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第三章《整式及其加减》培优卷—北师大版数学七（上）单元分层测
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2024七上·房山期中）用下列各式分别表示下面几何图形的面积，其中表示正确的有（　　）
①②
③④
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2024七上·渝北期末）如图是一个正方体的表面展开图，如果相对面上所标的两个数互为相反数，那么x+y+z的值是（　　）
A．1 B．4 C．7 D．9
3．（2025七上·常德期末）某玩具厂在生产配件时，需要分别从棱长为的正方体木块中，挖去一个棱长为（）的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示），将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为、、，则下列大小关系正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024七上·南宁期中）“杨辉三角”两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式中各代数式前面数字的规律（按的指数由大到小的顺序依次排列，的指数由小到大的顺序依次排列）．观察这些数字的规律，求出的展开式中各代数式前面数字的和为（　　）
A．32 B．64 C．128 D．136
5．（2024七上·东莞期中）观察下列一组图形中点的个数，其中第①个图形中共有4个点，第②个图形中共有12个点，第③个图形中共有24个点，按此规律，第⑧个图形有（　　）个点．
A．96 B．112 C．144 D．160
6．（2023七上·永善期末）观察下列关于m，n的单项式的特点：m2n，m2n2，m2n3，m2n4，m2n5，……，按此规律，第n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023七上·镇海区期中）如图，长为y（cm），宽为x（cm）的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（　　）
①小长方形的较长边为；
②阴影的较短边和阴影的较短边之和为；
③若为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③
8．（2024七上·深圳期末）如图是节选课本110页上的阅读材料，请根据材料提供的方法求和：，它的值是（　　）
上题是利用一系列等式相加消去项达到求和，这种方法不仅限于整数求和，如 ①②③④ …… 继续写出上述第n个算式，并把这些算式两边分别相加，会得到：．
A．1 B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．已知多项式 是二次多项式，则 　 　.
10．（2024七上·宝安期中）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，则的值为　 　．
　
第1幅图 第2幅图 第3幅图 第4幅图 ……
11．（2024七上·平湖期中）在计算两位数的平方运算时，我们可以利用“竖式”方式进行快速运算，其步骤如图所示（图1，2，3），现有一个两位数，其十位数字为，在进行平方运算时，部分步骤如图4所示（为小于的正整数），则这个两位数是　 　（用含的代数式表达）．
12．（2023七上·黄陂期中）下列说法：
①若，则；
②单项式和多项式都是五次整式；
③若，，则的结果有两个；
④若的运算结果中不含项，则常数项为．其中一定正确的结论是　 　(只填序号)．
13．（2024七上·杭州期中）某市用水进行分段计费，每户每月用水量在规定吨数以下的收费标准相同；规定吨数以上的超过部分收费标准相同，以下是某户月份用水量和交费情况：
月份 1 2 3 4
用水量吨 4
价格元 8
那么每月用水量规定的吨数是　 　吨，若用水吨（大于规定吨数），则应交水费　 　元．
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2024七上·南海期中）（1）有这样一道题：“当，求代数式：7a3﹣6a3b+3a2b+3a3+6a3b﹣3a2b﹣10a3+3的值”；小明细算了一下，提出题中所给的条件是多余的，请你认真计算一下，认为他的说法是否有道理？
（2）小红做了一道数学题：“已知两个多项式为A、B，其中B=4a2﹣5a﹣6，求A+B的值．”粗心的小红误将“A+B”看成“A﹣B”，结果求出的答案是10a﹣7a2+12，请你帮助小红求出正确的A+B的结果．
15．（2024七上·广州期中）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点把数轴分成①②③④四部分，点对应的数分别是，已知．
（1）请说明原点在第　 　部分；
（2）若的长是多项式的一次项系数，的长是单项式的次数，是最大的负整数，求；
（3）在（2）的条件下，若将点移动2个单位长度到达点，则点表示的数是多少？
16．（2024七上·西湖期末）小明有以下8张卡牌，第一组卡牌上标有数，第二组卡牌上标有多项式，请你根据要求完成以下任务．
任务1：请在第一组卡牌中选择3张卡牌，使所标数的积最小，请列出算式并求得结果；
任务2：请在第一组中选择1张卡牌，在第二组中选择2张卡牌，使这3张卡牌上所标的数与多项式相加，化简后结果为二项式，请列出算式并求其结果．
17．（2024七上·从江期中）阅读理解：蕊蕊是一个勤奋好学的学生，她常常通过书籍、网络等渠道主动学习各种知识．下面是她从网络搜到的两位数乘的速算法，其口诀是：“头尾一拉，中间相加，满十进一”，例如：①．计算过程：两数拉开，中间相加，即，最后结果；②．计算过程：两数分开，中间相加，即，满十进一，最后结果．
（1）计算：①______，②______；
（2）若某个两位数十位数字是a，个位数字是b（），将这个两位数乘，得到一个三位数，则根据上述的方法可得，该三位数百位数字是______，十位数字是______，个位数字是______；（用含a、b的代数式表示）
（3）请你结合（2），利用所学的知识解释其中原理．
18．定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题：
（1）在下列多项式中，属于“标准多项式”的是　 　；（填写序号）
①；②；③．
（2）若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．
