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第2课时　直角三角形的性质与判定
1.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余． 2．掌握有两个角互余的三角形是直角三角形． 3会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算或证明．
知识点一　直角三角形的性质
1．(1)直角三角形的两个锐角 ．直角三角形可以用符号“ ”表示，直角三角形ABC可以写成 ．
(2)数学语言：若△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，则∠A＋∠B＝ ．
练习1　如图，AB∥DF，AC⊥BC于点C，BC与DF相交于点E.若∠A＝20°，则∠CEF等于( ).
A．70° B．80°
C．100° D．110°
知识点二　直角三角形的判定
2．(1)有两个角 的三角形是直角三角形．
(2)数学语言：若在△ABC中，∠A＋∠B＝90°，则△ABC是 三角形．
练习2　在下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是( ).
A．∠A＝∠B－∠C
B．∠A＝90°－∠C
C．∠A＝∠B＝∠C
D．∠A＝2∠B＝3∠C
基础巩固
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，则∠A＝( ).
A．65° B．60°
C．50° D．45°
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BCD＝40°，则∠A的度数为( ).
A．50° B．40°
C．35° D．30°
3．如图，点E是△ABC中边AC上一点，过点E作ED⊥AB，垂足为D.若∠1＝∠2，则△ABC是( ).
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
4．小明同学把一块直角三角板放在两条平行直线上，如图，∠α＋∠β＝________°.
5．如图，小琪在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90°，并画出了两锐角的平分线AD，BE及其交点O.小琪发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AOB的度数不变，是定值．这个定值为________．
能力达标
6．小莹将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠α的度数为( ).
A．70° B．75°
C．80° D．85°
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC.
(1)若∠C＝42°，求∠ADB的度数．
(2)在图中画出△ABC的边 BC上的高AE，与BD相交于点F.试说明：
①∠BAE＝∠C；②∠AFD＝∠ADF.
挑战创新
8．(跨学科融合)在学行线和平面镜的相关知识后，老师要求同学们进行跨学科综合编题[注：射到平面镜上的光线(入射光线)和变向后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等].如图1，MN是平面镜，AO，OB分别为入射光线与反射光线，则∠AOM＝∠BON.小明设计如下：如图2，入射光线DE经镜面PQ与PM反射后，在点F处射出．若HF⊥PM，DE∥HF，镜面PQ与PM的夹角∠QPM＝120°，可计算∠MFG的度数为________．
　13．3.2　三角形的外角
1.理解三角形外角的概念． 2．掌握三角形的内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 3．会应用三角形的内、外角定理进行有关的计算或证明．
知识点一　三角形的外角
1．如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的 组成的角，叫作三角形的外角．
练习1　如图，点B，D，C在直线FE上，点G在线段AC上，则下列是△AGB的外角的是( ).
A．∠FBA B．∠GBC
C．∠CGB D．∠BGD
知识点二　三角形的外角的性质
2．三角形的外角等于 ．
练习2　如图，已知点D是△ABC的BC边延长线上一点，且满足∠A＝85°，∠B＝28°，则∠ACD的度数为( ).
A．120° B．113°
C．140° D．100°
基础巩固
1．如图，点D在线段BC的延长线上，过点B作射线BF交AC于点E，则下列是△ABE的外角的是( ).
A．∠AEF B．∠AEB
C．∠ACD D．∠CEF
2．如图，已知∠ACD＝120°，∠B＝20°，则∠A的度数是( ).
A．120° B．110°
C．100° D．130°
3．将一副三角板按照如图方式摆放，则∠CBE的度数为( ).
A．110° B．105°
C．100° D．90°
4．如图，BE为△ABC的外角∠CBD的平分线．若∠A＝50°，∠C＝62°，则∠EBD＝( ).
A．50° B．56°
C．60° D．65°
5．小华在上数学课的时候看到同桌将一副三角板按图中方式叠放，则∠AOB等于________.
能力达标
6．如图是一展板支架的侧面示意图，经测量，∠BAC＝45°，∠BCE＝117°，则∠CBD的度数为( ).
A．117° B．135°
C．108° D．128°
7．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E.
