形两边的和 第三边；三角形两边的差 第三边．
练习1　以下列长度的各组线段为边，不能组成三角形的是( ).
A．2，5，7 B．3，5，6
C．10，8，7 D．1，2，2
知识点二　三角形的稳定性
2．三角形是具有 的图形．
练习2　同学们，我们最常见的钢架桥的桥身采用三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是( ).
A．两点确定一条直线
B．三角形具有稳定性
C．垂线段最短
D．三角形两边的和大于第三边
知识点三　三角形三边关系的应用
练习3　若等腰三角形两边的长分别为4 cm和8 cm，
则第三边的长是 cm.
基础巩固
1．以下列各组长度为边长，能组成三角形的是( ).
A．1 cm，2 cm，4 cm
B．2 cm，4 cm，6 cm
C．4 cm，5 cm，6 cm
D．4 cm，4 cm，8 cm
2．如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形，常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条(即图中的AB和CD).这样做的依据是( ).
A.长方形的对称性
B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短
D．三角形具有稳定性
3．已知△ABC中有两边长分别是2和5，且△ABC的第三边的长是偶数，则该三角形的周长是( ).
A．13 B．12
C．11 D．11或13
4．如图是小明的一个创意圆规的平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂．已知OA＝OB＝6 cm.使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆，则圆的半径AB不可能是( ).
A．7 cm B．9 cm
C．11 cm D．13 cm
5．有长分别为11 cm，7 cm，6 cm，5 cm的四根木条，选其中三根组成三角形有________种选法．
能力达标
6．小明用四根长度分别为2 cm，3 cm，4 cm，5 cm的小棒摆三角形，那么所摆成的三角形的周长不可能是( ).
A．12 cm B．11 cm
C．10 cm D．9 cm
7．已知等腰三角形的周长为16，且一边长为3，则腰长为( ).
A．3 B．10
C．6.5 D．3或6.5
挑战创新
8．如果一个三角形一边长为m，另一边长为2m，那么我们把这个三角形叫作“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形ABC中，AC＝4，BC＝6，边AB是特征边，那么边AB的长为________．13．2.2　三角形的中线、角平分线、高
1.理解三角形的中线、高线、角平分线等概念． 2．了解三角形重心的概念． 3．会画任意三角形的高线、中线与角平分线． 4．会运用三角形的高线、中线与角平分线的概念进行简单的计算． 5．通过练习进一步巩固三角形的边和相关线段．
知识点一　三角形的中线
1．如图1，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线．
　　
2．一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点(如图2).三角形三条中线的交点叫作三角形的重心．
练习1　
如图，CM是△ABC的中线，BC＝8 cm，若△BCM的周长比△ACM的周长多2 cm，则AC的长为(　A　).
A．6 cm B．5 cm
C．4 cm D．3 cm
总结　三角形的一条中线平分三角形的一边，进而形成了有公共边的两个三角形，因此夹这条中线的两边的差即为有公共边的两个三角形的周长的差．
知识点二　三角形的角平分线
3．如图1，画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线．三角形的三条角平分线相交于一点(如图2).
　　　
练习2　
如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则下列说法正确的是(　D　).
A．AF是△ACE的中线
B．AE是△DAF的中线
C．AD是△ABE的中线
D．AE是△ABC的角平分线
总结　角平分线平分它所在的顶角，与其他量无关．
知识点三　三角形的高
4．如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线．三角形的高线简称三角形的高．
练习3　如图，在△ABC中，关于高的说法正确的是(　C　).
A．线段AD是AB边上的高
B．线段BE是AB边上的高
C．线段CF是AB边上的高
D．线段CF是BC边上的高
总结　在钝角三角形中，夹钝角的两边上的高在三角形的外部．判断一条线段是否为三角形的高，可利用线段是否满足：一个端点为三角形的顶点，另一个端点为垂足，且与这个顶点所对的边垂直．
基础巩固
1．以下说法正确的有(　C　).
①三角形的中线、角平分线都是射线；
②三角形的三条高所在直线相交于一点；
③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点；
④三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分．
A．1个 　B．2个 　C．3个 　D．4个
2．如图，在△ABC中，AE是高，AF是中线．若AE＝3，S△ABC＝6，则BF的长为(　B　).
A．1 B．2
C．3 D．4
3．如图，AD为△ABC的中线，AB＝13 cm，AC＝10 cm.若△ACD的周长为30 cm，则△ABD的周长为________．
【答案】33 cm
4．如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，CD⊥AB于点D，AB＝6，AE＝5，BC＝7，则CD的长为________．
【答案】
能力达标
5．如图，已知△ABC的面积为28，AB＝AC＝16，D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若DF＝2DE，则DF的长为(　C　).