（3）已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”．
19．（2023七上·东坡期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表．
价目表 　
每月用水量 单价
不超出6立方米的部分 2元/米
超出6立方米但不超出10立方米的部分 4元/米
超出10立方米的部分 8元/米
注：水费按月结算 　
（1）若某户居民2月份用水4立方米，则应交水费_______元．
（2）若某户居民3月份用水a立方米（其中），则该用户3月份应交水费多少元（用含a的整式表示，结果要化成最简形式）？
（3）若某户居民4，5月份共用水12立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4，5月份共交水费多少元（用含x的整式表示，结果要化成最简形式）．
20．（2024七上·宝安期中）《庄子 天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，探究课上，同学们运用此数学思想研究下列问题．
“聪慧组”的同学将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，并用数形结合的思想解决下列问题
（1）请按照“聪慧组”同学的思路填空
；
________；
猜想：
；
（2）为了证明“聪慧组”同学得到的结论，“明辨组”的同学采用了以下方法进行证明，请将证明过程补充完整．
设
则
即
化简得
得：
即___________；
进一步可猜想：
___________．
通过阅读，你一定学到了多种解决问题的方法．
（3）请选择“聪慧组”的作图法或“明辨组”的代数法进行计算： （只选一种解法，若选择作图，请标注出各部分图形的面积，下图是边长为的正方形）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】用字母表示数；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：①③如下图：
几何图形的面积：或，故①③正确．
②如下图：
几何图形的面积：，故②正确，
④如下图：
几何图形的面积：，故④正确，
综上①②③④正确，
故选：A．
【分析】本题主要考查了用代数式表示图形的面积，根据选项，结合矩形的面积公式，依次画出图形表示出面积，即可得出答案．
2．【答案】C
【知识点】几何体的展开图；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“x”相对的数字是“”，故；
“y”相对的数字是“”，故；
“z”相对的数字是“3”，故．
．
故答案为：C．
【分析】本题考查正方体的表面展开图．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，据此可求出x，y和z的值，可求求出答案．
3．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；几何体的表面积
【解析】【解答】解：由题意得
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】结合图形，由正方体的表面积公式及几何体的表面积计算方法分别表示出S甲，S乙，S丙，分别进行整式加减运算后，进行比较大小，即可求解.
4．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵当时，多项式展开式的各项系数之和为：，
当时，多项式展开式的各项系数之和为：，
当时，多项式展开式的各项系数之和为：，
当时，多项式展开式的各项系数之和为：，
…
∴多项式展开式的各项系数之和．
故选：C．
【分析】本题考查了杨辉三角在二项式展开式中的相关规律及其应用，按照杨辉三角图表，分别计算当，，和时，多项式展开式的各项系数之和，得出运算规律，结合预算规律，即可求解.
5．【答案】C
【知识点】用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：由所给图形可知，
第①个图形中点的个数为：，
第②个图形中点的个数为：，
第③个图形中点的个数为：，
，
故第个图形中点的个数为，
当时，
（个，
即第⑧个图形中点的个数为144个．
故选：．
【分析】第①个图形中点的个数为：，第②个图形中点的个数为：，第③个图形中点的个数为：，以此类推，第⑧个图形有个点.
6．【答案】A
【知识点】用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：第1个单项式是：，
第2个单项式是：，
第3个单项式是：，
第4个单项式是：，
……
以此规律，
第n个单项式是：.
故答案为：A.
【分析】根据已知给出的单项式，可知m的次数是2，n的次数和系数的分子是按自然数变化，而系数的分母比分子大1.
7．【答案】C
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：由题可知，阴影A的较长边为y-3×4=y-12，较短边为x-2×4=x-8；
阴影B的较长边为3×4=12，较短边为x-y+12；
小长方形的较长边为y-12，较短边为4，
则①小长方形的较长边为y-2，故①正确；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为2x-y+4，故②错误；
③阴影A和阴影B的周长和为，若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值，故③正确；
④阴影A和阴影B的面积和为，当时，阴影A和阴影B的面积和为240，是一个定值，故④正确．
综上可知，正确的为①③④．
故答案为：C．
【分析】先根据图形及题干给出的数据得出阴影A、阴影B和5个小长方形的较长边和较短边，分别按照①②③④的要求分别进行计算，再判断即可．
8．【答案】B
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：
=1-+=1-= .
故答案为：B.
【分析】根据已知材料将原式化为1-+，再计算即可.
9．【答案】13
【知识点】多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：原多项式，
整理项：，
整理项：，
剩余项：，
因是二次多项式，、项系数为，
，
两式相加消：，得，
代入，得，
所以 .
故答案为：13.
【分析】先合并同类项，根据“二次多项式”隐含高次项（、 ）系数为，列方程组求、，再代入计算.
