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第四章《基本平面图形》培优卷—北师大版数学七（上）单元分层测
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2024七下·揭东开学考）从六边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将六边形分成个三角形.则的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2025七上·上城期末）如图，C点是线段AB的中点，，下列结论正确的是（　　）
A．若AB=a，则CE=a B．若CD=a，则AB=5a
C．若CD=a，则DE=2a D．若AB=a，则CD=BE=a
3．（2021七上·本溪期末）如图，OC为内的一条射线，下列条件中不能确定OC平分的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2023七上·清苑期末）如图，已知，是内任意一条射线，分别平分，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（　　）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
5．在综合与实践课上，将∠A 与∠B 两个角的关系记为∠A=n∠B(n>0)，探索n的大小与两个角的类型之间的关系，下列说法中，正确的是 (　　)
A．当n=2时，若∠A 为锐角，则∠B 为锐角
B．当n=2时，若∠A为钝角，则∠B为钝角
C．当 时，若∠A为锐角，则∠B为锐角
D．当 时，若∠A 为锐角，则∠B 为钝角
6．如图，C，D是线段AB 上两点，M，N分别是线段AD，BC的中点，下列结论：①若AD=BM，则AB=3BD；②若AC=BD，则AM=BN；③AC-BD=2(MC-DN)；④2MN=AB-CD.其中所有正确的结论是(　　)
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
7．（2022七上·鄄城期末）若线段，在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点……，按这样操作下去，线段的长度为（　　）
A． B． C． D．
8．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把 分成大小为1：2的两部分，射线OC 叫作. 的三等分线.若在 中，射线OP 是∠MON 的三等分线，射线 OQ 是 的三等分线，设∠MOQ=x，则∠MON的大小用含x的代数式表示为 (　　)
A．或3x或 B． 或3x或9x
C．或 或9x D．3x或 或9x
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2021七上·碑林期末）在一个圆中任意画三条半径，可以把这个圆分成　 　个不同的扇形.
10．我们知道在9时整时，时钟的分针与时针位置如图所示，那么9时开始，到10时之前，经过　 　分钟后，时钟的时针与针的夹角为 .
11．平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线.若平面上不同的n个点最多确定21条直线，则n 的值为　 　.
12．若∠MON=80°，P 是平面上一点，且OA 平分∠MOP，OB 平分∠NOP.当射线OP 在∠MON 外部绕点O 旋转时，∠AOB=　 　.
13．（2025七上·江北期末）如图，直线上有五个点A，B，C，D，E，连接其中两点形成的10个距离，从小到大排列依次为：2，4，5，7，8，k，13，15，17，19，那么k的值是　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．过同一平面内三个点中的任意两个点画直线，可以画几条？我们可以把它分成两类：如图①，当三点在同一直线上时，可以画1条直线；如图②，当三点不在同一直线上时，可以画3条直线．想一想，过同一平面内四个点中的任意两个点，可以画几条直线？请画出图形．
15．（2025七上·长春期末）如图，．按照下列要求用直尺、量角器继续画图并解决问题：
画出射线，，，其中平分，平分．
（1）完成图形．
（2）若，则∠BOC的大小为______．
（3）若，（其中，），用含，的式子表示出的大小为______．
16． 阅读表格，解决下列问题：
线段AB上的点数n (包括A，B两点) 图例 线段总 条数 N
3 3=2+1
4 6=3+2+1
5 10=4+3+2+1
6 15=5+4+3+2+1
7 　 　
（1）在表中的空白处分别画出图形，写出结果.
（2）猜测线段总条数 N 与线段上的点数 n(包括线段的两个端点)的关系是：　 　.
（3）当n=10时，计算 N的值等于 　 　.
（4）问题拓展：
①七年级(1)班有45位同学参加聚会，若每两人握一次手问好，那么共握了　 　次手.
②计划从甲市到乙市修建一条高速铁路，在两市之间要停靠6个站点，需要制定m种车票，则m 的值为 　 　.
A. 14 B. 16
C. 30 D. 56
17． 如图
（1）【新知理解】
点C在线段AB上，若BC=2AC或AC=2BC，则称C是线段AB 的“优点”，线段AC，BC称作互为“优点”伴侣线段.例如，如图①，线段AB的长度为6，点C在AB 上，AC的长度为2，则 C是线段AB 的其中一个“优点”.
①若C为图①中线段AB的“优点”，AC=6（AC②在（1）的条件下，若D也是图①中线段AB的“优点”（不同于点 C），则AC　 　BD（填“=”或“≠”）；
（2）【解决问题】
如图②，在数轴上，点O为原点，点E 表示的数为1，向右平移3个单位长度到达点 F.
①若不同的两点 M，N 都在线段OF 上，且M，N均为线段OF 的“优点”，求线段MN的长；
②如图②，若点G在射线EF上，且线段GF与以E，F，G中某两个点为端点的线段互为“优点”伴侣线段，求点G表示的数（写出所有可能）.
18．已知：如图1，OB，OC 分别为锐角. 内部的两条动射线，当OB，OC 运动到如图1的位置时，
图1 图2 图3
（1）求∠BOC 的度数.
（2）如图2，射线 OM，ON 分别为. 的平分线，求 的度数.
（3）如图3，若OE，OF 是∠AOD 外部的两条射线，且 OP 平分∠EOD，OQ 平分∠AOF，当∠BOC 绕着点O旋转时， 的大小会不会发生变化 若不变，求出其度数；若变化，说明理由.
19．（2023七上·砀山月考）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格：
多边形的边数 4 5 6 … n
从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数 1 2 3 … ____▲____
多边形对角线的总条数 2 5 9 … ▲
（1）请在表格中的横线上填上相应的结果；
（2）求十二边形总共有多少条对角线；
（3）过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2016吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由.
