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广东省茂名市 高州市第一中学2025-2026学年八年级上学期开学数学试题
一、单选题
1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．7，8，9 B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，9，10
2．【新考向 数学文化】我国古代数学的发展历史源远流长，在历代数学家的不懈探索中，诞生了很多重大的数学发现．下列有关我国古代数学发现的图示中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算中，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．在实数，0，，，，，（相邻两个6之间1的个数逐次加1）中，无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．如图，在三角形中，，，，垂足为点D，则的长可能是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．已知，，则（ ）
A．14.36 B．143.6 C．45.4 D．454
7．用如下方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平的方式有（ ）种．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，点E在的延长线上，对于给出的四个条件：
①；②；
③；④．
其中能判断的是（　　）
A．①② B．①④ C．①③ D．②④
9．以下四种情景分别描述了两个变量之间的关系：
①将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间的关系．
②在受力范围内，弹簧的长度与弹簧受到的拉力的关系．
③汽车以某一固定的速度匀速行驶，行驶的路程与时间的关系．
④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系．
下面四个图象分别刻画了以上变量之间的关系，图象对应的情景的正确排序是(　　)
A．①②③④ B．①④③② C．①②④③ D．②④③①
10．农民麦子大丰收，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型（如图所示）．现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），则装饰带的长度最短为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，请添加一个条件，使得．添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）；

12．如图，直线与相交于点，于点平分，且，则的度数为 °．
13．的积中不含x的二次项，则m的值是 ．
14．若有意义，则的取值范围是 ．
15．为了体验人工智能生活，小洪想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：，，，，，则其中有 款扫地机可以购买．
三、解答题
16．（1）计算：．
（2）求式中的值：
17．如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°．求∠AGD的度数．
18．已知某正数的两个不同的平方根为和，的立方根为．
(1)求的值；
(2)求的平方根．
19．如图，在中，，，，点D是外一点，连接，，且，．
(1)求证：；
(2)求四边形面积．
20．某超市最近销售蓝莓，根据以往的销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系：
每千克售价（元） 60 59 58 57 56 …… 30
每天销售量（千克） 50 55 60 65 70 …… 200
(1)表格中的自变量是__________，因变量是__________．
(2)设当售价从每千克60元下降了x元时，每天销售量为y千克，直接写出y与x之间的关系式；
(3)如果周六的销售量是170千克，那这天的售价是每千克多少元？
(4)如果蓝莓的成本价是30元/千克，某天的售价定为40元/千克，当天的销售利润是多少？
21．如图1，∠DAB＝90°，CD⊥AD于点D，点E是线段AD上的一点，若DE＝AB，DC＝AE．
(1)判断CE与BE的关系是 ．
(2)如图2，若点E在线段DA的延长线上，过点D在AD的另一侧作CD⊥AD，并保持CD＝AE，DE＝AB，连接CB，CE，BE，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．
22．用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，例如：计算图1的面积．把图1看作一个大正方形． 它的面积是；如果把图1 看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到．