A． B．
C． D．6
6．如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AD的中点，S△ABC＝8 cm2，则S△ABE＝________．
【答案】2 cm2
挑战创新
7．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，AB＝
10 cm.若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为2 cm/s.设动点P运动的时间为t s.
(1)当t为何值时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分？
(2)当t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分？
(3)当t为何值时，△BCP的面积为12 cm2
【解】(1)因为AC＝8 cm，BC＝6 cm，AB＝10 cm，
所以△ABC的周长＝8＋6＋10＝24(cm).
当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA＋AP＝BP＋BC＝12(cm)，
所以2t＝12，解得t＝6.
(2)当P为AB的中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，此时AP＝BP＝5 cm，故CA＋AP＝8＋5＝13(cm)，
所以2t＝13，解得t＝6.5.
(3)分两种情况：
①当点P在AC上时，
因为△BCP的面积＝12 cm2，BC＝6 cm，所以×6·CP＝12，
所以CP＝4 cm，
所以2t＝4，解得t＝2.
②当点P在AB上时，
因为∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，
所以△ABC的面积＝×8×6＝24(cm2).
因为△BCP的面积为12 cm2是△ABC面积的一半，
所以P为AB的中点，
所以2t＝13，解得t＝6.5.
综上，当t＝2或6.5时，△BCP的面积为12 cm2.　　　　　　　　　13.2　与三角形有关的线段
13．2.1　三角形的边
1.证明三角形的任意两边之和大于第三边． 2．了解三角形的稳定性． 3．理解三角形的稳定性，并会用其解决一些实际问题． 4．会利用三角形三边关系判断已知的三条线段能否构成三角形．
知识点一　三角形的三边关系
1．三角形两边的和大于第三边；三角形两边的差小于第三边．
练习1　以下列长度的各组线段为边，不能组成三角形的是(　A　).
A．2，5，7 B．3，5，6
C．10，8，7 D．1，2，2
总结　三角形的三边关系是判断三条线段能否组成三角形的重要依据，主要用于解决两类问题：(1)判断三条线段能否组成三角形；(2)已知三角形的两边长，确定第三边长的取值范围．
知识点二　三角形的稳定性
2．三角形是具有稳定性的图形．
练习2　同学们，我们最常见的钢架桥的桥身采用三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是(　B　).
A．两点确定一条直线
B．三角形具有稳定性
C．垂线段最短
D．三角形两边的和大于第三边
总结　三角形的稳定性在生产和生活中应用广泛．房屋的人字梁具有三角形的结构，它坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一块木板，木板与栅栏构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形；大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．
知识点三　三角形三边关系的应用
练习3　若等腰三角形两边的长分别为4 cm和8 cm，则第三边的长是8 cm.
总结　对于与等腰三角形有关的题目，在不确定已知的边长是腰长还是底边长时，需要进行分类讨论，再结合三角形的三边关系最终确定符合条件的结果．
基础巩固
1．以下列各组长度为边长，能组成三角形的是(　C　).
A．1 cm，2 cm，4 cm
B．2 cm，4 cm，6 cm
C．4 cm，5 cm，6 cm
D．4 cm，4 cm，8 cm
2．如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形，常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条(即图中的AB和CD).这样做的依据是(　D　).
A.长方形的对称性
B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短
D．三角形具有稳定性
3．已知△ABC中有两边长分别是2和5，且△ABC的第三边的长是偶数，则该三角形的周长是(　D　).
A．13 B．12
C．11 D．11或13
4．如图是小明的一个创意圆规的平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂．已知OA＝OB＝6 cm.使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆，则圆的半径AB不可能是(　D　).
A．7 cm B．9 cm
C．11 cm D．13 cm
5．有长分别为11 cm，7 cm，6 cm，5 cm的四根木条，选其中三根组成三角形有________种选法．
【答案】3
能力达标
6．小明用四根长度分别为2 cm，3 cm，4 cm，5 cm的小棒摆三角形，那么所摆成的三角形的周长不可能是(　C　).
A．12 cm B．11 cm
C．10 cm D．9 cm
7．已知等腰三角形的周长为16，且一边长为3，则腰长为(　C　).
A．3 B．10
C．6.5 D．3或6.5
挑战创新
8．如果一个三角形一边长为m，另一边长为2m，那么我们把这个三角形叫作“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形ABC中，AC＝4，BC＝6，边AB是特征边，那么边AB的长为________．
【答案】3

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