20．（2024七上·镇海区期末）学校进行了创意设计大赛，请根据表格中提供的信息答题．
信息1 如下图所示为小明设计的个性手表，时针，分针只在右半表盘来回转动（顺时针转至6的位置再逆时针旋转至12，来回旋转，转动速度与普通手表一致），左半表盘显示对应的时间．（不足一分钟的部分不显示）
信息2 学校作息时间表 第一节 8：00~8：40 第五节 13：00~13：40
第二节 8：50~9：30 第六节 13：50~14：35
大课间 9：30~10：00 第七节 14：45~15：25
第三节 10：00~10：40 第八节 15：35~16：15
第四节 10：50~11：35 体活课 16：25~16：55
（1）如图1为学校大课间开始时手表盘面的示意图，此时时针和分钟所成的夹角为______度．
（2）已知某天上午第一节为数学课．
①请在图3中画出该节数学课下课时，时针与分针的位置．该位置与当天上课期间另一时刻时针和分针的位置都一致，这个时刻对应的时间为______．
②若在这节数学课中，小明发现某一时刻，时针与分针刚好垂直，则这个时刻左边电子表盘上显示的时间是什么时候？
（3）若右半表面有一光线，始终保持平分．若在某一时刻射线刚好指向刻度2的位置，此时的位置记为，经过一个小时，射线的位置记为．若，请直接写出当在处时，电子表盘所显示的时间．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】多边形的对角线；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：从六边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相邻的3个顶点引对角线，即能引出3条对角线，它们将六边形分成4个三角形．
∴，，
则，
故选：C．
【分析】本题考查多边形的性质，其中从n边形的一个顶点出发，能引出条对角线，把多边形分成个三角形，据此规律，得到m和n的值，进而求得代数式的值，得到答案.
2．【答案】D
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：
A.∵C点是线段AB的中点，
又∵
当 时，
因此选项A不符合题意；
若 则
因此选项B不符合题意；
C.由上述解题可知，
若 则
因此选项C不符合题意；
D.由上述解题过程可知，
若 则
因此选项D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据线段中点的定义以及线段的和、差、倍、比的关系逐项进行判断即可.
3．【答案】B
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：A选项．∵∠AOC＝∠BOC
∴OC平分∠AOB．
所以A不符合题意；
B选项．∵∠AOC+∠COB＝∠AOB，
∴OC不一定平分∠AOB．
所以B符合题意；
C选项．∵∠AOB＝2∠BOC，
∴OC平分∠AOB．
所以C不符合题意；
D．∵，
∴OC平分∠AOB．
所以D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据角平分线的定义可直接判定求解即可。
4．【答案】A
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵分别平分，，
∴∠COD=2∠COB=2∠BOD，∠BOE=2∠BOD=2∠DOE
∴，故①正确；
∴∠COE=∠COD＋∠DOE=2∠BOD＋∠BOD==3∠BOD，故②正确；
∵，而∠COD不一定等于∠AOC
∴∠BOE不一定等于∠AOC，故③不一定正确；
∵
∴∠AOC＋∠COB=90°
∴，故④正确．
综上：正确的有①②④．
故选：A．
【分析】本题考查的是角的和与差，角平分线的定义和各角的关系与运算，根据题意，结合图形，利用角平分线的定，以及各角的关系，逐一运算，即可得到答案.
5．【答案】A
【知识点】角的分类（直角、锐角和钝角）
【解析】【解答】解：A、∵n=2，∠A=n∠B，
∴∠A=2∠B，
∵∠A为锐角，即0°<∠A<90°，
∴0°<2∠B<90°，
∴0°<∠B<40°，
∴∠B为锐角，故A正确；
B、∵n=2，∠A=n∠B，
∴∠A=2∠B，
∵∠A为钝角，即90°<∠A<180°，
∴90°<2∠B<180°，
∴45°<∠B<90°，
∴∠B为锐角，故B不正确；
CD、∵，∠A=n∠B，
∴，
∵∠A为锐角，即0°<∠A<90°，
∴，
∴0°<∠B<180°，
∴∠B可能是钝角、直角、锐角，故C、D不正确；
故答案为：A.
【分析】根据∠A=n∠B，求出当n=2或，∠A为锐角或钝角时∠B的取值范围，即可求解.
6．【答案】D
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵AD=BM，
∴AD=MD+BD，
∴，
∴AD=2BD，
∴AD+BD=2BD+BD，即AB=3BD，故①正确；
∵AC=BD，
∴AD=BC，
∴，
∵M、N分别是线段AD、BC的中点，
∴AM=BN，故②正确；
∵AC-BD=AD-BC，
∴AC-BD=2MD-2CN=2(MC-DN)，故③正确；
∵2MN=2MC+2CN，MC=MD-CD，
∴2MN=2(MD-CD)+2CN，
∵，，
∴，故④正确，
故答案选：D.
【分析】若AD=BM，则AM=BD，由M是AD的中点，得AM=MD，则AM=MD=BD，故AB=3BD，①正确；若AC=BD，则AD=BC，由M，N分别是AD，BC的中点，可得，，故AM=BN，②正确；因为AC=AM+MC=DM+MC，BD=BN+DN=CN+DN，所以AC-BD=DM-CN+MC-DN，又因为DM-MC=CD=CN-DN，所以DM-CN=MC-DN，故AC-BD=2(MC-DN)，③正确；因为，故2MN=AB-CD，④正确.
7．【答案】B
【知识点】直线、射线、线段；探索图形规律
【解析】【解答】解：由题意可知：如图
写出线段的长，
A1A2=2，A2是 A1A3 的中点得A1A2=A2A3=2，
A1A3=4，A3是 A1A4的中点得A1A3=A3A4=4，
A1A4=8，A4是 A1A5的中点得A1A4=A4A5=8，……
根据线段的长，找出规律，
∵A1A2=2，A2A3=2=21，A3A4=4=22，A4A5=8=23，
A5A6=16=24，A7A8=……，
总结通项公式，
∴线段 AnAn+1=2n-1（n为正整数）
∴线段 A20A21=219
故此题选：B
【分析】先求出A1A2=2，A2A3=2=21，A3A4=4=22，A4A5=8=23，A5A6=16=24，A7A8=……，从而得出规律线段 AnAn+1=2n-1（n为正整数），据此即可求解.