10．【答案】
【知识点】探索数与式的规律；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：依题意，，，，，，；
∴
，
∴，
故答案为：．
【分析】
分析图形可以得出a的变化规律：an=n（n+2），得出规律后代入所求式子进行裂项求解即可。
11．【答案】
【知识点】整式的加减运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据题意可得，图1，竖式中第一行：中的是中的平方，中的是中的平方；第二行：是中；
图2，竖式中第一行：中的是中的平方，中的是中的平方；第二行：是中；
图3，竖式中第一行：中的是中的平方，中的是中的平方；第二行：是中；
∴图4中，第二行的这个两位数可表示为：，这个数是某个乘方数中十位上的数字与个位上的数字之积的倍，
∴这个两位数的十位上的数字与个位上的数字之积为：，
∵这个两位数的十位数字为，
∴这个两位数的个位数字为，
∴这个两位数是，
故答案为：．
【分析】观察图形可发现：“竖式”的第一行从左向右分别为：十位上的数字的平方与个位上的数字的平方，即中的是中的平方，中的是中的平方，每个数的平方占两个空，平方是一位数的前面的空用填补；第二行从左向右是这个两位数的个位上的数字与十位上的数字之积的倍，即是中，乘积为两位的填中间两个空格，乘积为三位数的从左边第一个空格开始填．以此规律即可解答．
12．【答案】①③④
【知识点】整式的加减运算；多项式的项、系数与次数；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：①若，则，①结论正确；
②单项式的是3次整式，
多项式是3次整式，故②结论错误；
③，，
当，，时，，
当，，时，，
当，，时，，
则结果有0或4，故③结论正确；
④
，
运算结果中不含项，
，
解得：，
，故④结论正确．
则正确的结论有：①③④．
故答案为：①③④．
【分析】利用整式的加减，绝对值，有理数的乘方对各项进行分析即可．
13．【答案】11；（3a﹣11）
【知识点】整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：从表中数据可以看出规定吨数为不超过11吨，
故答案为：11；
11吨以内，每吨：（元，
超过11吨的部分每吨：（元．
用水吨大于规定吨数），则应交水费：
元，
故答案为：．
【分析】
观察表中数据可得从第3月份开始，用水的价格发生变化，即当时每吨水2元，当时，超出部分每吨3元，应付费，最后利用整式的混合运算整理即可．
14．【答案】（1）代数式的值与a，b无关，小明的说法是有道理的；理由如下：
∵7a3﹣6a3b+3a2b+3a3+6a3b﹣3a2b﹣10a3+3
=（7+3-10）a3+(-6+6)a3b+(3-3)a2b+3
=0+0+0+3
=3，
化简后的代数式是一个常数3，
∴代数式的值与a，b无关，小明的说法是有道理的.
（2）∵A﹣B=10a﹣7a2+12；且B=4a2﹣5a﹣6，
∴A=10a﹣7a2+12+B
=（10a﹣7a2+12）+（4a2﹣5a﹣6）
=10a-7a2+12+4a2-5a-6
=5a﹣3a2+6，
∴A+B=（5a﹣3a2+6）+（4a2﹣5a﹣6）
=5a﹣3a2+6+4a2﹣5a﹣6
=a2．
答：A+B的结果是a2．
【知识点】整式的加减运算
【解析】【分析】（1）根据合并同类项法则“合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”计算可求解，求得的结果是一个常数，即可判断小明的说法是正确的；
（2）根据A﹣B的值可求得A的值，然后根据去括号法则“括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变；括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号”和合并同类项法则“合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”计算即可求解．
15．【答案】（1）③
（2）解：的长是多项式的一次项系数
，
的长是单项式的次数，
，
，
是最大的负整数，
，
；
（3）解：，
，
①当点向右移动2个单位长度到达点，则点表示的数为4，
②当点向左移动2个单位长度到达点，则点表示的数为0，
点表示的数是0或4．
【知识点】单项式的次数与系数；多项式的项、系数与次数；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴数b与c异号，
∴原点在第③部分．
故答案为：③.
【分析】（1）根据，求出数b与c异号，再求解即可；
（2）根据题意先求出，再求出=2，最后计算求解即可；
（3）根据题意先求出c=2，再分类讨论求解即可.
（1）解：∵，
∴则数b与c异号，
∴原点在第③部分．
故答案为：③；
（2）解：的长是多项式的一次项系数
，
的长是单项式的次数，
，
，
是最大的负整数，
，
；
（3）解：，
，
①当点向右移动2个单位长度到达点，则点表示的数为4，
②当点向左移动2个单位长度到达点，则点表示的数为0，
点表示的数是0或4．
16．【答案】解：任务1：根据题意得：；
任务2：．
【知识点】整式的加减运算；有理数的乘法法则；多项式的项、系数与次数
【解析】【分析】本题考查有理数乘法运算，整式加减运算．
任务1：根据选择3张卡牌，使所标数的积最小，得出必须选择一个负数，两个正数，得出必须选项1，2，再根据积最小必须选择，再选2，列出式子可得：，再进行计算可求出答案；
任务2：根据3张卡牌上所标的数与多项式相加，化简后结果为二项式，得出必须选择，，再根据两个整式的和中常数项为，得出必须选择数字1，相加后常数项为0，据此可列出算式：，再进行去括号，合并同类项可化简出式子.
