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黑龙江省鹤岗市绥滨县2025-2026学年八年级上学期开学数学试题
一、单选题
1．下列实数中，是无理数的是（ ）
A． B． C．0 D．
2．若，则下列不等式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．点P（－2，3）应在（　　）.
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．下列调查中，适合采用全面调查的是（ ）
A．了解一批灯泡的使用寿命
B．了解全国中学生的视力情况
C．了解某班学生的身高情况
D．了解某市空气质量情况
5．方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，直线a∥b，则∠A的度数是（ ）
A．28° B．31° C．39° D．42°
8．已知点，点，则线段的长度是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．某校七年级有300名学生，为了了解他们的数学成绩，从中抽取了50名学生的数学成绩进行统计分析．在这个问题中，样本容量是（ ）
A．300 B．50 C．250 D．350
10．若关于x的不等式的正整数解只有1和2，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．的算术平方根为 ．
12．点在轴上，则 ．
13．已知是方程的一个解，则 ．
14．如图，直线，相交于点，．若，则等于 度．
15．不等式的解集是 ．
16．某班有40名学生，其中男生有名，女生比男生多4名，则 ．
三、解答题
17．计算：
18．解方程组：
19．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．
(1)画出关于轴对称的；
(2)写出各顶点的坐标．
21．某校为了了解七年级暑假学生的课外阅读情况，随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
(1)本次调查共抽取了多少名学生？
(2)补全条形统计图；
(3)若该校七年级有600名学生，估计其中喜欢阅读小说的学生有多少人？
22．已知关于x，y的方程组的解满足，求的取值范围．
23．如图所示，已知，，试说明：．
24．某商店销售A，B两种商品，种商品的进价为每件20元，售价为每件30元；种商品的进价为每件35元，售价为每件50元．该商店计划购进A，B两种商品共100件，且购进的种商品不少于60件．设购进种商品件，销售完这100件商品的总利润为元．
(1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)该商店如何进货才能使销售完这100件商品所获利润最大？最大利润是多少？
25．如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，且满足．
（1）求点，点的坐标．
（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB由C向B运动，连接AP，设的面积为，点P的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．D
解：，是有理数，及0也是有理数，而是无限不循环小数，是无理数；
故选：D．
2．D
解：已知，逐一验证选项：
选项A：两边同时加2，不等式方向不变，即，正确．
选项B：两边同时减2，不等式方向不变，即，正确．
选项C：两边同时乘正数2，不等式方向不变，即，正确．
选项D：两边同时乘负数，不等式方向需改变，正确结果应为，但选项D写为，方向未改变，错误．
故选：D
3．B
解：坐标系中的四个象限分别为第一象限（x＞0, y＞0）;第二象限（x＞0, y＜0）；第三象限（x＜0, y＜0）；第四象限（x＜0, y＜0）．所以在第二象限．
故选：B.
4．C
解：A、了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查，不符合题意；
B、普查的意义或价值不大，适合抽样调查，不符合题意；
C、总体数量较小，适合全面调查，符合题意；
D、了解某市空气质量情况，适合抽样调查，不符合题意；
故选：C．
5．B
【详解】，
①+②得，2x=6，
解得，x=3，
把x=3代入①得，3+y=5，
解得，y=2，
所以，方程组的解为.
故选B.
6．C
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：C．
7．C
【详解】根据平行线的性质可得∠1=70°，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠A=70°-31°=39°.故选C.

8．A
解：∵点，点，
∴线段的长度是，
故选：A．
9．B
解：样本容量是50，
故选：B．
10．B
解：解，得：，
∵关于x的不等式的正整数解只有1和2，
∴，
解得：，
故选：B．
11．
解：∵，的算术平方根是，
∴的算术平方根是．
故答案为：．
12．2
解：∵点在轴上，
∴，
即，
故答案为：2．
13．
解：∵是方程的一个解，
∴，
解得：，
故答案为：1．
14．80
解：∵∠AEC=100°，
∴∠BEC=180°-100°=80°．
∵DFAB，
∴=∠BEC=80°．
故答案为：80．
15．
解：移项得：，
系数化为1得：，
故答案为：．
16．18
解：男生有名，女生比男生多4名，则女生有名，
由题意得：，
解得：，
故答案为：18．
17．
解：
．
18．
解：，
由②得，
把③代入①得，
解得，
把代入③得，
所以方程组的解是．
19．；图见解析
解：，
解不等式①得：，　
解不等式②得：，　
所以不等式组的解集是：，　
在数轴上表示如下：　
20．(1)见解析
(2)，
（1）解：如图；
（2）解：，
21．(1)200名
(2)见解析
(3)该校七年级有600名学生，估计喜欢阅读小说的学生有240人
（1）解：（名），
答：本次调查共抽取了200名学生；
（2）解：（名），
补全图形如下：
（3）解：（名），
答：该校七年级有600名学生，估计其中喜欢阅读小说的学生有240人．
22．
解：，
①＋②得，
解得，
①－②得，
解得，
因为，
所以，
解得．
23．详见解析
解：因为，
所以．
因为，
所以．
所以．
24．(1)；
(2)购进种商品60件，种商品40件，利润最大，最大利润为1200元
（1）解：，
整理得：，
由于购进A，B两种商品共100件，且购进的种商品不少于60件，则；
∴与的函数关系式为，自变量的取值范围为；
（2）解：，且，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，函数取得最大利润，且最大利润为（元），
此时购进B种商品为（件）；
答：购进种商品60件，种商品40件，利润最大，最大利润为1200元．
25．（1）A(1，0)，B(0，)（2）（3）；
解：（1）
，
，
点，点分别在轴，轴的正半轴上
（2）∵OB=，OA=1，∠AOB=90°，
∴, AC＝4，
同理：，
∵，即：，
∴，
过P作PQ⊥CA于Q，
∵，，
∴，
∴S=S△ABC-S△APC=-t
（3）由（2）得AC＝4，，，
∴AB2+BC2＝22+（2）2＝16＝AC2．
∴△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°．
以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似，分两种情况：
①△ABP∽△AOB
∴
∴
∴
点P与点C重合P1（－3，0）；
②△ABP∽△BOA，
∴，
∴，
∴，
∴
过P作PQ⊥CA于Q，
∵PQ⊥CA，BO⊥CA，
∴PQ∥BO，
∴△CPQ∽△CBO，
∴，
∴CQ=2，PQ=，
∴，
∴P2（－1，），
∴存在这样的点P，．

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