8．【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，
；
如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，
；
如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，
；
如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，
；
综上，为或或，
故答案为：C
【分析】根据题意分类讨论：射线是的三等分线，射线是的三等分线；射线是的三等分线，射线是的三等分线；射线是的三等分线，射线是的三等分线；射线是的三等分线，射线是的三等分线，进而根据角的运算即可求解。
9．【答案】6
【知识点】扇形的认识
【解析】【解答】解：如图，图中有三条半径，可以得到三个扇形，再把相邻的两个扇形拼在一起，可以得到新的3个扇形，所以可以得到6个不同扇形.
故答案为：6
【分析】根据扇形的定义回答即可求解.
10．【答案】或30
【知识点】角的运算；钟面角
【解析】【解答】解：分针的旋转速度是度/分钟，时针的旋转速度是0.5度/分钟，设经过x分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°，
分两种情况：
如图：
此时，∠AOC=0.5x，∠BOD=6x，
则∠COD=∠AOB+∠BOD-∠AOC= 90°+6x-0.5x=105°，
解得x=；
如图：
此时，∠AOC=0.5x，∠BOD=360°-6x，
则∠COD=∠BOD-∠AOB+∠AOC=360°-6x -90°+0.5x=105°，
解得x=30；
综上，经过或30分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°，
故答案为：或30
【分析】分针的旋转速度是度/分钟，时针的旋转速度是0.5度/分钟，设经过x分钟后，进而分类讨论，进行角的运算即可列出方程，解出x即可.
11．【答案】7
【知识点】直线的计数问题
【解析】【解答】解： 要使确定的直线最多，那么这些点都不能在同一条直线上；
2个点最多确定1条直线；
3个点最多确定1+2条直线；
4个点最多确定1+2+3条直线；
5个点最多确定1+2+3+4条直线；
∴ n个点最多 ：1+2+3+4+……+（n-1）=条直线.
∵1+2+3+4+5+6=21
∴n 的值为7，
故答案为：7.
【分析】根据两点确定一条直线，要使确定的直线最多，那么这些点都不在同一条直线上，由特殊发现规律，即可解答.
12．【答案】40°或140°
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：作边OM，ON 的反向延长线OC，OD，分三种情况讨论：
①当射线OP 在∠MOD 内部(包括边OD)绕点O 旋转时，如解图①.
∵OA 平分∠MOP，OB 平分∠NOP，
∴
②当射线OP 在∠COD 内部(不包括边OC 和OD)绕点O旋转时， 如解 图 ②.
此 时
③当射线OP 在∠CON 内部(包括边OC)绕点O 旋转时，同理于①，可知.
综上所述，∠AOB 的度数为 40°或 140°.
故答案为：40°或140°.
【分析】作边OM，ON 的反向延长线OC，OD，分三种情况讨论，当射线OP 在∠MOD 内部(包括边OD)绕点O 旋转时，当射线OP 在∠COD 内部(不包括边OC 和OD)绕点O旋转时，当射线OP 在∠CON 内部(包括边OC)绕点O 旋转时，按照角平分线的定义以及角的和差关系求解即可.
13．【答案】12
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：由题意得，不妨设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
当，时，，，
符合题意，此时；
当，时，，，
不符合题意，
综上，k的值是12；
故答案为：12．
【分析】由题意得，不妨设，求出BE、AD、DE、BD长，再分两种情况讨论解题．
14．【答案】解：分三种情况讨论：
①如果4个点，点A、B、C、D在同一直线上，那么只能确定一条直线，如图：
②如果4个点中有3个点（不妨设点A、B、C）在同一直线上，而第4个点，点D不在此直线上，那么可以确定4条直线，如图：
③如果4个点中，任何3个点都不在同一直线上，那么点A分别和点B、C、D确定3条直线，点B分别与点C、D确定2条直线，最后点C、D确定一条直线，这样共确定6条直线，如图：
综上所述， 可以画1条或4条或6条直线.
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】 分三种情况讨论：①4个点在同一直线上，②4个点中有3个点在同一直线上，③4个点中任何3个点都不在同一直线上，再根据两点确定一条直线，分别画出图形，即可得出答案.
15．【答案】（1）解：当在内部时，如图，
当在内部时，如图，
（2）20或180
（3）或
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（2）∵，平分，
∴，
当在内部时，，
∵平分，
∴；
当在内部时，，
∵平分，
∴；
综上，的大小为或，
故答案为：20或180；
解：（3）∵，平分，
∴，
当在内部时，，
∵平分，
∴；
当在内部时，，
∵平分，
∴；
综上，的大小为或，
故答案为：或．
【分析】（1）根据题意，分在内部和在内部，两种情况讨论，结合平分，平分，补全图形，即可得到答案；
（2）由平分， 求得的度数，分在内部和在内部，两种情况讨论，结合和， 求出的度数，再由平分， 结合，即可得到答案；
（3）由平分， 求得的度数，分在内部和在内部，两种情况讨论，分别求得 和， 再由平分， 结合，即可得到答案.
（1）解：当在内部时，如图，
当在内部时，如图，
（2）解：∵，平分，
∴，
当在内部时，，
∵平分，
∴；
当在内部时，，
∵平分，
∴；
综上，的大小为或，
故答案为：20或180；
（3）解：∵，平分，
∴，
当在内部时，，
∵平分，
∴；
当在内部时，，
∵平分，
∴；
综上，的大小为或，
故答案为：或．
16．【答案】（1）画出图形如图.结果为21=6+5+4+3+2+1.
（2）
（3）45
（4）990；D
【知识点】直线、射线、线段；线段的计数问题
【解析】【解答】解：（2）线段上有3个点时，线段总条数是3=2+1，
线段上有4个点时，线段总条数是6=3+2+1，
线段上有5个点时，线段总条数是10=4+3+2+1，
……
由此可知线段上有n个点时，线段总条数；
(3)当n=10时，
(4)①45x(45-1)÷2= 990(次)，
故答案为：990.
②一共的站点：6+2=8(个)，
m=8x(8-1)÷2=28，
n=28 x2=56，
故答案选：D.