(1)若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数；
(2)探究∠BAC，∠B，∠E之间的数量关系，并说明理由．
挑战创新
8．下图是某款铲子的侧面示意图，已知AB∥DF，AC∥EG，BD∥CE.若∠E＝126°，∠D＝116°，则∠A的度数是( ).
A．9° B．10°
C．11° D．12°第2课时　直角三角形的性质与判定
1.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余． 2．掌握有两个角互余的三角形是直角三角形． 3会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算或证明．
知识点一　直角三角形的性质
1．(1)直角三角形的两个锐角互余．直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC．
(2)数学语言：若△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，则∠A＋∠B＝90°．
练习1　如图，AB∥DF，AC⊥BC于点C，BC与DF相交于点E.若∠A＝20°，则∠CEF等于(　D　).
A．70° B．80°
C．100° D．110°
总结　熟知直角三角形两锐角互余的性质，并准确识图是解决此类题的关键．
知识点二　直角三角形的判定
2．(1)有两个角互余的三角形是直角三角形．
(2)数学语言：若在△ABC中，∠A＋∠B＝90°，则△ABC是直角三角形．
练习2　在下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是(　D　).
A．∠A＝∠B－∠C
B．∠A＝90°－∠C
C．∠A＝∠B＝∠C
D．∠A＝2∠B＝3∠C
总结　解决此类题需熟知三角形的内角和等于180°；如果一个三角形中有两个角的和等于90°，那么该三角形为直角三角形．
基础巩固
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，则∠A＝(　C　).
A．65° B．60°
C．50° D．45°
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BCD＝40°，则∠A的度数为(　B　).
A．50° B．40°
C．35° D．30°
3．如图，点E是△ABC中边AC上一点，过点E作ED⊥AB，垂足为D.若∠1＝∠2，则△ABC是(　B　).
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
4．小明同学把一块直角三角板放在两条平行直线上，如图，∠α＋∠β＝________°.
【答案】90
5．如图，小琪在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90°，并画出了两锐角的平分线AD，BE及其交点O.小琪发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AOB的度数不变，是定值．这个定值为________．
【答案】135°
能力达标
6．小莹将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠α的度数为(　B　).
A．70° B．75°
C．80° D．85°
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC.
(1)若∠C＝42°，求∠ADB的度数．
(2)在图中画出△ABC的边 BC上的高AE，与BD相交于点F.试说明：
①∠BAE＝∠C；②∠AFD＝∠ADF.
【解】(1)在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝42°，
所以∠ABC＝90°－42°＝48°.
因为BD平分∠ABC，
所以∠ABD＝∠ABC＝24°，
所以∠ADB＝90°－∠ABD＝66°.
(2)AE及点F如图所示．
①因为AE是边BC上的高，
所以∠AEC＝90°，
所以∠C＋∠CAE＝90°.
因为∠BAC＝90°，所以∠BAE＋∠CAE＝90°，所以∠BAE＝∠C.
②因为AE是边BC上的高，
所以∠AEB＝90°，
所以∠DBC＋∠BFE＝90°.
因为BD平分∠ABC，
所以∠ABD＝∠DBC.
又因为∠BFE＝∠AFD，
所以∠AFD＋∠ABD＝90°.
因为∠BAC＝90°，
所以∠ABD＋∠ADF＝90°，
所以∠AFD＝∠ADF.
挑战创新
8．(跨学科融合)在学行线和平面镜的相关知识后，老师要求同学们进行跨学科综合编题[注：射到平面镜上的光线(入射光线)和变向后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等].如图1，MN是平面镜，AO，OB分别为入射光线与反射光线，则∠AOM＝∠BON.小明设计如下：如图2，入射光线DE经镜面PQ与PM反射后，在点F处射出．若HF⊥PM，DE∥HF，镜面PQ与PM的夹角∠QPM＝120°，可计算∠MFG的度数为________．
　
【答案】30°　　　　　　　　　13.3　三角形的内角与外角
13．3.1　三角形的内角
第1课时　三角形的内角和定理
1.理解三角形内角的概念． 2．探索并证明三角形的内角和定理． 3．会运用三角形的内角和定理进行简单的计算或证明．
知识点一　三角形的内角和定理
三角形的内角和等于 ．即若三角形的角是∠A，∠B，∠C，则∠A＋∠B＋∠C＝ ．
练习1　在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2∶3∶4，则∠B的度数为( ).