(1)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为 ．
(2)利用（1）中的结论解决以下问题：
已知，，求的值；
(3)如图3，正方形边长为a，正方形边长为b，点D，G，C在同一直线上，连接、，若，，求图3中阴影部分的面积．
23．综合与实践
问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计．
欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水．
强强设计的铺设管道方案如下：
方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F；
方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道．
社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了．
(1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离．
(2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用．
(3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用．
参考答案
1．C
解：A、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
B、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
C、，是“勾股数”，故本选项符合题意；
D、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．C
解：A．是轴对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，不符合题意；
C．不是轴对称图形，符合题意；
D．是轴对称图形，不符合题意；
故选C．
3．A
解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
4．B
【详解】是无限不循环小数，所以也是无限不循环小数，是无理数；
0是整数，属于有理数；
开方开不尽，是无限不循环小数，是无理数；
是有限小数，属于有理数；
，属于有理数；
是分数，属于有理数；
（相邻两个6之间1的个数逐次加1）是无限不循环小数，是无理数．
综上，无理数共有3个．
故选：B．
5．A
解：∵，，，
∴，即：；
∴的长可能是4；
故选：A．
6．B
解：∵，
∴．
故选：B．
7．C
【详解】第一个图片：箱子里有4个黑球，4个白球，任意摸出一个球，摸到黑球和白球的可能性相同，所以用摸球的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平；
第二个图片：转盘中乙队的区域比甲队的区域大，则转到乙队的可能性大，乙队获胜的可能性比甲队大，所以用转盘的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，不公平；
第三个图片：硬币只有正、反两面，抛一次硬币，正面朝上和反面朝上的可能性相等，所以用抛硬币的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平；
第四个图片：1～6中，奇数有1、3、5，有3个；偶数有2、4、6，有3个；奇数与偶数的个数相等，则掷出奇数、偶数的可能性相同，所以用掷骰子的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平；
综上所述，公平的方式有3种；
故选C．
8．B
解：①∵，
∴；
②∵，，
∴，
∴；
③∵，
∴；
④∵，
∴.
故选：B
9．C
解：根据题意可得，与图象的顺序相对应的情景分别是：
第一幅图：因变量随着自变量的增大而减小，直至为零，符合①将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间的关系；
第二幅图：因变量随着自变量的增大而增大，且起始值大于零，符合②在受力范围内，弹簧的长度与弹簧受到的拉力的关系；
第三幅图：因变量随着自变量的增大，先由0开始增大，再保持不变，最后减小到0，且起始值大于零，符合④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系；
第四幅图：因变量随着自变量的增大而增大，且起始值为零，符合③汽车以某一固定的速度匀速行驶，行驶的路程与时间的关系；
正确的排序是：①②④③
故选：C．
10．D
解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，最短路线为的长，
则，
∴．
故选：D．
11．（答案不唯一）
解：添加条件，
在和中，
，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
12．
解：∵，
∴，
∴，且，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
故答案为： ．
13．
解：
，
∵积中不含x的二次项，
∴，
解得：，
故答案为：．
14．
解：根据题意得到，，
解得，，
故答案为： ．
15．3
解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C，
则，，
在中，，即，
∴
∵扫地机能从角落自由进出，
∴扫地机的直径不大于长，
∴小洪可以购买扫地机的尺寸直径可以为，，，共3款，
故答案为：3．
16．（1）3；（2），或
解：（1）原式．
（2）∵，
∴．
∴．
∴．
∴，或．
17．∠AGD的度数为110°．
【详解】∵EF∥AD(已知)
∴∠2=∠3(两直线平行，同位角相等)；
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1=∠3(等量代换)；
∴DG∥AB(内错角相等，两直线平行).
∴(两直线平行，同旁内角互补) ，
∵
∴
18．(1)
(2)
（1）解：∵正数的两个不同的平方根是和，
，
解得，
的立方根为，
，
解得，
．
（2）解：由（1）已得：，
∴，
∴的平方根为．
19．(1)见解析
(2)36
（1）解：∵在中，，，，
∴．
∵， ，
∴，
∴是直角三角形，．
（2）解：∵是直角三角形，且，
∴；
∵在中，，
∴．
∴．
20．(1)每千克售价，每天销量
(2)
(3)36元
(4)1500元
（1）解：由题意得，自变量是每千克售价，因变量是每天销量，
故答案为：每千克售价，每天销量；
（2）解：由题意得售价每下降1元销售量就增大5千克，
∴当售价从每千克60元下降了x元时，每天销售量为
即y与x之间的关系式为；
（3）解：当时，，
解得：，
∴，
即这天的售价是每千克36元；
（4）解：由（2）题结果可得，当时，
，
∴（元）
答：这天的销售利润是1500元．
21．(1)CE＝BE且CE⊥BE
(2)成立，理由详见解析
（1）解：CE＝BE且CE⊥BE，理由如下：
∵CD⊥AD，∴∠CDE＝90°，
∵∠DAB＝90°，∴∠CDE＝∠EAB，
在△CDE和△EAB中，
∴，
∴CE＝BE，∠CED＝∠EBA，
∵∠EBA＋∠BEA＝90°，
∴∠CED＋∠BEA＝90°，
∴∠CEB＝90°，
∴CE⊥BE，
∴CE＝BE且CE⊥BE．
（2）解：（1）中结论成立，理由如下：
∵CD⊥AD，∴∠CDE＝90°，
∵∠DAB＝90°，∴∠CDE＝∠EAB，
在△CDE和△EAB中，
∴，
∴CE＝BE，∠CED＝∠EBA，
∵∠EBA＋∠BEA＝90°，
∴∠CED＋∠BEA＝90°，
∴∠CEB＝90°，
∴CE⊥BE，
∴CE＝BE且CE⊥BE．
22．(1)
(2)
(3)
（1）解：正方形的面积可表示为：，
还可以表示为：，
∴．
（2）∵，，，
∴，
∴．
（3）∵，，
∴，
∴（负根舍去），
∵阴影部分的面积为：
．
23．(1)A，C
(2)建造绿化地的费用为11400元
(3)方案一所花的费用700元方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元
（1）解：连接，
施工人员测量的是A，C两点之间的距离，
∵
∴，
∴，
即当测量A，C两点之间的距离为
∴满足勾股逆定理得；
∴，
故答案为：A，C；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴四边形的面积，
∴建造绿化地的费用（元）；
（3）解：∵，
∴
∵，
∴，
∴
∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元），
方案二：铺设管道所花的费用（元），
∵
∴铺设管道所需的最少费用为700元．

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