【分析】(1)根据图中规律画出图形，然后观察图形，数出线段总条数写出结果；
(2)分析表中的数据，根据线段的总条数N与线段上的点数n写出关系式；
（3）根据(2)得出的规律进行计算即可；
（4）①运用总结的公式进行解答；
②分析出站点相当于线段上的点数；票价相当于线段的总条数；车票是需要往返，是票价数量的2倍，进行解答即可.
17．【答案】（1）18；=
（2）解：①∵点E表示的数为1，向右平移3个单位到达点F，
∴点F表示的数为4，
∴OF＝4，
当点M在点N左侧时，则：MF＝2OM，ON＝2NF，
∴OM＝NF=OF=，
∵OF＝OM＋MN＋NF，
∴MN=，
当点M在点N右侧时，则：2MF＝OM，2ON＝NF，
∴ON＝MF=OF=，
∵OF＝ON＋MN＋MF，
∴MN=，
综上，线段MN的长为.
②∵点E表示的数为1，点F表示的数为4，
∴EF＝4 1＝3，
第一种情况：线段EG，GF互为“优点“伴侣线段时，有EG＝2GF或GF＝2EG，
当EG＝2GF时，
EF＝EG＋GF＝2GF＋GF＝3GF＝3，
∴GF＝1，
∴点G表示的数为3，
当GF＝2EG时，EF＝EG＋GF＝EG＋2EG＝3EG＝3，
∴EG＝1，
∴点G表示的数为2，
第二种情况：线段EF，GF互为“优点“伴侣线段时，有EF＝2GF或GF＝2EF，
当EF＝2GF时，GF＝1.5，
∴点G表示的数为5.5，
当GF＝2EF时，GF＝6，
∴点G表示的数为10，
综上，点G表示的数为2或3或5.5或10．
【知识点】线段的长短比较；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：（1）①∵点C为线段AB的“优点”，AC＜BC，AC＝6，
∴BC＝2AC＝12，
∴AB＝AC＋BC＝18，
故答案为：18．
②如图所示，
∵点D是线段AB的“优点”，
∴AD＝2BD，
∴AB＝AD＋BD＝2BD＋BD＝3BD＝18，
∴BD＝6，
∵AC＝6，
∴AC＝BD，
故答案为：＝．
【分析】（1）①利用“优点”的定义及线段的和差求出AB的长即可；
②先结合图形和“优点”的定义求出AD=2BD，再利用线段的和差及等量代换证出AC=BD即可；
（2）①分类讨论：当点M在点N左侧时，则：MF＝2OM，ON＝2NF；当点M在点N右侧时，则：2MF＝OM，2ON＝NF，再分别利用线段的和差求解即可；
②分类讨论：第一种情况：线段EG，GF互为“优点“伴侣线段时，有EG＝2GF或GF＝2EG；第二种情况：线段EF，GF互为“优点“伴侣线段时，有EF＝2GF或GF＝2EF，再分别利用线段的和差求解即可.
18．【答案】（1）解：∵∠AOC+∠BOD=100°，
∴∠AOB+∠COD+2∠BOC=100°.
∵∠AOB+∠COD=40°，
∴∠BOC=30°.
（2）解：∵射线 OM，ON 分别为∠AOB，∠COD 的平分线，
∴∠MON=∠CON+∠BOM+∠BOC
（3）解：由题意，∠EOB=∠COF=90°，∠AOD=70°，
∵OP 平分∠EOD，OQ 平分∠AOF，
∴∠POQ=∠AOD+∠POD+∠AOQ
∴∠POQ 的大小不会发生变化，为110°.
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】 （1） 根据∠AOC+∠BOD=∠AOB+∠COD+2∠BOC=100°，∠AOB+∠COD=40°，即可得出∠BOC 的度数；（2）（3）根据角平分线的意义和角的和差解答即可.
19．【答案】（1）解：；
（2）解：把代入计算得：.
故一个十二边形总共有54条对角线；
（3）解：由题意得，，解得，，
因为多边形的边数必须是整数，所以过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为2016.
【知识点】多边形的对角线；探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）由表格中的数据知：从n边形的一个顶点出发可引起的对角线条数为（n-3）条，多边形对角线的总条数为： 条.
故答案为：n-3，.
【分析】（1）由表格中的数据找出规律即得结论；
（2）把n=12代入求值即可；
（3）设这个多边形的边数为n，则这些对角线分多边形所得的三角形个数为n-2，根据题意可得， 据此解答并判断即可.
20．【答案】（1）105
（2）解：①画图见详解；；
②设时针与分针垂直时， 显示的时间是 8 时分．
则，
解得，
依题意电子表盘面不足一分钟的部分不显示，
所以电子表盘显示的时间是 8 时 04分；
（3）解： 时分.
【知识点】角的运算；角平分线的概念；钟面角
【解析】【解答】解：（1）表盘上一大格的角度是，
如图1中为学校大课间开始时手表盘面的示意图，此时时间是，
时针和分针中间有三个半大格，所成的夹角为 ；
故答案为：105；
（2）①在图3中画出该节数学课下课时，时针与分针的位置如图：
该位置与当天上课期间另一时刻时针和分针的位置都一致，这个时刻对应的时间为
（3）由题意可分四种情况：
①如图所示，在与之间，设表示1小时后的时针和分钟所成的夹角；
设显示的时间是 12时分．则
解得：
∴电子表盘显示的时间是 时分；
②如图所示，如图所示，在与之间，设表示1小时后的时针和分钟所成的夹角；则重合，
∴，不合题意，舍去；
③如图所示，如图所示，在与之间，设表示1小时后的时针和分钟所成的夹角，则重合，
∴，不合题意，舍去；
④如图所示，如图所示，在与之间，设表示1小时后的时针和分钟所成的夹角；则重合，
∴，不合题意，舍去；
综上可得，电子表盘显示的时间是 时分.