17．【答案】（1）①；②；
（2）a，，b；
（3）解：两位数乘以可以看成这个两位数乘以再加上这个两位数，若两位数的十位数为a，个位数为b，则这个数为：
则
根据上述代数式，总结出规律口诀：头尾一拉，中间相加，满十进一．
【知识点】整式的加减运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：，
计算过程：两数拉开，中间相加，即，最后结果；
，
计算过程：两数拉开，中间相加，即，满十进一，最后结果；
故答案为：①；②；
（2）
某个两位数十位数字是a，个位数字是b（），
则根据数拉开，中间相加得到：百位数字是：a，十位数字是，个位数字是：b；
故答案为：a，，b；
【分析】
（1）直接根据口诀解题即可；
（2）总结规律即可；
（3）根据整式的运算化简得到结论．
（1）解：，
计算过程：两数拉开，中间相加，即，最后结果；
，
计算过程：两数拉开，中间相加，即，满十进一，最后结果；
故答案为：①；②；
（2）某个两位数十位数字是a，个位数字是b（），
则根据数拉开，中间相加得到：百位数字是：a，十位数字是，个位数字是：b；
故答案为：a，，b；
（3）两位数乘以可以看成这个两位数乘以再加上这个两位数，若两位数的十位数为a，个位数为b，则这个数为：
则
根据上述代数式，总结出规律口诀：头尾一拉，中间相加，满十进一．
18．【答案】（1）①③
（2）解：是，理由如下：
多项式是关于，的“标准多项式”，
为的整数倍，
设（为整数，），
则，
多项式的系数和为，
，
，
是的整数倍，即是的整数倍，
多项式是关于，的“标准多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“标准多项式”
（3）证明：∵，，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴多项式为，
多项式的系数和为，
∴多项式也是关于x，y的“标准多项式”
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：（1）①多项式的系数和为，
该多项式是“标准多项式”，
②多项式的系数和为，不是的整数倍，
该多项式不是“标准多项式”，
③多项式的系数和为，
该多项式是“标准多项式”，
故答案为：①③；
【分析】(1)分别算一下这三个多项式各系数之和是否为7的整数倍，即可求出答案；
(2)根据题意可知，4m-n是7的整数倍，推出n=4m-7z，根据要求推一下2m+3n是否是7的整数倍即可；
（3）把A，B，C的式子代入整理，根据对应系数相等得到，然后代入多项式，根据“标准多项式”判断解答即可.
19．【答案】（1）8
（2）解：根据题意，得元，
∴该用户3月份应交水费元；
（3）解：∵某户居民4，5月份共用水12立方米（5月份用水量多于4月份），
∴4月份的用水量少于6立方米，
∵4月份用水立方米，
∴5月份用水立方米，
当时，有，
∴此时4月份的费用为，5月份的费用为元，
∴该户居民4，5月份共交水费元；
当时，有，
∴此时4月份的费用为，5月份的费用为元，
∴该户居民4，5月份共交水费元；
综上所述，当时，该户居民4，5月份共交水费元；当时，该户居民4，5月份共交水费元．
【知识点】整式的加减运算；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得应交水费为：（元），
故答案为：8.
【分析】（1）直接根据自来水收费价格的价目表进行计算求解；
（2）直接根据自来水收费价格的价目表进行计算求解；
（3）先求出4月份的用水量少于6立方米，且5月份用水立方米，然后分两种情况讨论：当时，则；当时，则，分别根据自来水收费价格的价目表计算出4月和5月的费用，最后求和即可得到答案．
（1）解：元，
∴某户居民2月份用水4立方米，则应交水费8元，
故答案为：8；
（2）解：元，
∴该用户3月份应交水费元；
（3）解：∵某户居民4，5月份共用水12立方米（5月份用水量多于4月份），
∴4月份的用水量少于6立方米，
∵4月份用水x立方米，
∴5月份用水立方米，
当时，则，
∴此时4月份的费用为，5月份的费用为元，
∴该户居民4，5月份共交水费元；
当时，则，
此时4月份的费用为，5月份的费用为元，
∴该户居民4，5月份共交水费元；
综上所述，当时，该户居民4，5月份共交水费元；当时，该户居民4，5月份共交水费元．
20．【答案】（1）；
（2）；；
（3）解：解法一：设，则，
化简得，
得：，
∴；
解法二：如图，
由图可知：．
【知识点】探索数与式的规律；有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：（1）由；
；
；
；
；
故答案为：；；
解：（2）由得：，
即；
设
则
即
化简得
得：，
即；
故答案为：；；
【分析】（1）根据题意，根据“聪慧组”同学的运算式，得到的规律，结合规律，即可求解；
（）根据题意，得到的规律，结合，进行有理数的混合运算，即可求解；
（）根据题意，得到，结合，利用规律进行有理数的混合运算和画出图形，即可求解．
（1）解：；
；
；
；
；
故答案为：；；
（2）解：得：，
即；
设
则
即
化简得
得：，
即；
故答案为：；；
（3）解：解法一：设，
则，
化简得，
得：，
∴；
解法二：如图，
由图可知：．
1 / 1第三章《整式及其加减》培优卷—北师大版数学七（上）单元分层测
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2024七上·房山期中）用下列各式分别表示下面几何图形的面积，其中表示正确的有（　　）
①②
③④
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【知识点】用字母表示数；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：①③如下图：
几何图形的面积：或，故①③正确．
②如下图：
几何图形的面积：，故②正确，
④如下图：
几何图形的面积：，故④正确，
综上①②③④正确，
故选：A．
【分析】本题主要考查了用代数式表示图形的面积，根据选项，结合矩形的面积公式，依次画出图形表示出面积，即可得出答案．