A．40° B．60°
C．80° D．120°
知识点二　三角形的内角和定理的应用
练习2　如图，B处在A处的南偏西55°的方向，C处在A处的南偏东15°方向，∠DBC＝80°，则∠C的度数为( ).
A．75° B．85°
C．95° D．100°
基础巩固
1．若一个三角形三个内角的度数之比为2∶4∶7，则这个三角形一定是( ).
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
2．如图，在某主题公园内从A处看见P在其北偏东62°的方向上，从B处看见P在其北偏东18°的方向上(B在A的正东方向)，则从P处看A，B两处的视角∠APB的度数为( ).
A．18° B．26°
C．44° D．62°
3．如图，在△ABC中，∠B＋∠C＝110°，AM平分∠BAC，交BC于点M，MN∥AB，交AC于点N，则∠AMN的大小是( ).
A．55° B．45°
C．35° D．30°
4．如图，直线a∥b，点A在直线a上．在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝25°.若∠1＝75°，则∠2的度数为( ).
A．60° B．40°
C．35° D．30°
5．在△ABC中，∠C－∠B＝36°，∠A＝2∠B，则∠C＝________．
能力达标
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝82°，∠B＝54°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数．
7．如图，把△ABC沿EF折叠，使点A落在点D处．
(1)若∠B＋∠C＝130°，则∠α＋∠β的度数为________°；
(2)若DE∥AC，试判断∠α与∠β的数量关系，并说明理由．
挑战创新
8．(新定义)当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α被称为“特征角”．
(1)已知一个“特征三角形”的“特征角”为80°，求这个“特征三角形”的最小内角的度数．
(2)是否存在“特征角”为120°的“特征三角形”？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．13．3.2　三角形的外角
1.理解三角形外角的概念． 2．掌握三角形的内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 3．会应用三角形的内、外角定理进行有关的计算或证明．
知识点一　三角形的外角
1．如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角．
练习1　如图，点B，D，C在直线FE上，点G在线段AC上，则下列是△AGB的外角的是(　C　).
A．∠FBA B．∠GBC
C．∠CGB D．∠BGD
总结　在三角形中，一边与另一边的延长线组成的角才是三角形的外角．这是判定三角形外角的关键．
知识点二　三角形的外角的性质
2．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
练习2　如图，已知点D是△ABC的BC边延长线上一点，且满足∠A＝85°，∠B＝28°，则∠ACD的度数为(　B　).
A．120° B．113°
C．140° D．100°
总结　熟练掌握三角形的外角的有关性质是解决此类题的关键，三角形的外角的性质如下：(1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；(2)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；(3)三角形的一个外角和与它相邻的一个内角互补．
基础巩固
1．如图，点D在线段BC的延长线上，过点B作射线BF交AC于点E，则下列是△ABE的外角的是(　A　).
A．∠AEF B．∠AEB
C．∠ACD D．∠CEF
2．如图，已知∠ACD＝120°，∠B＝20°，则∠A的度数是(　C　).
A．120° B．110°
C．100° D．130°
3．将一副三角板按照如图方式摆放，则∠CBE的度数为(　B　).
A．110° B．105°
C．100° D．90°
4．如图，BE为△ABC的外角∠CBD的平分线．若∠A＝50°，∠C＝62°，则∠EBD＝(　B　).
A．50° B．56°
C．60° D．65°
5．小华在上数学课的时候看到同桌将一副三角板按图中方式叠放，则∠AOB等于________.
【答案】105°
能力达标
6．如图是一展板支架的侧面示意图，经测量，∠BAC＝45°，∠BCE＝117°，则∠CBD的度数为(　C　).
A．117° B．135°
C．108° D．128°
7．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E.
(1)若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数；
(2)探究∠BAC，∠B，∠E之间的数量关系，并说明理由．
【解】(1)因为∠B＝35°，∠E＝25°，
所以∠DCE＝∠B＋∠E＝60°.