【分析】（1）根据时针和分针中间有三个半大格，计算即可求解；
（2）①根据题意画出图形，根据钟表读出时间即可求解；
②设时针与分针垂直时， 显示的时间是 8 时分，根据角度的和差进行计算即可求解；
（3）根据题意分四种情况，分别画出图形，只有当分针超过分钟时，符合题意，进而根据指向，与点构成度，建立关于a的方程，解方程即可求解．
1 / 1第四章《基本平面图形》培优卷—北师大版数学七（上）单元分层测
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2024七下·揭东开学考）从六边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将六边形分成个三角形.则的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】多边形的对角线；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：从六边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相邻的3个顶点引对角线，即能引出3条对角线，它们将六边形分成4个三角形．
∴，，
则，
故选：C．
【分析】本题考查多边形的性质，其中从n边形的一个顶点出发，能引出条对角线，把多边形分成个三角形，据此规律，得到m和n的值，进而求得代数式的值，得到答案.
2．（2025七上·上城期末）如图，C点是线段AB的中点，，下列结论正确的是（　　）
A．若AB=a，则CE=a B．若CD=a，则AB=5a
C．若CD=a，则DE=2a D．若AB=a，则CD=BE=a
【答案】D
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：
A.∵C点是线段AB的中点，
又∵
当 时，
因此选项A不符合题意；
若 则
因此选项B不符合题意；
C.由上述解题可知，
若 则
因此选项C不符合题意；
D.由上述解题过程可知，
若 则
因此选项D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据线段中点的定义以及线段的和、差、倍、比的关系逐项进行判断即可.
3．（2021七上·本溪期末）如图，OC为内的一条射线，下列条件中不能确定OC平分的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：A选项．∵∠AOC＝∠BOC
∴OC平分∠AOB．
所以A不符合题意；
B选项．∵∠AOC+∠COB＝∠AOB，
∴OC不一定平分∠AOB．
所以B符合题意；
C选项．∵∠AOB＝2∠BOC，
∴OC平分∠AOB．
所以C不符合题意；
D．∵，
∴OC平分∠AOB．
所以D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据角平分线的定义可直接判定求解即可。
4．（2023七上·清苑期末）如图，已知，是内任意一条射线，分别平分，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（　　）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
【答案】A
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵分别平分，，
∴∠COD=2∠COB=2∠BOD，∠BOE=2∠BOD=2∠DOE
∴，故①正确；
∴∠COE=∠COD＋∠DOE=2∠BOD＋∠BOD==3∠BOD，故②正确；
∵，而∠COD不一定等于∠AOC
∴∠BOE不一定等于∠AOC，故③不一定正确；
∵
∴∠AOC＋∠COB=90°
∴，故④正确．
综上：正确的有①②④．
故选：A．
【分析】本题考查的是角的和与差，角平分线的定义和各角的关系与运算，根据题意，结合图形，利用角平分线的定，以及各角的关系，逐一运算，即可得到答案.
5．在综合与实践课上，将∠A 与∠B 两个角的关系记为∠A=n∠B(n>0)，探索n的大小与两个角的类型之间的关系，下列说法中，正确的是 (　　)
A．当n=2时，若∠A 为锐角，则∠B 为锐角
B．当n=2时，若∠A为钝角，则∠B为钝角
C．当 时，若∠A为锐角，则∠B为锐角
D．当 时，若∠A 为锐角，则∠B 为钝角
【答案】A
【知识点】角的分类（直角、锐角和钝角）
【解析】【解答】解：A、∵n=2，∠A=n∠B，
∴∠A=2∠B，
∵∠A为锐角，即0°<∠A<90°，
∴0°<2∠B<90°，
∴0°<∠B<40°，
∴∠B为锐角，故A正确；
B、∵n=2，∠A=n∠B，
∴∠A=2∠B，
∵∠A为钝角，即90°<∠A<180°，
∴90°<2∠B<180°，
∴45°<∠B<90°，
∴∠B为锐角，故B不正确；
CD、∵，∠A=n∠B，
∴，
∵∠A为锐角，即0°<∠A<90°，
∴，
∴0°<∠B<180°，
∴∠B可能是钝角、直角、锐角，故C、D不正确；
故答案为：A.
【分析】根据∠A=n∠B，求出当n=2或，∠A为锐角或钝角时∠B的取值范围，即可求解.
6．如图，C，D是线段AB 上两点，M，N分别是线段AD，BC的中点，下列结论：①若AD=BM，则AB=3BD；②若AC=BD，则AM=BN；③AC-BD=2(MC-DN)；④2MN=AB-CD.其中所有正确的结论是(　　)
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵AD=BM，
∴AD=MD+BD，
∴，
∴AD=2BD，
∴AD+BD=2BD+BD，即AB=3BD，故①正确；
∵AC=BD，
∴AD=BC，
∴，
∵M、N分别是线段AD、BC的中点，
∴AM=BN，故②正确；
∵AC-BD=AD-BC，
∴AC-BD=2MD-2CN=2(MC-DN)，故③正确；
∵2MN=2MC+2CN，MC=MD-CD，
∴2MN=2(MD-CD)+2CN，
∵，，
∴，故④正确，
故答案选：D.
【分析】若AD=BM，则AM=BD，由M是AD的中点，得AM=MD，则AM=MD=BD，故AB=3BD，①正确；若AC=BD，则AD=BC，由M，N分别是AD，BC的中点，可得，，故AM=BN，②正确；因为AC=AM+MC=DM+MC，BD=BN+DN=CN+DN，所以AC-BD=DM-CN+MC-DN，又因为DM-MC=CD=CN-DN，所以DM-CN=MC-DN，故AC-BD=2(MC-DN)，③正确；因为，故2MN=AB-CD，④正确.
7．（2022七上·鄄城期末）若线段，在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点……，按这样操作下去，线段的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线、射线、线段；探索图形规律
【解析】【解答】解：由题意可知：如图
写出线段的长，
A1A2=2，A2是 A1A3 的中点得A1A2=A2A3=2，
A1A3=4，A3是 A1A4的中点得A1A3=A3A4=4，
A1A4=8，A4是 A1A5的中点得A1A4=A4A5=8，……
根据线段的长，找出规律，
∵A1A2=2，A2A3=2=21，A3A4=4=22，A4A5=8=23，
A5A6=16=24，A7A8=……，
总结通项公式，
∴线段 AnAn+1=2n-1（n为正整数）
∴线段 A20A21=219
故此题选：B
【分析】先求出A1A2=2，A2A3=2=21，A3A4=4=22，A4A5=8=23，A5A6=16=24，A7A8=……，从而得出规律线段 AnAn+1=2n-1（n为正整数），据此即可求解.