2．（2024七上·渝北期末）如图是一个正方体的表面展开图，如果相对面上所标的两个数互为相反数，那么x+y+z的值是（　　）
A．1 B．4 C．7 D．9
【答案】C
【知识点】几何体的展开图；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“x”相对的数字是“”，故；
“y”相对的数字是“”，故；
“z”相对的数字是“3”，故．
．
故答案为：C．
【分析】本题考查正方体的表面展开图．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，据此可求出x，y和z的值，可求求出答案．
3．（2025七上·常德期末）某玩具厂在生产配件时，需要分别从棱长为的正方体木块中，挖去一个棱长为（）的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示），将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为、、，则下列大小关系正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；几何体的表面积
【解析】【解答】解：由题意得
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】结合图形，由正方体的表面积公式及几何体的表面积计算方法分别表示出S甲，S乙，S丙，分别进行整式加减运算后，进行比较大小，即可求解.
4．（2024七上·南宁期中）“杨辉三角”两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式中各代数式前面数字的规律（按的指数由大到小的顺序依次排列，的指数由小到大的顺序依次排列）．观察这些数字的规律，求出的展开式中各代数式前面数字的和为（　　）
A．32 B．64 C．128 D．136
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵当时，多项式展开式的各项系数之和为：，
当时，多项式展开式的各项系数之和为：，
当时，多项式展开式的各项系数之和为：，
当时，多项式展开式的各项系数之和为：，
…
∴多项式展开式的各项系数之和．
故选：C．
【分析】本题考查了杨辉三角在二项式展开式中的相关规律及其应用，按照杨辉三角图表，分别计算当，，和时，多项式展开式的各项系数之和，得出运算规律，结合预算规律，即可求解.
5．（2024七上·东莞期中）观察下列一组图形中点的个数，其中第①个图形中共有4个点，第②个图形中共有12个点，第③个图形中共有24个点，按此规律，第⑧个图形有（　　）个点．
A．96 B．112 C．144 D．160
【答案】C
【知识点】用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：由所给图形可知，
第①个图形中点的个数为：，
第②个图形中点的个数为：，
第③个图形中点的个数为：，
，
故第个图形中点的个数为，
当时，
（个，
即第⑧个图形中点的个数为144个．
故选：．
【分析】第①个图形中点的个数为：，第②个图形中点的个数为：，第③个图形中点的个数为：，以此类推，第⑧个图形有个点.
6．（2023七上·永善期末）观察下列关于m，n的单项式的特点：m2n，m2n2，m2n3，m2n4，m2n5，……，按此规律，第n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：第1个单项式是：，
第2个单项式是：，
第3个单项式是：，
第4个单项式是：，
……
以此规律，
第n个单项式是：.
故答案为：A.
【分析】根据已知给出的单项式，可知m的次数是2，n的次数和系数的分子是按自然数变化，而系数的分母比分子大1.
7．（2023七上·镇海区期中）如图，长为y（cm），宽为x（cm）的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（　　）
①小长方形的较长边为；
②阴影的较短边和阴影的较短边之和为；
③若为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③
【答案】C
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：由题可知，阴影A的较长边为y-3×4=y-12，较短边为x-2×4=x-8；
阴影B的较长边为3×4=12，较短边为x-y+12；
小长方形的较长边为y-12，较短边为4，
则①小长方形的较长边为y-2，故①正确；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为2x-y+4，故②错误；
③阴影A和阴影B的周长和为，若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值，故③正确；
④阴影A和阴影B的面积和为，当时，阴影A和阴影B的面积和为240，是一个定值，故④正确．
综上可知，正确的为①③④．
故答案为：C．
【分析】先根据图形及题干给出的数据得出阴影A、阴影B和5个小长方形的较长边和较短边，分别按照①②③④的要求分别进行计算，再判断即可．
8．（2024七上·深圳期末）如图是节选课本110页上的阅读材料，请根据材料提供的方法求和：，它的值是（　　）
上题是利用一系列等式相加消去项达到求和，这种方法不仅限于整数求和，如 ①②③④ …… 继续写出上述第n个算式，并把这些算式两边分别相加，会得到：．
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：
=1-+=1-= .
故答案为：B.
【分析】根据已知材料将原式化为1-+，再计算即可.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．已知多项式 是二次多项式，则 　 　.
【答案】13
【知识点】多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：原多项式，
整理项：，
整理项：，
剩余项：，
因是二次多项式，、项系数为，
，
两式相加消：，得，
代入，得，
所以 .