因为CE平分∠ACD，
所以∠ACD＝2∠DCE＝120°，
所以∠ACB＝180°－120°＝60°，
所以∠BAC＝180°－∠B－∠ACB＝85°.
(2)∠BAC＝∠B＋2∠E.
理由：因为∠BAC＝∠E＋∠ACE，∠DCE＝∠ACE，
所以∠BAC＝∠E＋∠DCE.
因为∠DCE＝∠B＋∠E，
所以∠BAC＝∠E＋∠B＋∠E，
所以∠BAC＝∠B＋2∠E.
挑战创新
8．下图是某款铲子的侧面示意图，已知AB∥DF，AC∥EG，BD∥CE.若∠E＝126°，∠D＝116°，则∠A的度数是(　B　).
A．9° B．10°
C．11° D．12°　　　　　　　　　13.3　三角形的内角与外角
13．3.1　三角形的内角
第1课时　三角形的内角和定理
1.理解三角形内角的概念． 2．探索并证明三角形的内角和定理． 3．会运用三角形的内角和定理进行简单的计算或证明．
知识点一　三角形的内角和定理
三角形的内角和等于180°．即若三角形的角是∠A，∠B，∠C，则∠A＋∠B＋∠C＝180°．
练习1　在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2∶3∶4，则∠B的度数为(　B　).
A．40° B．60°
C．80° D．120°
总结　熟练掌握三角形的内角和定理，当已知三角形中两内角度数时，可利用三角形的内角和定理直接求第三个内角的度数；当已知三角形中三个内角关系式时，可以建立方程模型求解．
知识点二　三角形的内角和定理的应用
练习2　如图，B处在A处的南偏西55°的方向，C处在A处的南偏东15°方向，∠DBC＝80°，则∠C的度数为(　B　).
A．75° B．85°
C．95° D．100°
总结　本题涉及方向角及运用三角形的内角和定理求三角形内角度数，一定要理解方向角的概念，熟练掌握三角形的内角和定理．
基础巩固
1．若一个三角形三个内角的度数之比为2∶4∶7，则这个三角形一定是(　B　).
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
2．如图，在某主题公园内从A处看见P在其北偏东62°的方向上，从B处看见P在其北偏东18°的方向上(B在A的正东方向)，则从P处看A，B两处的视角∠APB的度数为(　C　).
A．18° B．26°
C．44° D．62°
3．如图，在△ABC中，∠B＋∠C＝110°，AM平分∠BAC，交BC于点M，MN∥AB，交AC于点N，则∠AMN的大小是(　C　).
A．55° B．45°
C．35° D．30°
4．如图，直线a∥b，点A在直线a上．在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝25°.若∠1＝75°，则∠2的度数为(　B　).
A．60° B．40°
C．35° D．30°
5．在△ABC中，∠C－∠B＝36°，∠A＝2∠B，则∠C＝________．
【答案】72°
能力达标
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝82°，∠B＝54°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数．
【解】因为AD⊥BC，
所以∠BDA＝90°.
又因为∠B＝54°，
所以∠BAD＝90°－54°＝36°.
因为∠BAC＝82°，AE平分∠BAC，
所以∠BAE＝∠CAE＝41°，
所以∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝41°－36°＝5°.
7．如图，把△ABC沿EF折叠，使点A落在点D处．
(1)若∠B＋∠C＝130°，则∠α＋∠β的度数为________°；
(2)若DE∥AC，试判断∠α与∠β的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)100
(2)∠α＝∠β.理由略．
挑战创新
8．(新定义)当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α被称为“特征角”．
(1)已知一个“特征三角形”的“特征角”为80°，求这个“特征三角形”的最小内角的度数．
(2)是否存在“特征角”为120°的“特征三角形”？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．
【解】设这个“特征三角形”的三个内角分别为α，β，γ.
(1)因为α＝2β，且α＋β＋γ＝180°，
所以当α＝80°时，β＝40°，则γ＝60°，
所以这个“特征三角形”的最小内角的度数为40°.
(2)不存在．理由略．

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