8．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把 分成大小为1：2的两部分，射线OC 叫作. 的三等分线.若在 中，射线OP 是∠MON 的三等分线，射线 OQ 是 的三等分线，设∠MOQ=x，则∠MON的大小用含x的代数式表示为 (　　)
A．或3x或 B． 或3x或9x
C．或 或9x D．3x或 或9x
【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，
；
如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，
；
如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，
；
如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，
；
综上，为或或，
故答案为：C
【分析】根据题意分类讨论：射线是的三等分线，射线是的三等分线；射线是的三等分线，射线是的三等分线；射线是的三等分线，射线是的三等分线；射线是的三等分线，射线是的三等分线，进而根据角的运算即可求解。
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2021七上·碑林期末）在一个圆中任意画三条半径，可以把这个圆分成　 　个不同的扇形.
【答案】6
【知识点】扇形的认识
【解析】【解答】解：如图，图中有三条半径，可以得到三个扇形，再把相邻的两个扇形拼在一起，可以得到新的3个扇形，所以可以得到6个不同扇形.
故答案为：6
【分析】根据扇形的定义回答即可求解.
10．我们知道在9时整时，时钟的分针与时针位置如图所示，那么9时开始，到10时之前，经过　 　分钟后，时钟的时针与针的夹角为 .
【答案】或30
【知识点】角的运算；钟面角
【解析】【解答】解：分针的旋转速度是度/分钟，时针的旋转速度是0.5度/分钟，设经过x分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°，
分两种情况：
如图：
此时，∠AOC=0.5x，∠BOD=6x，
则∠COD=∠AOB+∠BOD-∠AOC= 90°+6x-0.5x=105°，
解得x=；
如图：
此时，∠AOC=0.5x，∠BOD=360°-6x，
则∠COD=∠BOD-∠AOB+∠AOC=360°-6x -90°+0.5x=105°，
解得x=30；
综上，经过或30分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°，
故答案为：或30
【分析】分针的旋转速度是度/分钟，时针的旋转速度是0.5度/分钟，设经过x分钟后，进而分类讨论，进行角的运算即可列出方程，解出x即可.
11．平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线.若平面上不同的n个点最多确定21条直线，则n 的值为　 　.
【答案】7
【知识点】直线的计数问题
【解析】【解答】解： 要使确定的直线最多，那么这些点都不能在同一条直线上；
2个点最多确定1条直线；
3个点最多确定1+2条直线；
4个点最多确定1+2+3条直线；
5个点最多确定1+2+3+4条直线；
∴ n个点最多 ：1+2+3+4+……+（n-1）=条直线.
∵1+2+3+4+5+6=21
∴n 的值为7，
故答案为：7.
【分析】根据两点确定一条直线，要使确定的直线最多，那么这些点都不在同一条直线上，由特殊发现规律，即可解答.
12．若∠MON=80°，P 是平面上一点，且OA 平分∠MOP，OB 平分∠NOP.当射线OP 在∠MON 外部绕点O 旋转时，∠AOB=　 　.
【答案】40°或140°
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：作边OM，ON 的反向延长线OC，OD，分三种情况讨论：
①当射线OP 在∠MOD 内部(包括边OD)绕点O 旋转时，如解图①.
∵OA 平分∠MOP，OB 平分∠NOP，
∴
②当射线OP 在∠COD 内部(不包括边OC 和OD)绕点O旋转时， 如解 图 ②.
此 时
③当射线OP 在∠CON 内部(包括边OC)绕点O 旋转时，同理于①，可知.
综上所述，∠AOB 的度数为 40°或 140°.
故答案为：40°或140°.
【分析】作边OM，ON 的反向延长线OC，OD，分三种情况讨论，当射线OP 在∠MOD 内部(包括边OD)绕点O 旋转时，当射线OP 在∠COD 内部(不包括边OC 和OD)绕点O旋转时，当射线OP 在∠CON 内部(包括边OC)绕点O 旋转时，按照角平分线的定义以及角的和差关系求解即可.
13．（2025七上·江北期末）如图，直线上有五个点A，B，C，D，E，连接其中两点形成的10个距离，从小到大排列依次为：2，4，5，7，8，k，13，15，17，19，那么k的值是　 　．
【答案】12
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：由题意得，不妨设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
当，时，，，
符合题意，此时；
当，时，，，
不符合题意，
综上，k的值是12；
故答案为：12．
【分析】由题意得，不妨设，求出BE、AD、DE、BD长，再分两种情况讨论解题．
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．过同一平面内三个点中的任意两个点画直线，可以画几条？我们可以把它分成两类：如图①，当三点在同一直线上时，可以画1条直线；如图②，当三点不在同一直线上时，可以画3条直线．想一想，过同一平面内四个点中的任意两个点，可以画几条直线？请画出图形．
【答案】解：分三种情况讨论：
①如果4个点，点A、B、C、D在同一直线上，那么只能确定一条直线，如图：
②如果4个点中有3个点（不妨设点A、B、C）在同一直线上，而第4个点，点D不在此直线上，那么可以确定4条直线，如图：
③如果4个点中，任何3个点都不在同一直线上，那么点A分别和点B、C、D确定3条直线，点B分别与点C、D确定2条直线，最后点C、D确定一条直线，这样共确定6条直线，如图：
综上所述， 可以画1条或4条或6条直线.
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】 分三种情况讨论：①4个点在同一直线上，②4个点中有3个点在同一直线上，③4个点中任何3个点都不在同一直线上，再根据两点确定一条直线，分别画出图形，即可得出答案.