故答案为：13.
【分析】先合并同类项，根据“二次多项式”隐含高次项（、 ）系数为，列方程组求、，再代入计算.
10．（2024七上·宝安期中）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，则的值为　 　．
　
第1幅图 第2幅图 第3幅图 第4幅图 ……
【答案】
【知识点】探索数与式的规律；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：依题意，，，，，，；
∴
，
∴，
故答案为：．
【分析】
分析图形可以得出a的变化规律：an=n（n+2），得出规律后代入所求式子进行裂项求解即可。
11．（2024七上·平湖期中）在计算两位数的平方运算时，我们可以利用“竖式”方式进行快速运算，其步骤如图所示（图1，2，3），现有一个两位数，其十位数字为，在进行平方运算时，部分步骤如图4所示（为小于的正整数），则这个两位数是　 　（用含的代数式表达）．
【答案】
【知识点】整式的加减运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据题意可得，图1，竖式中第一行：中的是中的平方，中的是中的平方；第二行：是中；
图2，竖式中第一行：中的是中的平方，中的是中的平方；第二行：是中；
图3，竖式中第一行：中的是中的平方，中的是中的平方；第二行：是中；
∴图4中，第二行的这个两位数可表示为：，这个数是某个乘方数中十位上的数字与个位上的数字之积的倍，
∴这个两位数的十位上的数字与个位上的数字之积为：，
∵这个两位数的十位数字为，
∴这个两位数的个位数字为，
∴这个两位数是，
故答案为：．
【分析】观察图形可发现：“竖式”的第一行从左向右分别为：十位上的数字的平方与个位上的数字的平方，即中的是中的平方，中的是中的平方，每个数的平方占两个空，平方是一位数的前面的空用填补；第二行从左向右是这个两位数的个位上的数字与十位上的数字之积的倍，即是中，乘积为两位的填中间两个空格，乘积为三位数的从左边第一个空格开始填．以此规律即可解答．
12．（2023七上·黄陂期中）下列说法：
①若，则；
②单项式和多项式都是五次整式；
③若，，则的结果有两个；
④若的运算结果中不含项，则常数项为．其中一定正确的结论是　 　(只填序号)．
【答案】①③④
【知识点】整式的加减运算；多项式的项、系数与次数；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：①若，则，①结论正确；
②单项式的是3次整式，
多项式是3次整式，故②结论错误；
③，，
当，，时，，
当，，时，，
当，，时，，
则结果有0或4，故③结论正确；
④
，
运算结果中不含项，
，
解得：，
，故④结论正确．
则正确的结论有：①③④．
故答案为：①③④．
【分析】利用整式的加减，绝对值，有理数的乘方对各项进行分析即可．
13．（2024七上·杭州期中）某市用水进行分段计费，每户每月用水量在规定吨数以下的收费标准相同；规定吨数以上的超过部分收费标准相同，以下是某户月份用水量和交费情况：
月份 1 2 3 4
用水量吨 4
价格元 8
那么每月用水量规定的吨数是　 　吨，若用水吨（大于规定吨数），则应交水费　 　元．
【答案】11；（3a﹣11）
【知识点】整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：从表中数据可以看出规定吨数为不超过11吨，
故答案为：11；
11吨以内，每吨：（元，
超过11吨的部分每吨：（元．
用水吨大于规定吨数），则应交水费：
元，
故答案为：．
【分析】
观察表中数据可得从第3月份开始，用水的价格发生变化，即当时每吨水2元，当时，超出部分每吨3元，应付费，最后利用整式的混合运算整理即可．
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2024七上·南海期中）（1）有这样一道题：“当，求代数式：7a3﹣6a3b+3a2b+3a3+6a3b﹣3a2b﹣10a3+3的值”；小明细算了一下，提出题中所给的条件是多余的，请你认真计算一下，认为他的说法是否有道理？
（2）小红做了一道数学题：“已知两个多项式为A、B，其中B=4a2﹣5a﹣6，求A+B的值．”粗心的小红误将“A+B”看成“A﹣B”，结果求出的答案是10a﹣7a2+12，请你帮助小红求出正确的A+B的结果．
【答案】（1）代数式的值与a，b无关，小明的说法是有道理的；理由如下：
∵7a3﹣6a3b+3a2b+3a3+6a3b﹣3a2b﹣10a3+3
=（7+3-10）a3+(-6+6)a3b+(3-3)a2b+3
=0+0+0+3
=3，
化简后的代数式是一个常数3，
∴代数式的值与a，b无关，小明的说法是有道理的.