15．（2025七上·长春期末）如图，．按照下列要求用直尺、量角器继续画图并解决问题：
画出射线，，，其中平分，平分．
（1）完成图形．
（2）若，则∠BOC的大小为______．
（3）若，（其中，），用含，的式子表示出的大小为______．
【答案】（1）解：当在内部时，如图，
当在内部时，如图，
（2）20或180
（3）或
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（2）∵，平分，
∴，
当在内部时，，
∵平分，
∴；
当在内部时，，
∵平分，
∴；
综上，的大小为或，
故答案为：20或180；
解：（3）∵，平分，
∴，
当在内部时，，
∵平分，
∴；
当在内部时，，
∵平分，
∴；
综上，的大小为或，
故答案为：或．
【分析】（1）根据题意，分在内部和在内部，两种情况讨论，结合平分，平分，补全图形，即可得到答案；
（2）由平分， 求得的度数，分在内部和在内部，两种情况讨论，结合和， 求出的度数，再由平分， 结合，即可得到答案；
（3）由平分， 求得的度数，分在内部和在内部，两种情况讨论，分别求得 和， 再由平分， 结合，即可得到答案.
（1）解：当在内部时，如图，
当在内部时，如图，
（2）解：∵，平分，
∴，
当在内部时，，
∵平分，
∴；
当在内部时，，
∵平分，
∴；
综上，的大小为或，
故答案为：20或180；
（3）解：∵，平分，
∴，
当在内部时，，
∵平分，
∴；
当在内部时，，
∵平分，
∴；
综上，的大小为或，
故答案为：或．
16． 阅读表格，解决下列问题：
线段AB上的点数n (包括A，B两点) 图例 线段总 条数 N
3 3=2+1
4 6=3+2+1
5 10=4+3+2+1
6 15=5+4+3+2+1
7 　 　
（1）在表中的空白处分别画出图形，写出结果.
（2）猜测线段总条数 N 与线段上的点数 n(包括线段的两个端点)的关系是：　 　.
（3）当n=10时，计算 N的值等于 　 　.
（4）问题拓展：
①七年级(1)班有45位同学参加聚会，若每两人握一次手问好，那么共握了　 　次手.
②计划从甲市到乙市修建一条高速铁路，在两市之间要停靠6个站点，需要制定m种车票，则m 的值为 　 　.
A. 14 B. 16
C. 30 D. 56
【答案】（1）画出图形如图.结果为21=6+5+4+3+2+1.
（2）
（3）45
（4）990；D
【知识点】直线、射线、线段；线段的计数问题
【解析】【解答】解：（2）线段上有3个点时，线段总条数是3=2+1，
线段上有4个点时，线段总条数是6=3+2+1，
线段上有5个点时，线段总条数是10=4+3+2+1，
……
由此可知线段上有n个点时，线段总条数；
(3)当n=10时，
(4)①45x(45-1)÷2= 990(次)，
故答案为：990.
②一共的站点：6+2=8(个)，
m=8x(8-1)÷2=28，
n=28 x2=56，
故答案选：D.
【分析】(1)根据图中规律画出图形，然后观察图形，数出线段总条数写出结果；
(2)分析表中的数据，根据线段的总条数N与线段上的点数n写出关系式；
（3）根据(2)得出的规律进行计算即可；
（4）①运用总结的公式进行解答；
②分析出站点相当于线段上的点数；票价相当于线段的总条数；车票是需要往返，是票价数量的2倍，进行解答即可.
17． 如图
（1）【新知理解】
点C在线段AB上，若BC=2AC或AC=2BC，则称C是线段AB 的“优点”，线段AC，BC称作互为“优点”伴侣线段.例如，如图①，线段AB的长度为6，点C在AB 上，AC的长度为2，则 C是线段AB 的其中一个“优点”.
①若C为图①中线段AB的“优点”，AC=6（AC②在（1）的条件下，若D也是图①中线段AB的“优点”（不同于点 C），则AC　 　BD（填“=”或“≠”）；
（2）【解决问题】
如图②，在数轴上，点O为原点，点E 表示的数为1，向右平移3个单位长度到达点 F.
①若不同的两点 M，N 都在线段OF 上，且M，N均为线段OF 的“优点”，求线段MN的长；
②如图②，若点G在射线EF上，且线段GF与以E，F，G中某两个点为端点的线段互为“优点”伴侣线段，求点G表示的数（写出所有可能）.
【答案】（1）18；=
（2）解：①∵点E表示的数为1，向右平移3个单位到达点F，
∴点F表示的数为4，
∴OF＝4，
当点M在点N左侧时，则：MF＝2OM，ON＝2NF，
∴OM＝NF=OF=，
∵OF＝OM＋MN＋NF，
∴MN=，
当点M在点N右侧时，则：2MF＝OM，2ON＝NF，
∴ON＝MF=OF=，
∵OF＝ON＋MN＋MF，
∴MN=，
综上，线段MN的长为.
②∵点E表示的数为1，点F表示的数为4，
∴EF＝4 1＝3，
第一种情况：线段EG，GF互为“优点“伴侣线段时，有EG＝2GF或GF＝2EG，
当EG＝2GF时，
EF＝EG＋GF＝2GF＋GF＝3GF＝3，
∴GF＝1，
∴点G表示的数为3，
当GF＝2EG时，EF＝EG＋GF＝EG＋2EG＝3EG＝3，
∴EG＝1，
∴点G表示的数为2，
第二种情况：线段EF，GF互为“优点“伴侣线段时，有EF＝2GF或GF＝2EF，
当EF＝2GF时，GF＝1.5，
∴点G表示的数为5.5，
当GF＝2EF时，GF＝6，
∴点G表示的数为10，
综上，点G表示的数为2或3或5.5或10．
【知识点】线段的长短比较；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：（1）①∵点C为线段AB的“优点”，AC＜BC，AC＝6，
∴BC＝2AC＝12，
∴AB＝AC＋BC＝18，
故答案为：18．
②如图所示，
∵点D是线段AB的“优点”，
∴AD＝2BD，
∴AB＝AD＋BD＝2BD＋BD＝3BD＝18，
∴BD＝6，
∵AC＝6，
∴AC＝BD，
故答案为：＝．
【分析】（1）①利用“优点”的定义及线段的和差求出AB的长即可；
②先结合图形和“优点”的定义求出AD=2BD，再利用线段的和差及等量代换证出AC=BD即可；
（2）①分类讨论：当点M在点N左侧时，则：MF＝2OM，ON＝2NF；当点M在点N右侧时，则：2MF＝OM，2ON＝NF，再分别利用线段的和差求解即可；
②分类讨论：第一种情况：线段EG，GF互为“优点“伴侣线段时，有EG＝2GF或GF＝2EG；第二种情况：线段EF，GF互为“优点“伴侣线段时，有EF＝2GF或GF＝2EF，再分别利用线段的和差求解即可.