（2）∵A﹣B=10a﹣7a2+12；且B=4a2﹣5a﹣6，
∴A=10a﹣7a2+12+B
=（10a﹣7a2+12）+（4a2﹣5a﹣6）
=10a-7a2+12+4a2-5a-6
=5a﹣3a2+6，
∴A+B=（5a﹣3a2+6）+（4a2﹣5a﹣6）
=5a﹣3a2+6+4a2﹣5a﹣6
=a2．
答：A+B的结果是a2．
【知识点】整式的加减运算
【解析】【分析】（1）根据合并同类项法则“合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”计算可求解，求得的结果是一个常数，即可判断小明的说法是正确的；
（2）根据A﹣B的值可求得A的值，然后根据去括号法则“括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变；括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号”和合并同类项法则“合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”计算即可求解．
15．（2024七上·广州期中）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点把数轴分成①②③④四部分，点对应的数分别是，已知．
（1）请说明原点在第　 　部分；
（2）若的长是多项式的一次项系数，的长是单项式的次数，是最大的负整数，求；
（3）在（2）的条件下，若将点移动2个单位长度到达点，则点表示的数是多少？
【答案】（1）③
（2）解：的长是多项式的一次项系数
，
的长是单项式的次数，
，
，
是最大的负整数，
，
；
（3）解：，
，
①当点向右移动2个单位长度到达点，则点表示的数为4，
②当点向左移动2个单位长度到达点，则点表示的数为0，
点表示的数是0或4．
【知识点】单项式的次数与系数；多项式的项、系数与次数；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴数b与c异号，
∴原点在第③部分．
故答案为：③.
【分析】（1）根据，求出数b与c异号，再求解即可；
（2）根据题意先求出，再求出=2，最后计算求解即可；
（3）根据题意先求出c=2，再分类讨论求解即可.
（1）解：∵，
∴则数b与c异号，
∴原点在第③部分．
故答案为：③；
（2）解：的长是多项式的一次项系数
，
的长是单项式的次数，
，
，
是最大的负整数，
，
；
（3）解：，
，
①当点向右移动2个单位长度到达点，则点表示的数为4，
②当点向左移动2个单位长度到达点，则点表示的数为0，
点表示的数是0或4．
16．（2024七上·西湖期末）小明有以下8张卡牌，第一组卡牌上标有数，第二组卡牌上标有多项式，请你根据要求完成以下任务．
任务1：请在第一组卡牌中选择3张卡牌，使所标数的积最小，请列出算式并求得结果；
任务2：请在第一组中选择1张卡牌，在第二组中选择2张卡牌，使这3张卡牌上所标的数与多项式相加，化简后结果为二项式，请列出算式并求其结果．
【答案】解：任务1：根据题意得：；
任务2：．
【知识点】整式的加减运算；有理数的乘法法则；多项式的项、系数与次数
【解析】【分析】本题考查有理数乘法运算，整式加减运算．
任务1：根据选择3张卡牌，使所标数的积最小，得出必须选择一个负数，两个正数，得出必须选项1，2，再根据积最小必须选择，再选2，列出式子可得：，再进行计算可求出答案；
任务2：根据3张卡牌上所标的数与多项式相加，化简后结果为二项式，得出必须选择，，再根据两个整式的和中常数项为，得出必须选择数字1，相加后常数项为0，据此可列出算式：，再进行去括号，合并同类项可化简出式子.
17．（2024七上·从江期中）阅读理解：蕊蕊是一个勤奋好学的学生，她常常通过书籍、网络等渠道主动学习各种知识．下面是她从网络搜到的两位数乘的速算法，其口诀是：“头尾一拉，中间相加，满十进一”，例如：①．计算过程：两数拉开，中间相加，即，最后结果；②．计算过程：两数分开，中间相加，即，满十进一，最后结果．
（1）计算：①______，②______；
（2）若某个两位数十位数字是a，个位数字是b（），将这个两位数乘，得到一个三位数，则根据上述的方法可得，该三位数百位数字是______，十位数字是______，个位数字是______；（用含a、b的代数式表示）
（3）请你结合（2），利用所学的知识解释其中原理．
【答案】（1）①；②；
（2）a，，b；
（3）解：两位数乘以可以看成这个两位数乘以再加上这个两位数，若两位数的十位数为a，个位数为b，则这个数为：
则
根据上述代数式，总结出规律口诀：头尾一拉，中间相加，满十进一．
【知识点】整式的加减运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：，
计算过程：两数拉开，中间相加，即，最后结果；
，
计算过程：两数拉开，中间相加，即，满十进一，最后结果；
故答案为：①；②；
（2）
某个两位数十位数字是a，个位数字是b（），
则根据数拉开，中间相加得到：百位数字是：a，十位数字是，个位数字是：b；
故答案为：a，，b；
【分析】
（1）直接根据口诀解题即可；
（2）总结规律即可；
（3）根据整式的运算化简得到结论．
（1）解：，
计算过程：两数拉开，中间相加，即，最后结果；
，
计算过程：两数拉开，中间相加，即，满十进一，最后结果；
故答案为：①；②；
（2）某个两位数十位数字是a，个位数字是b（），
则根据数拉开，中间相加得到：百位数字是：a，十位数字是，个位数字是：b；
故答案为：a，，b；
（3）两位数乘以可以看成这个两位数乘以再加上这个两位数，若两位数的十位数为a，个位数为b，则这个数为：
则
根据上述代数式，总结出规律口诀：头尾一拉，中间相加，满十进一．
18．定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题：
（1）在下列多项式中，属于“标准多项式”的是　 　；（填写序号）
①；②；③．
（2）若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．
（3）已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”．
【答案】（1）①③
（2）解：是，理由如下：
多项式是关于，的“标准多项式”，
为的整数倍，
设（为整数，），
则，
多项式的系数和为，
，
，
是的整数倍，即是的整数倍，
多项式是关于，的“标准多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“标准多项式”
（3）证明：∵，，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴多项式为，
多项式的系数和为，
∴多项式也是关于x，y的“标准多项式”
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：（1）①多项式的系数和为，
该多项式是“标准多项式”，
②多项式的系数和为，不是的整数倍，
该多项式不是“标准多项式”，
③多项式的系数和为，
该多项式是“标准多项式”，
故答案为：①③；
【分析】(1)分别算一下这三个多项式各系数之和是否为7的整数倍，即可求出答案；
(2)根据题意可知，4m-n是7的整数倍，推出n=4m-7z，根据要求推一下2m+3n是否是7的整数倍即可；
（3）把A，B，C的式子代入整理，根据对应系数相等得到，然后代入多项式，根据“标准多项式”判断解答即可.
19．（2023七上·东坡期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表．
价目表 　
每月用水量 单价
不超出6立方米的部分 2元/米
超出6立方米但不超出10立方米的部分 4元/米
超出10立方米的部分 8元/米
注：水费按月结算 　
（1）若某户居民2月份用水4立方米，则应交水费_______元．
（2）若某户居民3月份用水a立方米（其中），则该用户3月份应交水费多少元（用含a的整式表示，结果要化成最简形式）？
（3）若某户居民4，5月份共用水12立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4，5月份共交水费多少元（用含x的整式表示，结果要化成最简形式）．
【答案】（1）8
（2）解：根据题意，得元，
∴该用户3月份应交水费元；
（3）解：∵某户居民4，5月份共用水12立方米（5月份用水量多于4月份），
∴4月份的用水量少于6立方米，
∵4月份用水立方米，
∴5月份用水立方米，
当时，有，
∴此时4月份的费用为，5月份的费用为元，
∴该户居民4，5月份共交水费元；
当时，有，
∴此时4月份的费用为，5月份的费用为元，
∴该户居民4，5月份共交水费元；
综上所述，当时，该户居民4，5月份共交水费元；当时，该户居民4，5月份共交水费元．
【知识点】整式的加减运算；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得应交水费为：（元），
故答案为：8.
【分析】（1）直接根据自来水收费价格的价目表进行计算求解；
（2）直接根据自来水收费价格的价目表进行计算求解；
（3）先求出4月份的用水量少于6立方米，且5月份用水立方米，然后分两种情况讨论：当时，则；当时，则，分别根据自来水收费价格的价目表计算出4月和5月的费用，最后求和即可得到答案．
（1）解：元，
∴某户居民2月份用水4立方米，则应交水费8元，
故答案为：8；
（2）解：元，
∴该用户3月份应交水费元；
（3）解：∵某户居民4，5月份共用水12立方米（5月份用水量多于4月份），
∴4月份的用水量少于6立方米，
∵4月份用水x立方米，
∴5月份用水立方米，
当时，则，
∴此时4月份的费用为，5月份的费用为元，
∴该户居民4，5月份共交水费元；
当时，则，
此时4月份的费用为，5月份的费用为元，
∴该户居民4，5月份共交水费元；
综上所述，当时，该户居民4，5月份共交水费元；当时，该户居民4，5月份共交水费元．
20．（2024七上·宝安期中）《庄子 天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，探究课上，同学们运用此数学思想研究下列问题．
“聪慧组”的同学将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，并用数形结合的思想解决下列问题
（1）请按照“聪慧组”同学的思路填空
；
________；
猜想：
；
（2）为了证明“聪慧组”同学得到的结论，“明辨组”的同学采用了以下方法进行证明，请将证明过程补充完整．
设
则
即
化简得
得：
即___________；
进一步可猜想：
___________．
通过阅读，你一定学到了多种解决问题的方法．
（3）请选择“聪慧组”的作图法或“明辨组”的代数法进行计算： （只选一种解法，若选择作图，请标注出各部分图形的面积，下图是边长为的正方形）
【答案】（1）；
（2）；；
（3）解：解法一：设，则，
化简得，
得：，
∴；
解法二：如图，
由图可知：．
【知识点】探索数与式的规律；有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：（1）由；
；
；
；
；
故答案为：；；
解：（2）由得：，
即；
设
则
即
化简得
得：，
即；
故答案为：；；
【分析】（1）根据题意，根据“聪慧组”同学的运算式，得到的规律，结合规律，即可求解；
（）根据题意，得到的规律，结合，进行有理数的混合运算，即可求解；
（）根据题意，得到，结合，利用规律进行有理数的混合运算和画出图形，即可求解．
（1）解：；
；
；
；
；
故答案为：；；
（2）解：得：，
即；
设
则
即
化简得
得：，
即；
故答案为：；；
（3）解：解法一：设，
则，
化简得，
得：，
∴；
解法二：如图，
由图可知：．
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