18．已知：如图1，OB，OC 分别为锐角. 内部的两条动射线，当OB，OC 运动到如图1的位置时，
图1 图2 图3
（1）求∠BOC 的度数.
（2）如图2，射线 OM，ON 分别为. 的平分线，求 的度数.
（3）如图3，若OE，OF 是∠AOD 外部的两条射线，且 OP 平分∠EOD，OQ 平分∠AOF，当∠BOC 绕着点O旋转时， 的大小会不会发生变化 若不变，求出其度数；若变化，说明理由.
【答案】（1）解：∵∠AOC+∠BOD=100°，
∴∠AOB+∠COD+2∠BOC=100°.
∵∠AOB+∠COD=40°，
∴∠BOC=30°.
（2）解：∵射线 OM，ON 分别为∠AOB，∠COD 的平分线，
∴∠MON=∠CON+∠BOM+∠BOC
（3）解：由题意，∠EOB=∠COF=90°，∠AOD=70°，
∵OP 平分∠EOD，OQ 平分∠AOF，
∴∠POQ=∠AOD+∠POD+∠AOQ
∴∠POQ 的大小不会发生变化，为110°.
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】 （1） 根据∠AOC+∠BOD=∠AOB+∠COD+2∠BOC=100°，∠AOB+∠COD=40°，即可得出∠BOC 的度数；（2）（3）根据角平分线的意义和角的和差解答即可.
19．（2023七上·砀山月考）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格：
多边形的边数 4 5 6 … n
从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数 1 2 3 … ____▲____
多边形对角线的总条数 2 5 9 … ▲
（1）请在表格中的横线上填上相应的结果；
（2）求十二边形总共有多少条对角线；
（3）过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2016吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由.
【答案】（1）解：；
（2）解：把代入计算得：.
故一个十二边形总共有54条对角线；
（3）解：由题意得，，解得，，
因为多边形的边数必须是整数，所以过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为2016.
【知识点】多边形的对角线；探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）由表格中的数据知：从n边形的一个顶点出发可引起的对角线条数为（n-3）条，多边形对角线的总条数为： 条.
故答案为：n-3，.
【分析】（1）由表格中的数据找出规律即得结论；
（2）把n=12代入求值即可；
（3）设这个多边形的边数为n，则这些对角线分多边形所得的三角形个数为n-2，根据题意可得， 据此解答并判断即可.
20．（2024七上·镇海区期末）学校进行了创意设计大赛，请根据表格中提供的信息答题．
信息1 如下图所示为小明设计的个性手表，时针，分针只在右半表盘来回转动（顺时针转至6的位置再逆时针旋转至12，来回旋转，转动速度与普通手表一致），左半表盘显示对应的时间．（不足一分钟的部分不显示）
信息2 学校作息时间表 第一节 8：00~8：40 第五节 13：00~13：40
第二节 8：50~9：30 第六节 13：50~14：35
大课间 9：30~10：00 第七节 14：45~15：25
第三节 10：00~10：40 第八节 15：35~16：15
第四节 10：50~11：35 体活课 16：25~16：55
（1）如图1为学校大课间开始时手表盘面的示意图，此时时针和分钟所成的夹角为______度．
（2）已知某天上午第一节为数学课．
①请在图3中画出该节数学课下课时，时针与分针的位置．该位置与当天上课期间另一时刻时针和分针的位置都一致，这个时刻对应的时间为______．
②若在这节数学课中，小明发现某一时刻，时针与分针刚好垂直，则这个时刻左边电子表盘上显示的时间是什么时候？
（3）若右半表面有一光线，始终保持平分．若在某一时刻射线刚好指向刻度2的位置，此时的位置记为，经过一个小时，射线的位置记为．若，请直接写出当在处时，电子表盘所显示的时间．
【答案】（1）105
（2）解：①画图见详解；；
②设时针与分针垂直时， 显示的时间是 8 时分．
则，
解得，
依题意电子表盘面不足一分钟的部分不显示，
所以电子表盘显示的时间是 8 时 04分；
（3）解： 时分.
【知识点】角的运算；角平分线的概念；钟面角
【解析】【解答】解：（1）表盘上一大格的角度是，
如图1中为学校大课间开始时手表盘面的示意图，此时时间是，
时针和分针中间有三个半大格，所成的夹角为 ；
故答案为：105；
（2）①在图3中画出该节数学课下课时，时针与分针的位置如图：
该位置与当天上课期间另一时刻时针和分针的位置都一致，这个时刻对应的时间为
（3）由题意可分四种情况：
①如图所示，在与之间，设表示1小时后的时针和分钟所成的夹角；
设显示的时间是 12时分．则
解得：
∴电子表盘显示的时间是 时分；
②如图所示，如图所示，在与之间，设表示1小时后的时针和分钟所成的夹角；则重合，
∴，不合题意，舍去；
③如图所示，如图所示，在与之间，设表示1小时后的时针和分钟所成的夹角，则重合，
∴，不合题意，舍去；
④如图所示，如图所示，在与之间，设表示1小时后的时针和分钟所成的夹角；则重合，
∴，不合题意，舍去；
综上可得，电子表盘显示的时间是 时分.
【分析】（1）根据时针和分针中间有三个半大格，计算即可求解；
（2）①根据题意画出图形，根据钟表读出时间即可求解；
②设时针与分针垂直时， 显示的时间是 8 时分，根据角度的和差进行计算即可求解；
（3）根据题意分四种情况，分别画出图形，只有当分针超过分钟时，符合题意，进而根据指向，与点构成度，建立关于a的方程，解方程即可求解．
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